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1、7.1状态空间平均法151109,状态空间平均法是平均法的一阶近似，其实质为：根据线性RLC 元件、独立电源和周期性开关组成的原始网络，以电容电压、电感电流为状态变 量，按照功率开关器件的“ON”和“OFF”两种状态，利用时间平均技术，得到 一个周期平均状态变量，将一个非线性电路转变为一个等效的线性电路，建立状 态空间平均模型。对于不考虑寄生参数的理想PWM变换器，在连续工作模式(CCM)下一个 开关周期有两个开关状态相对应的状态方程为：x = Ax + Bv 0 t dT (7-1) 11 ix 三 Ax + Bv dT t T (7-2) 22 i式中d为功率开关管导通占空比，d = t
2、/ T，七.为导通时间，T为开关周期； x = i/L X是状态变量，x是状态变量的导数，;是电感电流VC是电容电压， V是开关变换器的输入电压；A , A , B , B是系数矩阵与电路的结构参数有关。i-1212对式(7.1)和(7.2)进行平均得到状态平均方程为x = Ax + Bv 0 t T(7-3)式中，A = dA1 + (1-d)气，B = dB1 + (1-d)B2，这就是著名的状态空间平均法。 可此式可见，时变电路变成2了非时变1电路，若d为常数，则这个方程描述的系统 是线性系统，所以状态空间平均法的贡献是把一个开关电路用一个线性电路来替 代。对状态平均方程进行小扰动线性化
3、，令瞬时值 d = D + d、d= D- d、 D + D，=1、vg=Vg + Vg、x = X + x。其中 d、Vg、x 是相应 D、vg、X 的扰动 量，将之代入到式(7-3)为：X + x = A(X + x) + B(v + v ) (7-4) i iA( X + x) + B(V + v.) = ax + Bx + (D + d) A + (D - d) A X +(D + d) B +(D d) B V (7-5) 将其中的扰动参数变量分离就得到了动态的小信号模型式。 2 x = Ax + Bv. + (A1 - A2)X + (B】-B)Vd (7-6) 将(7-6)进行拉
4、式变换，得到S域小信号模型，其中等号左边的x拉式变换后的结果为sx(s)。ccc人,一sx(s) = Ax(s) + Bv (s) + (A A )X + (B B )V d(s) (7-7)i1212 i可通过此式求出对应拓扑的传递函数。7.2简单boost电拓扑状态空间平均法建模151110, Boost直流变换器拓扑如图7-1所示，其主电路由储能电感L、滤 波电容C、功率开关Q、二极管。和负载R组成。电感L上，为电感1储存能量，电容C给负载R供电。此时，电路的状态方程 如下： di (t)Ldr=*(t)i dt(7-8)du (t) _ u (t)CooI dt R在dT t T期间，
5、功率开关Q关断，二极管D承受正压并导通，电感L放 电，电源和电感共同为负载R供电，并为电容C充电。其状态方程如下：di (t)L dt i ，、 du (t) Co dt=Vg (t) u (t)uJ2+i (t)R L(7-9)由式(7-8)和式(7-9)取平均得式(7-10)boost电路的状态空间模型加下:d dtd dt01 - dC1-dL1RC根据式（7-6 ）得到boost电路的动态小信号模型为:1 - dL1RC？ n a+TLIVg +u 1 方Luo0-L L cd (t)(7-11)将式（7-11 ）等号两边进行拉普拉斯变换得到式（7-12）。si (s)=-LsU =O
6、(1-d)L,、uVg (s)u (s) + o d (s) +oL L3i (s)-U-Ld(s)Cl RC C(7-12)(7-13)（7-14）1 - d L1RC 11L + LVg (7-14)化简式（7-12）得到输入到输出的传递函数为：u （s）1 - d= L-g （）d （s）=0 LCs 2 + Rs + （1-d ）2由控制到输出的传递函数为：Lsu (s)(1-d 虬(1一 Ri2)K = L d (s)曰 n LCs 2 + Ls + (1-d )2u (s) =0R7.3 Boost直流变换器建模的验证不考虑纹波时，所得到平均化的 Boost电路状态方程如式（7-1
7、0）所示，再 将其简化，从而得到基于状态空间的数学模型：假设图 7-1 电路中的参数为 Vg=30V, R=4q , C=470 四F ,L=400 pH ,d=0.5。根据状态平均法公式(7-14)的数学模型，使用Simulink进行仿真建模得出 图 7-2：图7-2基于状态空间法boost仿真模型对图7-2的两路输出进行观察的到图7-3和图7-4的电压、电流输出波形图。图7-3电压、电流输出波形图7-4放大后的输出波形由图7-3和图7-4可以看出，给定输入电压30V，占空比0.5，输出电压为 60V和理论值接近。输出负载为4q，则输出端电流为15A，由此可知输入侧电流为30A与理论值接近。
8、另外，通过图7-4的短时间输出波形可以看出，利用状 态空间平均法不能产生电压和电流的纹波，这是因为在建模过程中使用了纹波近 似，忽略了纹波的影响。di八m苛0 - Ldu1m1hr_ CRCiLuo下面将考虑纹波对输出的影响，需要修改状态方程，修改后的状态方程加 (7-15)所示:1+ L * (7-15)0其中，定义变量印作为开关器件通断的标志。m=1时表示关断，m=0时表 示开通，其他参数均未改变，另设功率管开关频率为10K，由以上状态方程构造 Boost电路的模型加图7-5所示，仿真结果如图7-6所示。图7-5开关频率为10K，输出带纹波的电压、电流波形由此可证明状态空间平均法建模的正确
9、性。利用simulink中的电力电子模块搭建Boost升压电路模型，在相同参数下的 波形图如下所示：二者波形几乎吻合，纹波的产生原因，是功率开关器件的动作引起的，当开关频率发生变化时， 其产生的纹波也不同。由状态空间平均法可知，当开关器件的动作频率增大时， 对应的纹波在减小，当频率增大到一定程度后，纹波可以忽略不计。图7-7为开 关频率为50K时，电压、电流的波形图。图7-7开关频率为50K电压、电流的波形图由图7-5和图7-6对此可以清楚地发现，随着开关频率的增加，纹波在减小， 与理论分析相符。结论，已经初步掌握了一阶状态空间平均法的建模方法，对状态空间平均法 纹波的产生，工作的原理有了大概的了解，接下来要仔细研究争取尽快掌握二阶 状态模型时的建模及仿真。
