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1、 1 1课时分层训练(四十四)空间向量在立体几何中的应用A组基础达标(建议用时：30分钟)一、选择题1已知平面内有一点M(1，1,2)，平面的一个法向量为n(6，3,6)，则下列点P中，在平面内的是() 【导学号：57962361】AP(2,3,3)BP(2,0,1)CP(4,4,0)DP(3，3,4)A逐一验证法，对于选项A，(1,4,1)，n61260，n，点P在平面内，同理可验证其他三个点不在平面内2(20xx西安调研)如图779，在空间直角坐标系中有直三棱柱ABCA1B1C1，CACC12CB，则直线BC1与直线AB1夹角的余弦值为()图779A.BC.DA不妨设CB1，则B(0,0,
2、1)，A(2,0,0)，C1(0,2,0)，B1(0,2,1)，(0,2，1)，(2,2,1)cos，.3正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为a，点M在AC1上且，N为B1B的中点，则|为()A.aBaC.aDaA以D为原点建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz，则A(a,0,0)，C1(0，a，a)，N.设M(x，y，z)，点M在AC1上且，(xa，y，z)(x，ay，az)，xa，y，z.得M，|.4已知正三棱柱ABCA1B1C1的侧棱长与底面边长相等，则AB1与侧面ACC1A1所成角的正弦值等于()A.BC.DA如图所示建立空间直角坐标系，设正三棱柱的棱长为2，O(0,0,0)，B(，0
3、,0)，A(0，1,0)，B1(，0,2)，则(，1,2)，则(，0,0)为侧面ACC1A1的法向量即sin .故选A.5在正方体ABCDA1B1C1D1中，点E为BB1的中点，则平面A1ED与平面ABCD所成的锐二面角的余弦值为() 【导学号：57962362】A.BC.DB以A为原点建立如图所示的空间直角坐标系Axyz，设棱长为1，则A1(0,0,1)，E，D(0,1,0)，(0,1，1)，.设平面A1ED的一个法向量为n1(1，y，z)，有即解得n1(1,2,2)平面ABCD的一个法向量为n2(0,0,1)cosn1，n2，即所成的锐二面角的余弦值为.二、填空题6已知点P是平行四边形AB
4、CD所在的平面外一点，如果(2，1，4)，(4,2,0)，(1,2，1)对于结论：APAB；APAD；是平面ABCD的法向量；.其中正确的序号是_0，0，ABAP，ADAP，则正确又与不平行是平面ABCD的法向量，则正确由于(2,3,4)，(1,2，1)，与不平行，故错误7(20xx郑州模拟)在长方体ABCDA1B1C1D1中，AB2，BCAA11，则D1C1与平面A1BC1所成角的正弦值为_. 【导学号：57962363】以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，设n(x，y，z)为平面A1BC1的法向量，则n0，n0，即令z2，则y1，x2，于是n(2,1,2)
5、，(0,2,0)设所求线面角为，则sin |cosn，|.8在一直角坐标系中，已知A(1,6)，B(3，8)，现沿x轴将坐标平面折成60的二面角，则折叠后A，B两点间的距离为_. 【导学号：57962364】2如图为折叠后的图形，其中作ACCD，BDCD，则AC6，BD8，CD4，两异面直线AC，BD所成的角为60.故由，得|2|268，|2.三、解答题9(20xx南昌模拟)如图7710，四棱锥SABCD中，SD底面ABCD，ABDC，ADDC，ABAD1，DCSD2，E为棱SB上的一点，且SE2EB.图7710(1)证明：DE平面SBC；(2)求二面角ADEC的大小解由题意，以D为坐标原点，
6、分别以DA，DC，DS所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系(如图)，则A(1,0,0)，B(1,1,0)，C(0,2,0)，S(0,0,2)，(1,1,0)，(0,0,2).2分(1)证明：SE2EB，(1,1,0)(0,0,2).又(1,1,0)，(1，1,2)，0，0，4分，.又BCBSB，DE平面SBC.5分(2)由(1)知，DE平面SBC，EC平面SBC，DEEC.7分取DE的中点F，则F，故0，由此得FADE.10分向量与的夹角等于二面角ADEC的平面角，又cos，二面角ADEC的大小为120.12分10在四棱锥PABCD中，PD底面ABCD，底面ABCD为正方形，PDDC，
7、E，F分别是AB，PB的中点(1)求证：EFCD；(2)在平面PAD内是否存在一点G，使GF平面PCB.若存在，求出点G坐标；若不存在，请说明理由解(1)证明：如图，以DA，DC，DP所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系设ADa，则D(0,0,0)，A(a,0,0)，B(a，a,0)，C(0，a,0)，E，P(0,0，a)，F，则，(0，a,0).3分0，从而得EFCD.5分(2)假设存在满足条件的点G，设G(x,0，z)，则.若使GF平面PCB，则FGCB，FGCP.(a,0,0)a0，得x.8分由(0，a，a)a0，得z0.G点坐标为，即存在满足条件的点G，且点G为AD的中点.
8、12分B组能力提升(建议用时：15分钟)1(20xx河南百校联盟联考)已知斜四棱柱ABCDA1B1C1D1的各棱长均为2，A1AD60，BAD90，平面A1ADD1平面ABCD，则直线BD1与平面ABCD所成的角的正切值为()A.BC.DC取AD中点O，连接OA1，易证A1O平面ABCD.建立如图所示的空间直角坐标系，得B(2，1,0)，D1(0,2，)，(2,3，)，平面ABCD的一个法向量为n(0,0,1)，设BD1与平面ABCD所成的角为，sin ，tan .2(20xx衡水中学质检)如图7711所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，棱长为a，M，N分别为A1B和AC上的点，A1MA
9、N，则MN与平面BB1C1C的位置关系是_图7711MN平面BB1C1C以C1为坐标原点建立如图所示的坐标系A1MAN，则M，N，.又C1(0,0,0)，D1(0，a,0)，(0，a,0)，0，.又是平面BB1C1C的法向量，且MN平面BB1C1C，MN平面BB1C1C.3(20xx天津高考)如图7712，正方形ABCD的中心为O，四边形OBEF为矩形，平面OBEF平面ABCD，点G为AB的中点，ABBE2.图7712(1)求证：EG平面ADF；(2)求二面角OEFC的正弦值；(3)设H为线段AF上的点，且AHHF，求直线BH和平面CEF所成角的正弦值解依题意，OF平面ABCD，如图，以O为原
10、点，分别以，的方向为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系，依题意可得O(0,0,0)，A(1,1,0)，B(1，1,0)，C(1，1,0)，D(1,1,0)，E(1，1,2)，F(0,0,2)，G(1,0,0).2分(1)证明：依题意，(2,0,0)，(1，1,2)设n1(x1，y1，z1)为平面ADF的法向量，则即4分不妨取z11，可得n1(0,2,1)又(0,1，2)，可得n10.又因为直线EG平面ADF，所以EG平面ADF.5分(2)易证(1,1,0)为平面OEF的一个法向量，依题意，(1,1,0)，(1,1,2).7分设n2(x2，y2，z2)为平面CEF的法向量，则即不妨取x21，可得n2(1，1,1).9分因此有cos，n2，于是sin，n2.所以，二面角OEFC的正弦值为.(3)由AHHF，得AHAF.因为(1，1,2)，所以，进而有H，从而.因此cos，n2.所以，直线BH和平面CEF所成角的正弦值为.12分
