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1、本 科 生 毕 业 论 文函数列三种收敛的关系探究学 号： 2009563018 姓 名： 刘玉良 年 级： 09级本科二班 系 别： 数学系 专 业： 数学与应用数学 指导教师： 王国贤 完成日期： 2013年4月20日 承 诺 书我承诺所呈交的毕业论文（设计）是本人在指导教师指导下进行研究工作所取得的研究成果.据我查证，除了文中特别加以标注的地方外，论文中不包含他人已经发表或撰写过的研究成果.若本论文（设计）及资料与以上承诺内容不符，本人愿意承担一切责任. 毕业论文（设计）作者签名： 日期： 年 月 日黑河学院本科毕业论文（设计）目 录摘 要IAbstractII前 言1第一章 基本概念2
2、1.1 一致收敛的相关定义21.2 依测度收敛的定义41.3 几乎处处收敛的定义5第二章 函数列收敛之间的关系62.1 几乎处处收敛与一致收敛间的关系62.2 依测度收敛与几乎处处收敛之间的关系82.3 一致收敛与依测度收敛之间的关系122.4 基本上一致收敛与几乎处处收敛之间的关系122.5 基本上一致收敛与依测度收敛之间的关系13第三章 利用收敛性的关系解决问题153.1 利用一致收敛问题解决几乎处处收敛问题153.2 利用依测度收敛问题解决几乎处处收敛问题163.3 利用几乎处处收敛问题解决一致收敛问题18结 论19参考文献20致 谢21摘 要本文讨论了实数系下函数列的一致收敛、依测度收
3、敛、几乎处处收敛、基本上一致收敛的定义及定理，以及四种收敛之间的区别与联系.在有些条件（一般可测集和有限可测集）改变时，这几种收敛性相互之间又没有必然的联系.给定一个函数列，我们在考虑它的收敛性问题时，应该注意各种收敛之间有什么关系以及在什么意义下收敛.对于可测函数列来说，下文所介绍的叶果洛夫定理指出了几乎处处收敛与一致收敛的某种关系，黎斯定理指出了依测度收敛和几乎处处的某种关系，由于函数列一致收敛性有着重要意义，可以预见这一定理有广泛的应用，此外本文引进的依测度收敛的概念是可测函数列最经典的一种收敛，它在概率中有着具体含义.而研究清楚了它们之间的关系，我们可以应用相关定理来解决一些简单的问题
4、.进而使我们能够对于黎斯定理、叶果洛夫定理进行简单的应用，同时使我们对于定理有了更加深刻的理解和认识.关键字：收敛；一致；依测度；几乎处处；基本上 AbstractThis paper discussed the uniform convergence，convergence in measure， almost everywhere convergence，basically uniform convergence definition and theorem in the actual amount，and there is some difference between the four
5、 kinds of definitions of convergence. If some conditions (general measurable sets and finite measurable set) are changed，the convergence does not always establish. Given a sequence of function， when we consider convergence，we should pay attention to the relationship between the various convergences
6、and in which sense. Facing to the convergence of measurable function sequence，EropoB theorem pointed out the relationship between almost everywhere convergence and the uniform convergence. Riesz theorem pointed out the relationship between convergence in measure and almost everywhere convergence. Be
7、cause of the significance of uniform convergence of function sequence，we can forecast this theory could be applied widely. In addition，the concept of the convergence in measure is one of the most classic concepts of measurable functions，and it has a specific meaning in probability. If we can make cl
8、early the relationship between them， we can apply related theorem to solve some simple problems and we can perform simple application for Riesz theorem and EropoB theorem，at the same time we have a more profound understanding and knowledge for the theorem.Key words: Convergence; Uniform; According t
9、o the measure; Almost everywhere; Almost II 前 言高等数学教学中的一个至关重要的概念就是具有收敛性的函数列的收敛问题，这是一个对我们数学学习研究有重要意义的问题.并且对于我们研究数学分析问题有重要的意义.是数学分析理论的重要组成部分和理论基础，是实变函数重要概念之一.在数学应用与技术工程中有着广泛应用，无论在数学科学本身还是在其他技术科学的研究中都是有着重要的研究价值.而如果通过函数列收敛的定义推断出函数列收敛性关系则是非常复杂的，因此，找出判断函数收敛性问题的方法则是非常重要的.所以，本文研讨了实函数列的一致收敛、依测度收敛、几乎处处收敛、基本上一
10、致收敛的概念、转化关系以及应用进行了深入的总结和分析，而在大部分资料中一般给出实函数列收敛关系的内容较简单，篇幅少，为了对实变函数列的一致收敛、依测度收敛，几乎处处收敛、近一致收敛的关系有更加全面的掌握和正确的理解，本文做了以下几点讨论：1.研究了一致收敛、依测度收敛，几乎处处收敛、近一致收敛的定义.2.给出了函数列几乎处处收敛的定理、一致收敛的定理、依测度收敛以及基本上一致收敛的定理.3.将函数列的黎斯定理、叶果罗夫定理、勒贝格定理进行了简单的应用.通过以上的讨论和研究，使得判定函数列的各种收敛性之间的关系变得更加透彻与清晰. 第一章 基本概念1.1 一致收敛的相关定义我们知道收敛与一致收敛
11、的理论，是我们学习数学分析的重要概念之一，同时也是数学教学中的难点之一，特别是函数列的收敛与函数列一致收敛的问题，在各个版本的数学分析教科书中都有着重要地位.从实数序列收敛问题的基础上直接引入的函数序列的收敛，一致收敛的定义，并由此进行了深入的研究，这也将使这部分内容可以独立的建立自己的脉络，更有利于我们的理解和学习1.收敛的几个相关的定义数列的收敛性的定义定义1.12 设，是一实数，都存在正时，就有定义1.1 改用说法 当时，有.例如 序列， ， 有极限，其中每一项的特征是它们均为函数，而它们每一项的极限也是的函数，因此，它们构成了的序列就不是实数序列，而是函数序列，其一般式可记为.函数列收
12、敛的定义如下定义1.23 设函数列，每项及函数均在数集上有定义.若，函数列收敛于.即 有则函数列在上收敛于并称函数是函数列的极限函数. 定义1.2 改用说法 设与在数集E上均有定义.对每一个确定的，任给则恒存在，假使当时，总有则函数列在E上收敛于，并称的极限函数是函数.即.我们可以了解到函数列的收敛性问题不但要考虑函数列的趋向，而且要考虑到极限函数，所以函数列的收敛性问题就比实数列的收敛问题复杂很多，因此有了更广泛的意义，但是，时变化趋势，例如当时代入函数列，从而就可以得到函数列: ，.，这时考虑的收敛性就是数列的收敛问题.函数列在数集上每一点都收敛，也就是说点态收敛.它反映了，对于函，我们不
13、仅，而且更重的是还要和极限函数所具备的性质；例:如果函数列的每一项都具备了某种特性(如连续性，可积性)，那么极限函数是不是有同样的性质，对于这类问题的讨论，我们只要求了解在数集上收敛的函数列问题是不全面的.因此，有时收敛性不能保证极限函数收敛性的特性.定义1.3 设是定义在可测集上的实函数.如果，集合（勒贝格可测），则称f是定义在E上的（勒贝格）.例如 狄利克雷函数就是可测函数对于任意有限实数，而均可测集. 所以，可测集，则由定义知狄利克雷函数就是可测函数.标注15 设是定义在可测集E上的，下列都是在E上（勒贝格）可测的： （1）对任何有限实数，都可测； （2）对任何有限实数，都可测； （3）
14、对任何有限实数，都可测； （4）对任何有限实数，都可测.定义1.4 设为一可测空间，E是一个可测集.：E为定义在E上的函数.若对任意有限实数，总有，则称为可测函数（简称E上的可测函数).定义1.58 凡是外测度为零之集皆可测，称为零测度集. 用符号语言表示为 为一集合，则为零测度集.定义1.6 若是一个与集合E的点有关的命题，如果存在E的子集，适合 ，使得在上恒成立，也就是说，零测度集，则我们称在E上几乎处处成立，或说.定义1.78 设定义在点集上的广义实值可测函数，若有=则称在点集上是几乎处处有限的. 用符号语言表示 ， 注意， 与是不同的，后者蕴含于前者，但是反之则不成立.例如 1.=当时说，=，而 (在处不连续). 2.=当时说，而(在=处不连续). 3.=对于所有的来说， (每一处都连续).其中，以上每一题中数集都为. 这时我们就对函数列收敛问题提出了更多的想法，极限函数的分析性才能得到保证.数分中的一个显著方法就是由函数列收敛性推出函数收敛的性质，而点态收敛不足以胜任这个任务，那么，比点态收敛性强一点的收敛性概念就要被
