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1、3概率1收敛与强大数定律一、以概率1收敛二、强大数定律本章补充与注记本章习题一、以概率1收敛大家知道,随机变量是定义在概率空间上取值为实数的函数.因此我们可以像数学分析讨论函数序列逐点收敛性那样去讨论随机变量序列在每个样本点处的值的收敛性.然而,由于随机变量取值的随机性,我们常常不可能期望随机变量序列在所有点处都存在极限.现在的问题是研究极限是否在一个概率为1的点集上存在.定义1设和n是定义在概率空间(Q,F,P)上的随机变量序列.1.如果存在0，F,P(o)=O,且对任意，Q0,有n()()，则称n以概率1收敛(convergewithprobabilityone)或几乎处处收敛(almos
2、tsurelyconverge)于，记作n(a.s.).2.如果存在0，F,P(0)=0,且对任意，Q0,数列n(s)是柯西基本列，即(nmfg),则称n以概率1是柯西基本列.注n(a.S.)意味着最多除去一个零概率事件外，n逐点收敛于.根据柯西基本数列一定存在极限的原则，n以概率1收敛当且仅当n以概率1是柯西基本列.下面给出以概率1收敛的判别准则.定理1设和n是定义在概率空间(Q,F,P)上的随机变量序列.(1) n(a.S.)当且仅当对任意0,limP(supl_m)0kn8kn,或者等价地limP(YI_l)0kngkn(2) n以概率1是柯西基本列当且仅当对任意0,limP(suplg
3、gls)0n+kk或者等价地Tk0,limP(YIg-gls)0n+kknTk0(1)对任意0,令AsIg，gIs,nnAs=IYAskn=1kn.那么由连续性定理(第一章3),则下列关系式成立:YA1/mm1P(As)P(tYAs)limP(YAs)kk.,nTn1knknP(YA1/m)0)m11nk,对任意m11)0kmkm,对任意m1s)0kkn,对任意80.Bsn,k.对任意80,令Ig，gIs,BstYYBsn+knn,k,那么m=1nmk1YBn不是柯西基本列=s0g以下类似于(1)即可证明.艺P(Ig”gIs)0,n1,则n(a.s.).P(YIg-gIs)s)0kk证注意到k
4、nkn即可.注定理1表明gnTg(a.S.)可推出gng.反之，存在例子表明gng并不能导出n7（a.s.）（见补充与注记4）.二、强大数定律与以概率1收敛密切相关的是强大数定律.定义2设n是定义在概率空间（Q,F,P）上的随机变量序列，如果存在常数列an和bn使得丄，bT0aknnk=1（a.S.）,则称n服从强大数定律（stronglawoflargenumbers）.由于几乎处处收敛性强于依概率收敛性,故强大数定律也比弱大数定律更深入一步.我们在第二节知道，贝努里通过对二项分布的精确估计得到贝努里弱大数定律，即贝努里随机试验中事件发生的频率依概率收敛于该事件的概率.直到1909年波雷尔才
5、证明了下面更强的结果.定理2（波雷尔强大数定律）设n是定义在概率空间（Q,F,P）上的独立同分布随机变量序列，P(n=1)=p.P(nSn=0)=1-p,0pn,io,如果f()n.ii则pi也独立同分布.而且EP1=P(f(丿沁)=11JJdxdy=J1(Jf(x)dy)dx=J1f(x)dx000yf(x)由定理3,1工pnkk=1TJ1f(x)dx0(a.s.).(3)J1f(x)dx因此我们可以通过模拟来计算积分值o方法是：在xoy平面的正方形0WxW1,0WyW1上随机投点，统计落在区域0WxW1,OWyWf(x)内的频率(即为(3)式的左边)，当投点次数充分多时,此频率可充分接近所
6、求积分.至此,我们已经介绍了概率论中一些经典的极限定理.补充与注记1. 在18和19世纪,极限定理一直是概率论研究的中心课题.贝努里大数定律是第一个从数学上被严格证明的概率论定律,它由贝努里在其1713年出版的名著推测术中详细给出.大数律这个名称则是泊松(Poisson1781-1840)于1837年提出的.中心极限定理这个名词1920年由波利亚(Po0lya)给出，用于统称随机变量序列部分和的分布渐近于正态分布的一类定理.它是概率论中最为重要的一类定理，并有着广泛的实际背景.最初的中心极限定理是关于n重=1贝努里试验的，1716年，德莫佛对2的情形作了讨论，随后拉普拉斯将其推广到P直到德莫佛
7、-拉普拉斯的重要发现以后，贝努里大数律才有了新的、较为简单的证明.事实上，德莫佛-拉普拉斯证明了如下的局部和整体中心极限定理：对足够大的n和k/nsP,pkqnk1咒2兀npq(knp)2(2npq),k,k：Kkn)P|X/pkqnkJ1)4.。域,1艺ak罟+“k=1rrr!(r”1),依概率收敛不能推出以概率1收敛，例如：令Q=0,1,P为0,1上的勒贝格测度(长度).定义fl,(i-1)/n,i/n,i二nI。*(-1)/n,/n.i=1,2,n;n=1,2,F为0,1上所有波雷尔集构成的考虑随机变量序列：2f,3,3!,f,A,并重新记成En.首先注意到，对任意0,maxP(iiI)
8、1T0即即n0.另一方面，对任意1Winnnn(s),n=l,2,中有无穷多个1,也有无穷多个0,因此此n(S)不存在极限.1.下列分布函数列是否弱收敛于分布函数？(1)x-1/n时，Fn(x)0；xn-l/n时，Fn(x)1;(2)Fn(x)n0,(x+n)/2n,1,x，n,nxn.2.设En的分布列为:P(En=0)=1-1/n,P(En=1)=1/n,n=1,2，.求证相应的分布函数列收敛于分布函数，但EEn不收敛于相应分布的期望.EE01E/2k3. 设En为独立同分布随机变量序列，En的分布列为5。5丿,nk1k.求证n的分布收敛于0,1上的均匀分布.4. 某计算机系统有120个终
9、端.(1) (1)每个终端有5%时间在使用，若各终端使用与否是相互独立的,求有10个或更多终端在使用的概率;(2) (2)若每个终端有20%时间在使用,求解上述问题.5. 现有一大批种子，其中良种占1/6.在其中任取6000粒，问在这些种子中良种所占的比例与1/6之差小于1%的概率是多少？6. 某车间有200台车床，工作时每台车床60%时间在开动，每台开动时耗电1千瓦.问应供给这个车间多少电力才能有0.999的把握保证正常生产？7. 一家保险公司里有10000个同类型人参加某种事故保险，每人每年付12元保险费，在一年中一个人发生此种事故的概率为0.006，发生事故时该人可向保险公司领得1000
10、元.问：(1) 对该项保险保险公司亏本的概率有多大？(2) 对该项保险保险公司一年的利润不少于60000元的概率有多大？&一家火灾保险公司承保160幢房屋，最高保险金额有所不同，数值如下表所示：最大保险金额(万兀)投保房屋数10802035302550151005假设1) 每幢房屋每年一次理赔概率0.04，大于一次理赔概率为0；2) 各幢房屋是否发生火灾相互独立；3) 如果理赔发生，理赔量服从0到最高保险金额间的均匀分布.记N为一年中理赔次数，S为理赔总量，a. 计算N的期望值和方差;b. 计算S的期望值和方差;c. 确定相对保证附加系数，即=（每份保单保费收入-平均理赔量）/平均理赔量，以确
11、保保险公司的保费收入大于理赔总量的概率等于0.99.bn9.某保险公司开办5种人寿险，每种险别（一旦受保人死亡）的赔偿额k及投保人数k如下表所示.类别k、b赔偿额（万兀）kn投保人数k118000223500332500451500510500设死亡是相互独立的,其概率皆为0.02.保险公司为安全起见,对每位受保人寻求再保险.其机制如下：确定一个自留额，设为2万元；若某人的索赔在2万元以下，则都由该保险公司偿付；若赔偿金超过2万元，则超过部分由再保险公司偿付；再保险率为投保金额的2.5%.该保险公司（相对于再保险公司而言，也称为分出公司）希望它的全部费用（即实际索赔总额S+再保险费）不超过825万元，求实际费用突破此限额的概率.10.设,n独立同分布，其分布分别为（1）-a,a上的均匀分布；（2）泊松分布.记耳=:（,kE,）/Var,knk=1k=1.计算耳n的特征函数，并求n时的极限，从而验证林德贝格勒维定理在这
