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1、 精品资料学案37数学归纳法导学目标： 1.了解数学归纳法的原理.2.能用数学归纳法证明一些简单的数学命题自主梳理1归纳法由一系列有限的特殊事例得出一般结论的推理方法叫归纳法根据推理过程中考查的对象是涉及事物的全体或部分可分为完全归纳法和不完全归纳法2数学归纳法设Pn是一个与正整数相关的命题集合，如果：(1)证明起始命题P1(或P0)成立；(2)在假设Pk成立的前提下，推出Pk1也成立，那么可以断定Pn对一切正整数成立3数学归纳法公理(1)(归纳奠基)证明当n取第一个值_时命题成立(2)(归纳递推)假设_时命题成立，证明当_时命题也成立只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从n0开始的所有正整数
2、n都成立自我检测1用数学归纳法证明：“1aa2an1 (a1)”在验证n1时，左端计算所得的项为_2如果命题P(n)对于nk (kN*)时成立，则它对nk2也成立，又若P(n)对于n2时成立，则下列结论中正确的序号有_P(n)对所有正整数n成立；P(n)对所有正偶数n成立；P(n)对所有正奇数n成立；P(n)对所有大于1的正整数n成立3证明11)，当n2时，中间式子等于_4用数学归纳法证明“2nn21对于nn0的正整数n都成立”时，第一步证明中的起始值n0应取_5在数列an中，a11，且Sn，Sn1,2S1成等差数列(Sn表示数列an的前n项和)，则S2，S3，S4分别为_；由此猜想Sn_.探
3、究点一用数学归纳法证明等式例1对于nN*，用数学归纳法证明：1n2(n1)3(n2)(n1)2n1n(n1)(n2)变式迁移1用数学归纳法证明：对任意的nN*,1.探究点二用数学归纳法证明不等式例2用数学归纳法证明：对一切大于1的自然数，不等式均成立变式迁移2已知m为正整数，用数学归纳法证明：当x1时，(1x)m1mx.探究点三用数学归纳法证明整除问题例3用数学归纳法证明：当nN*时，an1(a1)2n1能被a2a1整除变式迁移3用数学归纳法证明：当n为正整数时，f(n)32n28n9能被64整除从特殊到一般的思想例(14分)已知等差数列an的公差d大于0，且a2、a5是方程x212x270的
4、两根，数列bn的前n项和为Tn，且Tn1bn.(1)求数列an、bn的通项公式；(2)设数列an的前n项和为Sn，试比较与Sn1的大小，并说明理由【答题模板】解(1)由已知得，又an的公差大于0，a5a2，a23，a59.d2，a11，an1(n1)22n1.2分Tn1bn，b1，当n2时，Tn11bn1，bnTnTn11bn，化简，得bnbn1，4分bn是首项为，公比为的等比数列，即bnn1，an2n1，bn.6分(2)Snnn2，Sn1(n1)2，.以下比较与Sn1的大小：当n1时，S24，S2，当n2时，S39，S3，当n3时，S416，S5.9分猜想：n4时，Sn1.下面用数学归纳法证
5、明：当n4时，已证假设当nk (kN*，k4)时，Sk1，即(k1)2.11分那么，nk1时，33(k1)23k26k3(k24k4)2k22k1(k1)12S(k1)1，nk1时，Sn1也成立由可知nN*，n4时，Sn1都成立综上所述，当n1,2,3时，Sn1.14分【突破思维障碍】1归纳猜想证明是高考重点考查的内容之一，此类问题可分为归纳性问题和存在性问题，本例中归纳性问题需要从特殊情况入手，通过观察、分析、归纳、猜想，探索出一般规律2数列是定义在N*上的函数，这与数学归纳法运用的范围是一致的，并且数列的递推公式与归纳原理实质上是一致的，数列中有不少问题常用数学归纳法解决【易错点剖析】1严
6、格按照数学归纳法的三个步骤书写，特别是对初始值的验证不可省略，有时要取两个(或两个以上)初始值进行验证；初始值的验证是归纳假设的基础2在进行nk1命题证明时，一定要用nk时的命题，没有用到该命题而推理证明的方法不是数学归纳法1数学归纳法：先证明当n取第一个值n0时命题成立，然后假设当nk (kN*，kn0)时命题成立，并证明当nk1时命题也成立，那么就证明了这个命题成立这是因为第一步首先证明了n取第一个值n0时，命题成立，这样假设就有了存在的基础，至少kn0时命题成立，由假设合理推证出nk1时命题也成立，这实质上是证明了一种循环，如验证了n01成立，又证明了nk1也成立，这就一定有n2成立，n
7、2成立，则n3成立，n3成立，则n4也成立，如此反复以至无穷，对所有nn0的整数就都成立了2(1)第步验证nn0使命题成立时n0不一定是1，是使命题成立的最小正整数(2)第步证明nk1时命题也成立的过程中一定要用到归纳递推，否则就不是数学归纳法(满分：90分)一、填空题(每小题6分，共48分)1用数学归纳法证明命题“当n是正奇数时，xnyn能被xy整除”，在第二步时，正确的证法是_(填序号)假设nk(kN*)时命题成立，证明nk1命题成立；假设nk(k是正奇数)时命题成立，证明nk1命题成立；假设n2k1 (kN*)时命题成立，证明nk1命题成立；假设nk(k是正奇数)时命题成立，证明nk2命
8、题成立2已知f(n)，则f(n)中共有_项；当n2时，f(2)_.3如果命题P(n)对nk成立，则它对nk1也成立，现已知P(n)对n4不成立，则下列结论正确的是_(填序号)P(n)对nN*成立；P(n)对n4且nN*成立；P(n)对n的过程中，由nk推导nk1时，不等式的左边增加的式子是_8凸n边形有f(n)条对角线，凸n1边形有f(n1)条对角线，则f(n1)f(n)_.二、解答题(共42分)9(12分)用数学归纳法证明11n (nN*)10(14分)数列an满足an0，Sn(an)，求S1，S2，猜想Sn，并用数学归纳法证明11(16分)(高考预测题)已知函数f(x)e(其中e为自然对数
9、的底数)(1)判断f(x)的奇偶性；(2)在(，0)上求函数f(x)的极值；(3)用数学归纳法证明：当x0时，对任意正整数n都有f()n！x2n.学案37数学归纳法答案自主梳理3(1)n0 (n0N*)(2)nk (kN*，且kn0)nk1自我检测11aa2解析当n1时左端有n2项，左端1aa2.2解析由n2成立，根据递推关系“P(n)对于nk时成立，则它对nk2也成立”，可以推出n4时成立，再推出n6时成立，依次类推，P(n)对所有正偶数n成立”31解析当n2时，中间的式子11.45解析当n1时，21121；当n2时，22221；当n3时，23321；当n4时，24521，n05.5.，课堂
10、活动区例1解题导引用数学归纳法证明与正整数有关的一些等式命题，关键在于弄清等式两边的构成规律：等式的两边各有多少项，由nk到nk1时，等式的两边会增加多少项，增加怎样的项证明设f(n)1n2(n1)3(n2)(n1)2n1.(1)当n1时，左边1，右边1，等式成立；(2)假设当nk (k1且kN*)时等式成立，即1k2(k1)3(k2)(k1)2k1k(k1)(k2)，则当nk1时，f(k1)1(k1)2(k1)13(k1)2(k1)12(k1)1f(k)123k(k1)k(k1)(k2)(k1)(k11)(k1)(k2)(k3)由(1)(2)可知当nN*时等式都成立变式迁移1证明(1)当n1时，左边1右边，等式成立(2)假设当nk (k1，kN*)时，等式成立，即1.则当nk1时，1，即当nk1时，等式也成立，所以由(1)(2)知对任意的nN*等式都成立例2解题导引用数学归纳法证明不等式问题时，从nk到nk1的推证过程中，证明不等式的常用方法有比较法、分析法、综合法、放缩法等证明(1)当n2时，左边1；右边.左边右边，不等式成立(2)假设当nk (k2，且kN*)时不等式成立，即.则当nk1时，.当nk1时，不等式也成立由(1)(2)知，对于一切大于1的自然数n，不等式都成立变式迁移2证明(1)当m1时，原不等式成立；
