第三节列紧集

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1、实用标准文案泛函分析题 1_3 列紧集 p19在完备的度量空间中，求证：为了子集A 是列紧的，其充分必要条件是对 0 ，存在 A 的列紧的 网证明： (1) 若子集 A 是列紧的，由 Hausdorff定理， 0，存在 A的有限网N而有限集是列紧的，故存在 A 的列紧的 网 N (2) 若 0，存在 A的列紧的 /2 网B因 B 列紧，由 Hausdorff 定理，存在 B 的有限 /2 网 C因CBA，故C为A的有限网因空间是完备的，再用Hausdorff定理，知 A 是列紧的在度量空间中， 求证：紧集上的连续函数必是有界的，并且能达到它的上、下确界证明：设 (X,)是度量空间， D 是紧子

2、集， f : D是连续函数(1) 若 f 无上界，则n+ ，存在 xn D，使得 f (xn) 1/ n 因 D 是紧集，故 D 是自列紧的所以 x n 存在收敛子列 xn(k)x 0D(k) 由 f的连续性，f(xn (k )f(x0)(k)但由 f (xn ) 1/ n 知 f (xn )+(n)，所以 f (xn (k)+(k)，矛盾故 f 有上界同理，故 f 有下界精彩文档实用标准文案(2) 设 M = sup xD f(x)，则 n+ ，存在 ynD，使得 f (yn) M 1/ n yn 存在子列 yn(k)y 0 D (k)因此 f ( y 0 ) M 而根据 M 的定义，又有

3、f ( y0 )M 所以 f ( y 0 ) = M 因此 f 能达到它的上确界同理， f 能达到它的下确界在度量空间中，求证：完全有界的集合是有界的，并通过考虑l 2 的子集 E= e k k1，其中e k = 0, 0, ., 1, 0, . (只是第 k 个坐标为 1，其余都是 0 ) ，来说明一个集合可以是有界的但不完全有界的证明： (1) 若 A 是度量空间 (X,)中的完全有界集则存在 A 的有限 1- 网 N = x0 , x1 , x2 , ., xn 令 R =1jn(x0, xj) + 1 则xA ，存在某个 j 使得 0jn ，且 (x, xj) 1 因此，(x, x0

4、)(x, xj) +(xj , x0)1 +1jn(x0 , xj ) = R所以 A 是度量空间 (X,)中的有界集(2) 注意到(ek , e j) = 2 1/2(kj )，故 E 中任意点列都不是Cauchy 列所以， E 中任意点列都没有收敛子列(否则，该收敛子列就是Cauchy 列，矛盾 )因此， E 不是列紧集由 l 2 是完备的，以及 Hausdorff 定理，知 E 不是全有界集但 E 显然是有界集精彩文档实用标准文案设(X,)是度量空间， F1, F2 是它的两个紧子集，求证：xiFi ( i = 1, 2) ，使得 (F1, F2) =(x1 , x2 )其中(F1, F

5、2) = inf (x, y) | xF1 , yF2 证明：由(F1 , F2 )的定义，n+ ， xi (n)Fi ( i = 1, 2) ，使得(x1 (n ), x2 (n ) 0 ，使得 fM ， ( f, 0)K先证明 A 是一致有界的和等度连续的FA ，存在 fM ，使得 F(x) = a, xf(t) dt 由于 (F, 0) = max xa, b | F(x) | = maxxa, b |a, x f(t ) dt |max x a, b | f(t) | (b a ) =( f, 0)(ba )K (ba )故 A 是一致有界的0， , ,，当 |st | 0 ，使得x

6、= ( 1,2, .,n , .)A ，都有 | n | Cn( n = 1, 2, .) 证明： () 设 xk = (1(k ),2(k ), ., n (k), .) ( k = 1, 2, . ) 是 A 中的点列x k的子列 x1, k 使得其第1个坐标 1 (1, k)收敛；存在 存在 x 1 , k 的子列 x2 , k使得其第2 个坐标 2(2, k )收敛；如此下去，得到一个 xk的子列的序列，第 ( j +1) 个子列是第 j 个子列的子列，且第 j 个子列的第 j 个坐标是收敛的精彩文档实用标准文案选取对角线构成的点列 xj, j ，则 xj, j是 xk的子列，且每个坐

7、标都收敛根据习题的证明可知， S 空间的点列收敛的充要条件是坐标收敛故 x j, j是收敛点列所以， A 是列紧的() 我们只要证明，n+ ，A 中的点的第 n 个坐标所构成的集合是有界集若不然，设 A 中的点的第 N 个坐标所构成的集合是无界的则存在 A 中的点列 xk = (1 (k ),2 (k ), .,n(k), .) ( k = 1, 2, . ) ，使得 |N (k ) | k 显然， N(k) 无收敛子列，故 xk 也无收敛子列，这与A 列紧相矛盾这样就完成了必要性的证明设(X,)是度量空间， M 是 X 中的列紧集，映射f : XM 满足( f ( x1 ), f (x2 )

8、 ( x1, x2 )(x1 , x2M , x 1x2)求证： f 在 X 中存在唯一的不动点证明： (1) 首先证明 cl( M )是紧集为此只要证明cl(M )列紧即可设 xn 是 cl(M )中的点列，则存在M 中的点列 yn 使得( xn, y n ) 1/ n 因 M 列紧，故 yn 有收敛子列 y n(k )，设 yn(k )ucl(M )显然 xn(k )也是收敛的，并且也收敛于ucl(M )所以 cl( M )是自列紧的，因而是紧集(2)令 g(x) =( x, f (x)，则 g 是 X 上的连续函数事实上，由( f (x 1), f(x2 ) 0 ，则( x0, f (x0 ) 0 ，即 x0 f (x0)精彩文档实用标准文案故( x0 , f (x0 ) = g(x0 )g ( f (x0 ) =( f (x0 ), f ( f (x0 ) ( x0 , f (x0 ) )，矛盾