“求两线段长度

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1、“求两线段长度值和最小”问题全解析山东沂源县徐家庄中心学校左进祥在近几年的中考中，经常遇到求PA+PB最小型问题，为了让同学们对这类问题有一个 比较全面的认识和了解，我们特此编写了“求两线段长度值和最小”问题全解析，希望对同学 们有所帮助.一、在三角形背景下探求线段和的最小值11在锐角三角形中探求线段和的最小值例1如图1,在锐角三角形ABC中，AB=4j,ZBAC=45。，ZBAC的平分线交BC于点D，M,N分别是AD和AB上的动点，则BM+MN的最小值为A分析：在这里，有两个动点，所以在解答时，就不能用我们常用对称点法.我们要选 用三角形两边之和大于第三边的原理加以解决.解：如图1,在AC上

2、截取AE=AN，连接BE.因为ZBAC的平分线交BC于点D,所 以 ZEAM=ZNAM，又因为 AM=AM， 所以 AMEAMN，所以 ME=MN.所以 BM+MN=BM+MEBE.因为BM+MN有最小值.当BE是点B到直线AC的距离时，BE 取最小值为4,以BM+MN的最小值是4.故填4.1.2在等边三角形中探求线段和的最小值例2 （2010山东滨州）如图4所示，等边 ABC的边长为6,AD是BC边上的中线,M 是AD上的动点,E是AC边上一点若AE=2,EM+CM的最小值为.分析：要求线段和最小值，关键是利用轴对称思想，找出这条最短的线段，后应用所 学的知识求出这条线段的长度即可.解:因为

3、等边厶ABC的边长为6,AD是BC边上的中线,所以点C与点B关于AD对称, 连接BE交AD于点M，这就是EM+CM最小时的位置，如图5所示，因为CM=BM,所以 EM+CM=BE,过点E作EF丄BC，垂足为F,因为AE=2, AC=6，所以EC=4，在直角三角 形 EFC 中，因为 EC=4, ZECF=60, ZFEC=30,所以 FC=2,EF=悶 _ 尸=2V3 -因为 BC=6, FC=2,所以BF=4在直角三角形BEF中，BE=J庐匚亦厅二 佃二刃1込二、在四边形背景下探求线段和的最小值2.1在直角梯形中探求线段和的最小值例3 （2010江苏扬州）如图3,在直角梯形ABCD中，ZAB

4、C = 90, ADBC, AD=4,AB = 5,BC=6,点P是AB上一个动点，当PC+PD的和最小时,PB的长为.分析：在这里有一个动点，两个定点符合对称点法求线段和最小的思路，所以解答时 可以用对称法.解：如图3所示，作点D关于直线AB的对称点E,连接CE,交AB于点P,此时PC +PD和最小，为线段CE.因为AD=4,所以AE=4.因为ZABC = 90, ADBC，所以 ZEAP=90.A ffA p因为ZAPE=ZBPC，所以 APEsAbpc,所以.因为 AE=4, BC = 6，所以BC PE4AP知、J 2AP知、j 2 + 3APPBAB5人口 ca，所以，所以，因为AB

5、 = 5,所以PB=3.6PB 3PB3 PBPB32.2在等腰梯形中探求线段和的最小值例4 如图4,等腰梯形ABCD中，AB=AD=CD=1, ZABC=60, P是上底，下底中 点EF直线上的一点，则PA+PB的最小值为.分析：根据等腰梯形的性质知道，点A的对称点是点D,这是解题的一个关键点其 次运用好直角三角形的性质是解题的又一个关键.解：如图4所示，因为点D关于直线EF的对称点为A,连接BD,交EF于点P,此 时PA+PB和最小，为线段BD.过点D作DG丄BC,垂足为G,因为四边形ABCD是等 腰梯形，且 AB=AD=CD=1 , ZABC=60 ,所以 ZC=60 , ZGDC=30

6、 ,所以1 尺GC=_,DG=.因为ZABC=60, ADBC,所以ZBAD = 120.因为 AB=AD，所以2 2ZABD=ZADB=30，所以ZADBC=30，所以 BD=2DG=2x!=.所以 PA+PB 的最2小值为巧.2.3在菱形中探求线段和的最小值例5 如图5菱形ABCD中，AB=2, ZBAD=60。，E是AB的中点，P是对角线AC上的一个动点，则PE+PB的最小值为.分析：根据菱形的性质知道，点B的对称点是点D,这是解题的一个关键点.解：如图5所示，因为点B关于直线AC的对称点为D,连接DE，交AC于点P,此 时PE+PB和最小，为线段ED.因为四边形ABCD是菱形，且ZBA

7、D=60，所以三角形 ABD是等边三角形.因为 E是AB的中点，AB=2，所以AE=1，DE丄AB,所以 ED=- AE2 = J严-*=J! 所以PE+PB的最小值为2.4在正方形中探求线段和的最小值例6如图6所示，已知正方形ABCD的边长为8,点M在DC上，且DM=2, N是 AC上的一个动点，则DN+MN的最小值为.分析：根据正方形的性质知道，点B的对称点是点D,这是解题的一个关键点.解：如图6所示，因为点D关于直线AC的对称点为B,连接BM,交AC于点N,此时DN+MN和最小，为线段BM.因为四边形ABCD是正方形，所以BC=CD=8.因为DM=2,所以MC=6，所以BM=Jg严+匚才

8、二府+庄=10所以DN+MN的最小值为10.例7 （2009?达州）如图7,在边长为2cm的正方形ABCD中，点Q为BC边的中点，点P为对角线AC上一动点，连接PB、PQ,贝仏PBQ周长的最小值为 cm.（结果不取近似值）.图点分析：在这里 PBQ周长等于PB+PQ+BQ，而BQ是正方形边长的一半，是一个定值 1,所以要想使得三角形的周长最小，问题就转化成使得PB+PQ的和最小问题.因为题目 中有一个动点P,两个定点B,Q符合对称点法求线段和最小的思路，所以解答时可以用对 称法.解:如图7所示，根据正方形的性质知道点B与点D关于AC对称，连接DQ,交AC 于点 P,连接 PB .所以 BP=D

9、P,所以 BP+PQ=DP+PQ=DQ.在 RtA CDQ 中， dq= Jud?十亡2二J严十F =怎，所以 pbq的周长的最小值为： BP+PQ+BQ=DQ+BQ=巧+1.故答案为巧 +1.三、在圆背景下探求线段和的最小值例8 （2010年荆门）如图8, MN是半径为1的0O的直径，点A在0O 上, ZAMN= 30, B为AN弧的中点，P是直径MN上一动点，则PA+PB的最小值为（）（A）2忑（B）旋（C）1（D）2分析：根据圆的对称性，作出点A的对称点D,连接DB,则线段和的最小值就是线段DB的长度.解：如图8,作出点A的对称点D,连接DB, OB,OD.因为ZAMN=30, B为AN

10、 弧的中点，所以弧AB的度数为30,弧AB的度数为30,弧AN的度数为60.根据圆心角与圆 周角的关系定理得到：ZBON=30.由垂径定理得：弧DN的度数为60.所以ZBOD = ZBON +ZD0N= 30+60=90.所以 DB=+ 亦=梅所以选择 B.四、在反比例函数图象背景下探求线段和的最小值12-例9 (2010山东济宁)如图9,正比例函数y x的图象与反比例函数y (k#0 2x在第一象限的图象交于A点，过A点作x轴的垂线，垂足为M,已知三角形OAM的面积 为1.(1) 求反比例函数的解析式；(2) 如果B为反比例函数在第一象限图象上的点(点B与点A不重合)，且B点的横坐标为1，在

11、x轴上求一点P,使PA+PB最小.分析：利用三角形的面积和交点坐标的意义，确定出点A的坐标是解题的第一个关键.要想确定出PA+PB的最小值，关键是明白怎样才能保证PA+PB的和最小，同学们可 以联想我们以前学过的对称作图问题，明白了最小的内涵，解题的过程就迎刃而解了.解：（1）设点A的坐标为（x, y），且点A在第一象限，所以OM=x,AM=y.因为三角形OAM的面积为1，所以-x OM x AM = 1,所以xy=2,所以反比例函数的2解析式为y=3.122 1（2）因为y=x与y=相交于点A,所以=x，解得x=2，或x=-2.因为x0,2xx 2所以x=2,所以y=1，即点A的坐标为（2，

12、1）.因为点B的横坐标为1,且点B在反比例 函数的图像上，所以点B的纵坐标为2,所点B的坐标为（1, 2）,所以点B关于x轴的对+ = -2称点D的坐标为（1,-2）.设直线AD的解析式为y=kx+b，所以,+ b - 1解得k=3, b=-5，所以函数的解析式为y=3x-5，当y=0时，x=?，所以当点P在（?，330）时，PA+PB的值最小.五、在二次函数背景下探求线段和的最小值例10（2010年玉溪改编）如图10,在平面直角坐标系中，点A的坐标为（1, J!）, AOB的面积是Jj（1）求点B的坐标；（2）求过点A、O、B的抛物线的解析式；（3）在（2）中抛物线的对称轴上是否存在点。，使

13、厶AOC的周长最小？若存在，求 出点C的坐标；若不存在，请说明理由；分析：在这里 A0C周长等于AC+C0+A0，而A,O是定点，所以AO是一个定长， 所以要想使得三角形的周长最小，问题就转化成使得AC+CO的和最小问题.因为题目中有 一个动点C,两个定点A,O符合对称点法求线段和最小的思路，所以解答时可以用对称法.解: (1)由题意得：*kQE祐=爲 所以OB=2.因为点B在x轴的负半轴上，所以点 B的坐标为(-2,)；(2)因为B(-2,0),0(0,0),所以设抛物线的解析式为：y=ax (x+2)，将点A的坐标为(1,代入解析式得：3a=，所以a=，所以函数的解析式为y=+ x.333

14、(3)存在点C.如图10,根据抛物线的性质知道点B与点O是对称点，所以连接AB 与抛物线的对称轴x= - 1交AC于点C,此时 AOC的周长最小设对称轴与x轴的交点为E.D * p小 过点A作AF垂直于x轴于点F,则BE=EO=EF=1.因为 BCEABAF,所以BF AF所以，所以CE=O .因为点C在第二象限，所以点C的坐标为(-1, H).37333六、在平面直角坐标系背景下探求线段和的最小值例11(2010年天津)如图11,在平面直角坐标系中，矩形创的顶点O在坐标原点, 顶点A、B分别在x轴、y轴的正半轴上，OA=3, OB=4, D为边OB的中点.(1) 若E为边OA上的一个动点，当

15、 CDE的周长最小时，求点E的坐标；(2) 若E、F为边OA上的两个动点，且EF=2，当四边形CDEF的周长最小时，求点E、F的坐标.A图门D厦鼻捱孔如环可以作玄D关十工軸 的財誌点ZfDW芝帥更卡点 此吋A CDE的周也厘取呷的.这样=舔冗儒 卓业口琴的也，抵打认轴屯星占蜀李胖了 .分析：本题的最大亮点是将一个动点求最小值和两个动点求最小值问题糅合在一起， 并很好的运用到平面直角坐标系中.解: (1)如图12,作点D关于x轴的对称点?，连接CD与x轴交于点E，连接DE. 若在边OA上任取点即(与点E不重合)，连接CE 、DE r.由 D+ CSf= E1 + CECD = D刃+CE=DE+CE,所以 CDE 的周长最小.因为 在矩形OACB中，OA=3,OB=4, D为OB的中点，所以BC=3, DO=?O=2.所以点C的坐标为(3, 4),点的坐标为D (0，-2)，设直