《浙江省2018版高考数学一轮复习专题07数列中不等式证明特色训练》由会员分享，可在线阅读，更多相关《浙江省2018版高考数学一轮复习专题07数列中不等式证明特色训练（28页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、七、数列中不等式证明一、解答题1【2018届安徽省蚌埠市第二中学高三7月月考】已知数列满足，.(1)求数列的通项公式；(2)证明：.【答案】（1）；(2)证明过程见解析（2）本问主要通过不等式的放缩来对数列求和，根据得，所以.试题解析：（1）.，是以为首项，2为公比的等比数列.，即.(2)证明：，.2【2017届北京西城35中高三上期中】等差数列满足， （）求的通项公式（）设等比数列满足， ，问： 与数列的第几项相等？（）试比较与的大小，并说明理由【答案】（） （）（）试题解析：（）是等差数列，解出， ，（），是等比数列，又，与数列的第项相等（）猜想，即，即，用数学归纳法证明如下：当时， ，显
2、然成立，假设当时， 成立，即成立；则当时， ，成立，由得，猜想成立3【2018届河南省洛阳市高三期中】已知数列满足，设.（I）求证：数列为等比数列，并求的通项公式；（II）设，数列的前项和，求证： .【答案】（I）；（II）证明见解析.试题解析：（I）由已知易得，由得即； ,又,是以为首项，以为公比的等比数列. 从而即，整理得即数列的通项公式为. 4【2018届江西省宜春中学高三上第一次诊断】已知等差数列的公差为2，且， ， 成等比数列（1）求数列的通项公式；（2）设数列的前项和为，求证： 【答案】（1）；（2）见解析.【解析】试题分析：（1）利用等差数列及等比中项的概念建立关系式，进一步求出
3、数列的通项公式；（2）利用（1）的结论，使用乘公比错位相减法求出数列的和，进一步利用放缩法求得结.试题解析：（1）数列为等差数列，所以： ， ， ，因为， 成等比数列，所以： ，解得： ，所以： .（2）已知， ，-得： ，所以：，由于，所以： ， . 5【2018届湖北省华师一附中高三9月调研】已知数列中， ，其前项的和为，且满足.() 求证：数列是等差数列；() 证明： 【答案】（）见解析；（）见解析.试题解析：（）当时， , ， ，从而构成以4为首项，2为公差的等差数列. （）由（1）可知， .6【2018届贵州省贵阳市第一中学高三上月考一】已知数列满足：，（）.（1）求数列的通项公式；
4、（2）设数列的前项和为，求证：.【答案】（1）（2）见解析试题解析：（）解：，所以是以2为公差的等差数列，所以，所以数列的通项公式为. （）证明：由（）得，.7【2018届四川省双流中学高三9月月考】已知等差数列满足， 的前项和为.（）求；（）设， 为数列的前项和，求证： .【答案】（1） （2）略解：（）设等差数列的首项为，公差为，因为，所以有，解得，所以；（）由（）知，所以 .8【2017届贵州省贵阳市第一中学、凯里市第一中学高三下月考七】已知数列的前项和满足： .（1）数列的通项公式；（2）设，且数列的前项和为，求证： .【答案】（1）（2）见解析【解析】试题分析：（1）根据当时， ，得
5、到数列的递推关系式，再根据等比数列定义及通项公式求数列的通项公式；（2）将数列的通项公式代入化简得,再根据大小关系放缩为，最后利用裂项相消法求和得 （）证明： 由， 所以， 所以 因为，所以，即9【2018届吉林省长春市普通高中高三一模】已知数列的前项和（）求数列的通项公式；（）设，求证：【答案】()；（）证明见解析.【解析】试题分析：()利用已知条件，推出新数列是等比数列，然后求数列的通项公式 ；（）化简 ，则，利用裂项相消法和，再根据放缩法即可证明结果.试题解析：()由，则 .当时，综上. （）由. . 得证. 10【2018届湖北省黄石市第三中学（稳派教育）高三检测】已知， 分别为等差数
6、列和等比数列， ， 的前项和为.函数的导函数是，有，且是函数的零点.（1）求的值；（2）若数列公差为，且点，当时所有点都在指数函数的图象上.请你求出解析式，并证明： .【答案】（1）,（2）见解析试题解析：（1）由得，又，所以.的零点为，而是的零点，又是等比数列的首项，所以， ，.（2），令的公比为，则.又都在指数函数的图象上，即，即当时恒成立，解得.所以.，因为，所以当时， 有最小值为，所以.11【2017届河南省郑州一中下期百校联盟高考复习】已知数列满足，则，且，成等比数列.（）设，求数列的通项公式；（）设，求证：.【答案】（） .（）见解析.试卷解析：（）由及，成等比数列得，即，解得，又
7、，所以， ，所以数列是首项为3，公差为2的等差数列，所以 .（）因为 .所以 .12【2017届浙江省绍兴市柯桥区高三第二次联考】已知正项数列满足： ， .为数列的前项和.（）求证：对任意正整数，有；（）设数列的前项和为，求证：对任意，总存在正整数，使得时， .【答案】()证明见解析；()证明见解析.试题解析：（）证法一：因为，时， ， ，即，当时， ，综上， .证法二：考虑到数列的前项和为，猜想，当时，结论显然成立.假设时， 成立，则当时，由，得 ，结论成立.综上：对任意，有，以下同解法一.从而 ，当时， ， ，所以 ，令设为不小于的最小整数，取 (即)，当时， .13【2016高考浙江理数
8、】设数列满足，（I）证明：，；（II）若，证明：，【答案】（I）证明见解析；（II）证明见解析【解析】试题解析：（I）由得，故，所以，因此（II）任取，由（I）知，对于任意，故从而对于任意，均有由的任意性得 否则，存在，有，取正整数且，则，与式矛盾综上，对于任意，均有14【2017届北京市东城区东直门中学高三上期中】在数列中，其中，（）当时，求，的值（）是否存在实物，使，构成公差不为的等差数列？证明你的结论（）当时，证明：存在，使得【答案】（），（）存在，使，构成公差不为的等差数列（）证明见解析.（），成等差数列，即，将，代入上式，解得经检验，此时，的公差不为存在，使，构成公差不为的等差数列（
9、），又，令，即取正整数，则：故当时，存在,使得15【2018届江苏省启东中学高三上10月月考】设数列的前项和为，且满足， 为常数（1）是否存在数列，使得？若存在，写出一个满足要求的数列；若不存在，说明理由（2）当时，求证： （3）当时，求证：当时， 【答案】（1）不存在，理由见解析 （2）证明见解析 （3）证明见解析【解析】试题分析：试题解析：（1）若，则，即，即，则，所以不存在数列使得 （2）由得，当时， ，两式相减得，即， ， ， ，当时， ，即，综上， （3）证1：由得，当时， ，两式相减得，另一方面， ，故证2：由得， ，所以当时， ，下同证1.16【2018届浙江省嘉兴市第一中学高三
10、9月测试】已知数列满足，求证：（I）；（II）；（III）.【答案】(1)见解析;(2) 见解析;(3) 见解析.【解析】试题分析：（1）利用数学归纳法证明；（2）作差法比较大小；(3) 因为，所以.从而. 即，所以又，故.试题解析：（I）（数学归纳法） 当时，因为，所以成立.假设当时，成立,则当时，.因为，且得所以也成立.（III）因为，所以.从而.所以，即.所以.又，故.17【2018届浙江省温州市高三9月测试】已知数列中，（）（1）求证：；（2）求证：是等差数列；（3）设，记数列的前项和为，求证： 【答案】(1)证明见解析；（2）证明见解析；（3）证明见解析.试题解析：（1）证明：当时，
11、满足，假设当（）时，则当时， ，即时，满足；所以，当时，都有（2）由，得，所以，即，即，所以，数列是等差数列（3）由（2）知，因此，当时，即时，所以时，显然，只需证明，即可当时， 18【2017浙江省镇海市镇海中学高中数学竞赛模拟二】已知函数的图象恒过定点，且点又在函数的图象上（）求实数的值；（）当方程有两个不等实根时，求的取值范围；（）设， ， ，求证， ， 【答案】(1) ；(2) 的取值范围为；（3）见解析又因为点在上，则即 ， （） 即，由图像可知： ，故的取值范围为（）， ， 19【2017届浙江省ZDB联盟高三一模】已知数列满足， ，数列的前项和为，证明：当时，（1）；（2）；（3
12、）.【答案】（1）见解析（2）见解析（3）见解析法求和得结论试题解析：证明：（1）由于，则.若，则，与矛盾，从而，又， 与同号，又，则，即.从而当时， ，从而.（3），叠加： .20【2018届浙江省“七彩阳光”联盟高三上期初联考】在数列中， ， .（1）求数列的通项公式；（2）设，数列的前项的和为，试求数列的最小值；（3）求证：当时， .【答案】（1）（2）（3）见解析【解析】试题分析：（1）构造新数列，则由已知化简可得新数列为首项为2，公比为2的等比数列，即得（2）， ，利用相邻两项的差得数列为单调递增数列，所以最小值为第一项（3）利用（2）中数列分解试题解析：解：（1）由条件得，又，所以
13、，因此数列构成首项为2，公比为2的等比数列，从而，因此， （3）当时， ，由（2）知，又， ，所以21【2017年浙江卷】已知数列满足： 证明：当时（I）;（II）；(III) 【答案】（I）见解析；（II）见解析；（）见解析.【解析】试题分析：（）用数学归纳法可证明；（）由（）可得， 构造函数，利用函数的单调性可证； （）由及，递推可得试题解析：（）用数学归纳法证明： 当n=1时，x1=10假设n=k时，xk0，那么n=k+1时，若，则，矛盾，故 因此所以，因此（）因为，所以，由，得，所以，故综上， 22【2017年北京卷】设和是两个等差数列，记 ，其中表示这个数中最大的数（）若， ，求的值，并证明是等差数列；
