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1、课时跟踪检测（五） 正弦定理、余弦定理的应用层级一学业水平达标1若水平面上点B在点A南偏东30方向上，在点A处测得点B的方位角是()A60B120C150 D210解析：选C方位角是指从正北方向顺时针旋转到达目标方向的水平角如图所示，点B的方位角是18030150.故选C.2A，B两点在河的两岸，为测量两点之间的距离，测量者在A的同侧，在河岸边选定一点C，测出A，C两点间的距离是100 m，BAC60，ACB30，则A，B两点间的距离是()A40 mB50 mC60 m D70 m解析：选B由已知得到示意图如图，已知AC100 m，BAC60，ACB30，所以ABC90，所以ABAC50 m，
2、故选B.3.如图，D，C，B三点在地面同一直线上，从地面上C，D两点望山顶A，测得它们的仰角分别为45和30，已知CD200 m，点C位于BD上，则山高AB等于()A100 mB50(1)mC100(1)m D200 m解析：选C设ABx m，在RtACB中，ACB45，BCABx m.在RtABD中，D30，BDx，BDBCCD，xx200，解得x100(1)4一船沿北偏西45方向航行，看见正东方向有两个灯塔A，B，AB10 n mile，航行 h后，看见一灯塔在其南偏东60方向上，另一灯塔在其南偏东75方向上，则这艘船的速度是()A5 n mile/hB5 n mile/hC10 n mi
3、le/h D10 n mile/h解析：选D如图所示，由题意知COA135，ACOACBABC15，OAC30，AB10，AC10.在AOC中，由正弦定理可得，OC5，v10，这艘船的速度是10 n mile/h，故选D.5.如图所示，位于A处的信息中心获悉：在其正东方向相距40 n mile的B处有一艘渔船遇险，在原地等待营救信息中心立即把消息告知在其南偏西30方向上且相距20 n mile的C处的乙船，现乙船朝北偏东的方向即沿直线CB前往B处救援，则cos 等于()A. B.C. D.解析：选B如图所示，在ABC中，CAB9030120，AC20 n mile，AB40 n mile.由余
4、弦定理，得BC220240222040cos 1202 800，所以BC20 n mile.过C作CDAB交BA的延长线于D.在ACD中，ACD30，AC20 n mile，所以CD10 n mile.所以cos cos DCB.6一船以22 km/h的速度向正北航行，在A处看灯塔S在船的北偏东45，1小时30分后航行到B处，在B处看灯塔S在船的南偏东15，则灯塔S与B之间的距离为_km.解析：如图，ASB1801545120，AB2233，由正弦定理，得，SB66(km)答案：667.一角槽的横断面如图所示，四边形ABED是矩形，已知DAC50，CBE70，AC90，BC150，则DE_.解
5、析：由题意知ACB120，在ACB中，由余弦定理，得AB2AC2BC22ACBCcosACB902150229015044 100.AB210，DE210.答案：2108线段AB外有一点C，ABC60，AB200 km，汽车以80 km/h的速度由A向B行驶，同时摩托车以50 km/h的速度由B向C行驶，则运动开始_ h后，两车的距离最小解析：如图所示，设t h后，汽车由A行驶到D，摩托车由B行驶到E，则AD80t，BE50t.因为AB200，所以BD20080t，问题就是求DE最小时t的值由余弦定理：DE2BD2BE22BDBEcos 60(20080t)22 500t2(20080t)50
6、t12 900t242 000t40 000.当t时，DE最小答案：9某海上养殖基地A，接到气象部门预报，位于基地南偏东60相距20(1)n mile的海面上有一台风中心，影响半径为20 n mile，正以10 n mile/h的速度沿某一方向匀速直线前进，预计台风中心将从基地东北方向刮过且(1)h后开始持续影响基地2 h求台风移动的方向解：如图所示，设预报时台风中心为B，开始影响基地时台风中心为C，基地刚好不受影响时台风中心为D，则B，C，D在一直线上，且AD20，AC20.由题意AB20(1)，DC20，BC(1)1010()在ADC中，因为DC2AD2AC2，所以DAC90，ADC45.
7、在ABC中，由余弦定理得cosBAC.所以BAC30，又因为B位于A南偏东60，603090180，所以点D位于A的正北方向，又因为ADC45，所以台风移动的方向为北偏西45.10.如图，测量人员沿直线MNP的方向测量，测得塔顶A的仰角分别是AMB30，ANB45，APB60，且MNPN500 m，求塔高AB.解：设ABx，AB垂直于地面，ABM，ABN，ABP均为直角三角形BMx，BNx.BPx.在MNB中，由余弦定理BM2MN2BN22MNBNcosMNB，在PNB中，由余弦定理BP2NP2BN22NPBNcosPNB，又MNB与PNB互补，MNNP500，3x2250 000x22500
8、xcosMNB，x2250 000x22500xcosPNB，得x2500 0002x2，x250或x250(舍去)所以塔高为250 m.层级二应试能力达标1若点A在点C的北偏东30方向上，点B在点C的南偏东60方向上，且ACBC，则点A在点B的()A北偏东15方向上B北偏西15方向上C北偏东10方向上 D北偏西10方向上解析：选B如图所示，ACB90.又 ACBC，CBA45.30，90453015.点A在点B的北偏西15方向上2.如图所示为起重机装置示意图支杆BC10 m，吊杆AC15 m，吊索AB5 m，起吊的货物与岸的距离AD为()A30 m B. mC15 m D45 m解析：选B在
9、ABC中，AC15 m，AB5 m，BC10 m，由余弦定理得cosACB，sinACB.又ACBACD180，sinACDsinACB.在RtADC中，ADACsinACD15 m.3某海轮以30 n mile/h的速度航行，在点A测得海面上油井P在其南偏东60方向上；海轮向北航行40 min后到达点B，测得油井P在其南偏东30方向上；海轮改为北偏东60的航向再行驶80 min到达点C，则P，C两点的距离为()A20 n mile B. n mileC20 n mile D. n mile解析：选A如图，过点P作AB的垂线，垂足为点E.由题意得APBABP30，APAB3020(n mile
10、)在RtPAE中，PEAPsin 6010(n mile)；在RtPBE中，PB20(n mile)由已知可得PBC90，BC3040(n mile)，在RtPBC中，PC20(n mile)4一船向正北航行，看见正西方向有相距10 n mile的两个灯塔恰好与它在一条直线上，继续航行 h后，看见一灯塔在船的南偏西60方向，另一灯塔在船的南偏西75方向，则这只船的速度是_ n mile/h.解析：如图，依题意有BAC60，BAD75，所以CADCDA15，从而CDCA10，在直角三角形ABC中，可得AB5，于是这只船的速度是10 n mile/h.答案：105.如图所示，在山底A处测得山顶B的
11、仰角CAB45，沿倾斜角为30的山坡向山顶走1 000 m到达S点，又测得山顶仰角DSB75，则山高BC为_ m.解析：SAB453015，SBAABCSBC45(9075)30，在ABS中，AB1 000，BCABsin 451 0001 000(m)答案：1 0006如图，从气球A上测得其正前下方的河流两岸B，C的俯角分别为75，30，此时气球的高度AD是60 m，则河流的宽度BC是_ m.解析：由题意知，在RtADC中，C30，AD60 m，AC120 m在ABC中，BAC753045，ABC18075105，由正弦定理，得BC120(1)(m)答案：120(1)7.在一次海上联合作战演
12、习中，红方一艘侦察艇发现在北偏东45方向，相距12 n mile的水面上，有蓝方一艘小艇正以每小时10 n mile的速度沿南偏东75方向前进，若红方侦察艇以每小时14 n mile的速度，沿北偏东45方向拦截蓝方的小艇，若要在最短的时间内拦截住，求红方侦察艇所需的时间和角的正弦值解：如图，设红方侦察艇经过x小时后在C处追上蓝方的小艇，则AC14x，BC10x，ABC120.根据余弦定理得(14x)2122(10x)2240xcos 120，解得x2.故AC28，BC20.根据正弦定理得，解得sin .所以红方侦察艇所需要的时间为2小时，角的正弦值为.8已知圆内接四边形ABCD的边长分别为AB
13、2，BC6，CDDA4，求四边形ABCD的面积解：如图所示，连接BD，则四边形ABCD的面积为：SSABDSBCDABADsin ABCCDsin C.因为AC180，所以sin Asin C，所以S(ABADBCCD)sin A(2464)sin A16sin A.在ABD中，由余弦定理，得BD2AB2AD22ABADcos A2242224cos A2016cos A.在CDB中，BD2CB2CD22CBCDcos C6242264cos C5248cos C.所以2016cos A5248cos C.因为cos Ccos A，所以64cos A32，所以cos A，所以A120，所以S16sin 1208.
