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1、运用截长补短法证“A二B+C”型重庆市合川区合阳中学：李明在四边形证明中，我们经常遇到证” A=B+C”型的题，证明这类题，我们常 采用截长补短法。截长补短法实际上是两种方法：截长法、补短法。何为截长法， 就是在A线段上截取一段等于B线段或C线段，然后通过证三角形全等的方法 证明A线段中余下的线段等于C线段或B线段。补短法：就是延长B线段或C 线段，在延长线上取一段等于C线段或B线段，然后通过证全等的方法证到 “A=B+C”型。虽然，我们很多同学知道这类题的方法，但在实际操作中仍然不 能正确地证明它，主要原因是很多同学没有搞清这类题的证明途径有几种，实际 上它有六种途径：1、在A线段上截取一段
2、等于B线段，再证余下的等于C线段。 2、在A线段上截取一段等于C线段，再证余下的等于B线段。3、将B线段向 某方向延长，在延长线上取一段等于C线段，证整条线段等于A线段。4、将B 线段向上一种的相反方向延长，在延长线上取一段等于C线段，证整条线段等于 A线段。5、将C线段向某方向延长，在延长线上取一段等于B线段，证整条线 段等于A线段。6、将C线段向上一种的相反方向延长，在延长线上取一段等于 B线段，证整条线段等于A线段。这六种途径中总有一种能证明“A=B+C”型。但 是，同学们在实际证明中只考虑到其中一种或二种，就再也没有考虑其他几种， 所以导致每次做这种题受阻。几何证明题没有固定的方法，只
3、有将这六种途径进 行逐一验证，多加练习，自然就能体会到其中的精神。下面，我举一些例子供大 家参考。一、利用“截长补短法”进行证明例1：如图，在菱形ABCD中，点E、F分别是线段AB、BC的中点，连结 CE、AF。点 G 为 AD 上一点。连结 CG，使得ZDGC = 2ZFAB，求证：CG二AB+AG. 证法一：如图1,在CG上截取CM=BC，连结AM。在菱形ABCD中，E、F分别是线段AB、BC的中点，BCE空ABAF, ZBCE二ZBAF;又 VZDGC=2ZFAB, ZDGC=ZGCB, AZGCE=ZBCE, .BCEMCE, AZB=ZCME,ME=AE.ZB+ZBAG=180 ,
4、ZCME+ZEMG=180 , AZEMG=ZEAG. TAE二ME（已证），AG二MG, CG+BC+AG. CG=AB+AG.证法二：延长CE、DA,相交于点M。VZDGC=2ZFAB=2ZBCE（同上），.ZGCM=ZMCB. 又TAD | BC, AZBCM=ZM,.ZGCM=ZM, ACG=GM,又T E是AB的中点BCE空AAME,BC=AM. CG=AB+AG.点评：此题采用截长法或补短法都可以，但是，如果在CG上截取一段等于 AG,这种方法证明就很困难，因为它不能利用已知条件。延长BA或AB也不 行。所以，运用截长法时，必须考虑在A线段上截取哪一条线段才行；如果运 用补短法，应
5、考虑在哪条线段上向哪一方向延长。无论采用何种方法，必须是能 运用已知条件才行。二、利用“补短法”进行证明例2：如图，E为正方形ABCD的CD边上一点，连接BE，过点A作AF |BE,交CD的延长线于点F，ZABE的平分线分别交AF、AD于点G、H.求证:BE=AH+DF.n 证明：延长HA，在HA的延长线上取一段AM=DF.T四边形ABCD是正方形ADFABAM, ZMBA=ZFAD,AF=BM.又TBE | AF,BG 平分ZABE, AZ1=Z2.又TZAHB二Z2+ZHAG, ZHBM二Zl+ZMBA,ZMHB二 ZMBH,HM二BM,.BE二AH+DF.点评：因为DF=CE，此题延长E
6、C也可以，如果此题采用“截长法”证明就 非常困难；采用“补短法”如果延长DF或FD或AH，都不能证明，所以采用“补 短法”时，一定要注意“补”的方向。三、利用“截长法”进行证明例3：在平行四边形ABCD中，对角线BD丄BC,G为BD延长线上一点且AARG为等边三角形，ZBAD、ZCBD的平分线相交于点E，AE 交BD于F,连接GE。求证：AE=BE+GE证明：在AE上截取EM=BE；因为ZBAD、ZCBD的平分线相交于点E，所以ZBAE=15 ,ZABE=105 ,所以ZAEB=60 .L 因为 EM二BE, 所以 BEM为等边三角形。又因为 AB=BC, ZABM=ZGBE,所以 ABMAG
7、BE,所以 AM=GE于是 AE=BE+GE点评：此题采用“补”的方法就很困难，采用“截长法”抓住60构造等 边三角形，再证三角形全等即可。四、利用“截”或“补”的思想构造全等三角形例4如图，点P为正方形ABCD的边BC上一点，BG丄AP于点G,在AP的 延长线上取点E，使GE=AG,连结BE、CE.若BN平分ZCBE交AE于点N，连结DN。求ZGBN的度数；求证：BN+DN二y2 AN.解：因为 ZEAB=ZBEA= ZPBG,Z BNG= Z BEN+ ZNBE，所以Z BNG= Z GBN=45 .过A作AM丄AE,交NB延长线于M.因为ZANM=45，所以，AAMN是等腰直角三角形, 所以MN=迈AN.再证明 ABMAADN即可。点评：此题采用“截长法”或“补短法”都不能证明，但是，可以利用“补 短法”的思想，就能构造出“A=B+C”型。总之，运用截长补短法证”A=B+C”型，只要我们从以上六种途径进行思考， 在实际证明中多加体会，一定能熟练掌握这种方法。
