《随机过程习题和答案》由会员分享，可在线阅读，更多相关《随机过程习题和答案（11页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、-一、 1.1设二维随机变量(,)的联合概率密度函数为：试求:在时,求。解：当时， 1.2 设离散型随机变量*服从几何分布：试求的特征函数，并以此求其期望与方差。解： 所以：2.1 2.2 设随机过程，其中是常数，与是相互独立的随机变量，服从区间上的均匀分布，服从瑞利分布，其概率密度为试证明为宽平稳过程。解：1 与无关 2 ，所以 3 只与时间间隔有关，所以为宽平稳过程。2.32.42.53.1一队学生顺次等候体检。设每人体检所需的时间服从均值为2分钟的指数分布并且与其他人所需时间相互独立，则1小时平均有多少学生承受过体检？在这1小时最多有40名学生承受过体检的概率是多少设学生非常多，医生不会
2、空闲 解：令表示时间的体检人数，则为参数为30的poisson过程。以小时为单位。则。3.2在*公共汽车起点站有两路公共汽车。乘客乘坐1,2路公共汽车的强度分别为，当1路公共汽车有人乘坐后出发；2路公共汽车在有人乘坐后出发。设在0时刻两路公共汽车同时开场等候乘客到来，求11路公共汽车比2路公共汽车早出发的概率表达式；2当=，=时，计算上述概率。解：法一：1乘坐1、2路汽车所到来的人数分别为参数为、的poisson过程，令它们为、。表示=的发生时刻，表示=的发生时刻。2当=、=时，法二：1乘车到来的人数可以看作参数为+的泊松过程。令、分别表示乘坐公共汽车1、2的相邻两乘客间到来的时间间隔。则、分
3、别服从参数为、的指数分布，现在来求当一个乘客乘坐1路汽车后，下一位乘客还是乘坐1路汽车的概率。故当一个乘客乘坐1路汽车后，下一位乘客乘坐2路汽车的概率为1-上面的概率可以理解为：在乘客到来的人数为强度+的泊松过程时，乘客分别以概率乘坐公共汽车1，以的概率乘坐公共汽车2。将乘客乘坐公共汽车1代表试验成功，则有：2当=、=时3.3设，是个相互独立的Poisson过程，参数分别为。记为全部个过程中，第一个事件发生的时刻。1求的分布；2证明是Poisson过程，参数为；3求当个过程中，只有一个事件发生时，它是属于的概率。解：1记第个过程中第一次事件发生的时刻为，。则。由服从指数分布，有2方法一：由为相
4、互独立的poisson过程，对于。这里利用了公式所以是参数为的poisson过程。方法二：当时，当时，得证。33.4 证明poisson过程分解定理：对于参数为的poisson过程，可分解为个相互独立的poisson过程，参数分别为，。解：对过程，设每次事件发生时，有个人对此以概率进展记录，且，同时事件的发生与被记录之间相互独立，个人的行为也相互独立，以表示为到t时刻第i个人所记录的数目。现在来证明是参数为的poisson过程。独立性证明：考虑两种情况的情形，即只存在两个人记录，一个以概率，一个以概率记录，则是参数为的poisson过程，是参数为的poisson过程。得证。3.5 设是参数为3
5、的poisson过程，试求1；2；3解：1 233.6 对于poisson过程，证明时，解：3.7 设和分别是参数为，的Poisson过程，另，问是否为Poisson过程，为什么？解：不是，的一维特征函数为：参数为的Poisson过程的特征函数的形式为，所以不是poisson过程。3.8 计算，的联合分布解：3.9 对，计算。解：3.10 设*医院专家门诊，从早上8:00开场就已经有无数患者等候，而每个专家只能为一名患者效劳，效劳的平均时间为20分钟，且每名患者的效劳时间是相互独立的指数分布。则8:00到12:00门诊完毕时承受过治疗的患者平均在医院停留了多长时间。解：从门诊部出来的患者可以看
6、作服从参数为3的泊松过程以小时为单位。 则在小时承受治疗的患者平均停留时间为：当时，平均等待停留时间为。.11 是强度函数为的非齐次Poisson过程，是事件发生之间的间隔时间，问：1诸是否独立?2诸是否同分布？解：1。 从上面看出、不独立。 以此类推，不独立。 2； 分布不同。3.12 设每天过*路口的车辆数为：早上7:00 8:00,11:0012:00为平均每分钟2辆，其他时间平均每分钟1辆。则早上7:3011:20平均有多少辆车经过此路口，这段时间经过路口的车辆数超过500辆的概率是多少？解：1记时刻7:00为时刻0，以小时为单位。经过路口的车辆数为一个非齐次poisson过程，其强度
7、函数如下： 则在7：3011：20时间，即时，代表这段时间通过的车辆数，它服从均值为如下的poisson分布。即：，在给定的时间平均通过的车辆数为280。 2。3.13 0,t时间*系统受到冲击的次数，形成参数为的poisson过程。每次冲击造成的损害，独立同指数分布，均值为。设损害会积累，当损害超过一定极限A时，系统将终止运行。以记系统运行的时间寿命，试求系统的平均寿命。解：在*系统受到的总损害为一个复合poisson过程，其中。 系统的平均寿命为14 *商场为调查顾客到来的客源情况，考察了男女顾客来商场的人数。假设男女顾客来商场的人数分别独立地服从每分钟2人与每分钟3人的泊松过程。（1）
8、试求到*时刻时到达商场的总人数的分布；（2） 在时刻以有50人到达的条件下，试求其中恰有30位妇女的概率，平均有多少个女性顾客？解：设分别为0,t时段到达商场的男顾客数、女顾客数及总人数。（1） 由，为强度的泊松过程，为强度的泊松过程；故，为强度的泊松过程；于是， 5分2 5分 一般地， 故平均有女性顾客 人 4分 4.11对 2错 当时，有可能小于t3错，时，可能等于n。4.2 更新过程的来到间隔服从参数为的分布。1试求的分布；2试证。解：1 2由强大数定律：，以概率1成立。，。 则：，故。4.3 对于Poisson过程证明定理4.1. 解：；。4.4 设，计算，。解：12 34.5 一个过
9、程有个状态，最初在状态1，停留时间为，离开1到达2停留时间为，再到达3，最后从回到1，周而复始，并且过程对每一个状态停留时间的长度是相互独立的。试求设且为非格点分布。解：记过程处于状态i记为开，从状态i+1到n，经过n再回到1，再到i-1这一过程记为关。 则有，。 设初始状态从1第一次到i需要时间。 则。4.6 用交织更新过程原理计算t时刻的寿命与剩余年龄的极限分布。解：为t时刻剩余寿命，为t时刻年龄。 假设假设更新过程是将一个部件投入使用而一旦失效即更换所产生的，则表示在时刻t部件所使用的年龄，而表示它的剩余寿命。 令，即表示两次相邻更新的时间间隔，我们要计算，为此我们将一个开-关的循环对应于一个更新区间，且假设在t时刻的年龄小于或等于*，就说系统在时刻t“开着。换言之，在两次相邻的时间为的时间，前*时间系统“开着，而其余时间“关着。 则假设的分布非格点的，由定理4.10得到同理:4.7 对t时刻最后一次更新取条件重新给出定理4.10的证明。解：表示时刻t前的最后一次更新。令对最后一次更新取条件概率有：；为非负不增函数，且，则由关键更新定理得到：。4.8 对延迟更新过程证明更新方程解：，。 令，从上面可以推出：. z.
