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1、2022高中数学 第2章 数列 2.2 等差数列的通项公式学案 苏教版必修5一、考点突破知识点课标要求题型说明等差数列的通项公式1. 掌握等差数列的通项公式；2. 能运用通项公式解决一些简单问题；3. 了解等差数列与一次函数的关系填空题选择题等差数列是最简单最基础的数列，也是以后知识的基础，应认真体会求通项的方法，同时也是求和的一种重要方法二、重难点提示重点：等差数列通项公式的应用。难点：灵活运用通项公式、性质解决问题。考点一：等差数列的通项公式（1）通项公式：。（2）公式的推导：由，可知：。将它们相加得，即（3）等差中项公式：成等差数列，则叫做与的等差中项，且。【核心突破】1. 从函数角度研
2、究等差数列anana1（n1）ddn（a1d）是关于n的一次函数的形式，其定义域为N*，其图象是直线ydx（a1d）上的一些等间隔的点，其中公差d是该直线的斜率。2. 利用等差数列的通项公式可以判断一个数是不是该数列中的项；由可知，只要知道中三个便可求另一个，即“知三求一”。不过有时候利用可以快速地求出。3. 注意通项公式的推导方法迭加法，除此，还可以用迭代法。即因为an是等差数列，所以有：anan1dan2ddan22dan3d2dan33da1（n1）d，所以ana1（n1）d（nN*），这也是两种求和方法。考点二：等差数列的性质1. 在等差数列an中，设m、n、p、q均为正整数，若mnp
3、q，则amanapaq；特别地，若mn2p，则aman2ap。注意：设m、n、p、q、k、r均为正整数，若mnkpqr，则amanapaqar；特别地，若mnk3p，则amanak3ap。2. 若数列an是公差为d的等差数列，那么ak，akm，ak2m，ak3m，组成的数列仍为等差数列，公差为md，即等间隔抽取的子数列也是等差数列。3. 数列为常数）仍为等差数列。4. 若和均为等差数列，则也为等差数列。5. 的公差为，则为递增数列；为递减数列；为常数列。利用等差数列的性质可使有些问题的解题过程更为简洁。考点三：判断等差数列的方法判断一个数列为等差数列的常用方法：（1）定义法：（常数）为等差数列
4、。（2）中项法：为等差数列。（3）通项法：为的一次函数为等差数列。（4）求和法：为等差数列（其中为的前项和）。注意：在解答题中判断等差数列用（1）或（2），不能用（3）和（4）。【规律总结】 1. 等差数列的设项方法（1）通项法：设数列的通项公式，即设；（2）对称设：当等差数列的项数为奇数项时，可设中间一项为，再以公差为向两边分别设项：，；当项数为偶数项时，可设中间两项为，再以为公差向两边分别设项：，2. 构造辅助数列求通项观察递推数列的结构特征，构造恰当的辅助数列使之转化为等差数列问题。常用方法有：平方法、开平方法、倒数法等。例题1（等差数列的通项公式）已知等差数列6，3，0，。（1）试求此
5、数列的第100项；（2）30和40是不是这个数列的项？若是，是第几项？若不是说明理由。思路分析：等差数列首项、公差通项公式列方程解方程，判断。答案：（1）设此数列为an，则首项a16，公差d363，数列的通项公式为an6（n1）（3）3n9，a10031009291；（2）如果30是这个数列中的项，则方程303n9有正整数解，解这个方程得n13，因此30是这个数列的第13项；如果40是这个数列中的项，则方程403n9有正整数解，解这个方程得n，因此40不是这个数列中的项。技巧点拨：1. 求出数列an的通项公式是解决本题的关键。2. 数列的通项公式是数列的核心，是解决数列问题的关键，特别是求数列
6、中的某一项，判断某一数值是否是数列中的项等，都需确定通项公式。3. 当判断某一数值a是否是数列an中的项时，只需令ana，若解得n为正整数，则a是数列an中的项，否则不是数列an中的项。例题2（等差数列性质的应用）已知等差数列an的公差是正数，并且a3a712，a4a64，求数列an的通项公式。思路分析：先由等差数列的性质求a3，a7的值，再列方程组解a1，d。答案：由等差数列an的性质知：a3a7a4a6，从而a3a712，a3a74，故a3，a7是方程x24x120的两根，又d0，解之得a36，a72，再解方程组解得则ana1（n1）d10（n1）22n12，即an2n12。技巧点拨：本题
7、中利用等差数列的性质转换已知条件，使解题过程简捷灵活。等差数列的性质运用错误【满分训练】设数列an是等差数列，a24，a410，求a6。【错解】an是等差数列，a6a2a4，a641014。【错因分析】在等差数列中，若mnpq，m，n，p，qN*，则amanapaq，即必须是两项相加等于另两项相加，若mn2p，则aman2ap，如a2a42a3成立，但a2a4a6却不一定成立。【防范措施】注意对等差数列性质的理解与记忆，对性质：当mnpq（m，n，p，qN*）时，amanapaq，不能误认为“若mpq则amapaq”。【正解】a2a1d4，a4a13d10，两式相减得2d6，d3，a11，a6a15d15316。
