《三种不常见正项数收敛性判别法》由会员分享，可在线阅读，更多相关《三种不常见正项数收敛性判别法（17页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、三类不常见地正项级数收敛性判别法赖宝锋积分判别法，对数判别法，拉贝判别法是三种重要地积分判别法，但不在大纲 所规定地考核范围之内尽管如此,这里仍然要详细地叙述下这三大判别法，以及 其中所体现地思想方法，并用一些例子来说明这三种判别法先介绍积分判别法先建立如下三个简单地引理引理1设f(x)为a, ：上地一个单调递增函数，则lim f (x)存在当且仅当f(x)x_oc有界证明：先证明必要性 假设lim f(x)存在,记lim f(x)二A.则存在一个R . 0,当 x_xaR 时，有 I f(x)-Ac1,于是 |f(x) = | f ( x华 (x- |A A1*. 又Af(x)单调递增，因此
2、，f(x) 一 f(a).于是,f(x)有界.充分性，若f (x)有界，则f (x)为单调有界函数，极限lim f (x)必存在.得证！引理2设f (x)为a,：上地一个单调递增函数，则lim f (x)存在当且仅当 f n)?有界证明：必要性显然.充分性:X a, ：),X丨_ x ：X丨 1, f (x)乞f (x丨1).再由f(n)?地有界性就知道了 .引理3设f (x)为a,二)上地非负可积函数.则f (x)dx收敛当且仅当L aAnf (x)dx有界,当且仅当：f (x)dxf有界.a 、a:A证明：.f(x)dx收敛当且仅当lim. f (x)dx存在.因为f (x)非负，因此，a
3、AaAAAf(x)dx是单调递增地.由引理1,f(x)dx收敛当且仅当f (x)dx有界；由引a a a理2, a f(x)dx收敛当且仅当IJ f (x)dx有界.这样，结论得证！定理1(积分判别法 假设数列心满足：Un-O且心单调递减.假设存在一个-bo1J：上地非负地单调递减地可积函数f (x)，使得f (n)二un.贝广un地收敛性与nJt -bo广义积分彳f (x)dx是一致地.证明：记un部分和为Sn,即n =1nnnn kn kS 八 Un 八 f(k)nf f(k) = f f(k)dx f(x)dxk 4k 4k -2k -2n二 f(1)4 f(x)dx另一方面，nnnSn
4、 = un = f (k)= kkAkJnf(k)dxkk 1k f(x)dx 二n 11 f(x)dxn卅n乂 n这样，1f (x)dx ESn 兰 f (1)十f (x)dx .这样,若f (x)dx 收敛,即f(x)dx有bobo界，即广f(x)dx收敛，则也收敛，即送un收敛若瓦un收敛，即即有界，则 n二n吕( f(x)dx有界，即f(x)dx 收敛.这个判别法地证明方法地几何意义是很清楚地，就是曲边梯形地内接矩形面积 小于曲边梯形面积，曲边梯形面积又小于其外接矩形地面积见图1：图1注1：积分判别法中 擞列单调性可以放宽为某一项以后单调.因为级数是否收敛与前几项无关，因此，即使、un
5、f某一项以后才保持单调递减性，级数仍然收敛. 下面用积分判别法解决两个问题例1判别级数a 地收敛性.n丑n1解答：当p：o,4：,级数自然是不收敛地.1 当p =0,飞=1，级数也不收敛.np1当p . 0，广义积分-dx当p 1时收敛，当0 :： p 1时发散.于是，0 :： P乞1时级xp数收敛.当p 1时，级数发散.综合起来看，P乞1，级数发散.p 1，级数收敛.he 1例2判别级数学地收敛性.心 n In p n解答：通过研究函数丨可知，数列A 在某一项以后就是单调递减地了xl npxlnlnpnj因为广义积分：=1p dx二：dln ：dy当p 1收敛，当p叮发散.于是，级 xln
6、x2 ln xy数 1 _ 1ln()厂lnn ,即一 ：n , Un1 .因为：1,因此级数UnUnn当p 1收敛，当p1发散.n 总 n In n1 ln() 定理2.假设数列un满足un 0,且lim 仏=p(包括p =：.则：(1若p 1, J和 ln un级数收敛.(2若p :：: 1，级数发散.(3若p =1,此法失效.证明：若1 - p ,则对任意1 ： ： ： p存在N 0,使得当n N ,有 ln(-)u11_1 1，于是ln( )： lnn ,即 n,于是,0 u： 一 .因为-1,因此级lnUnUnUn口-数、 Un收敛.若p=，与上面方法一样，只需任取一个 1,则存在一
7、个N - 0,当n N ,有In(丄)乩 :1.下同.lnUn1 ln()若0 ： p ： 1，则对任意p ： ： ： 1 ,存在N - 0,使得当nN,有乩： ：1 ,于是In Un1、发散，因此级数v Un发散nIn(丄)若p =1，我们取un =1，则limlim ln(n) =1,但-是发散地.另一方面，我n 5 In n 5 In nn1们又取Un一，其中P1 .则nln nIn()plim 仏二lim也旦卫二lim致 也血二1.由积分判别法，有收n厂 ln nnF：ln nnr ：ln nnlnpn敛.因此，当P =1,此法失效.F面用对数判别法练习几个例题.例题3判断J1-2In
8、 n n 4)n地敛散性.解答:ln(2ln n n2)(1 )limnIn n2ln n n2于是/ (1)nn=1n=limn i:2 2ln n、2/ 2ln n、-n ln(1)-n ()n limn=二Innn_.；：收敛.nIn n例题 4判断1.3.5.(2n -1_ 2.4.6.(2n)n =1地敛散性.解答：In,.3.5.(2n-1) IJ 2.4.6.(2n) 一=31 n2.4.6.(2n)1.3.5.(2n -1)In 込 心 2k-1kldx2 2x-12k -1In2x -1： JkdIn2k2k -1n k：In 2 亠 I i Ink =2dx,即2x12k1
9、In 一ln(1 )为单调递减函数，于是2k-12k -1k2x_ 2kIn dx ： Ink 2x -1k =12k2k -1n 1 2XIn2x 1In xdx = x In x - x C，于是2x111In dx 二In x-In(x)dx 二 In xdx - ln(x )d (x )2x -122211111=x I nxx-(x )ln( x )-(x ) C=xI nx-(x)l n( x ) C22222n 1 2x11In dx = xln x -(x ) In(x ) |2x_122111=(n 1)l n(n 1)-(n )ln(n ) In 2222I； (n 1)l
10、n(n 1)-(n -)l n(n -ln _ 2 2 2 2n 2x111In dx 二 nln n -(n )ln( n ) In 21 2x -1222这样，(n 1)ln(n 1)(n 1)l n( n *) fln 2 ： In2k111nln n (n )ln( n ) In 2 k4 2k -1222这样,111(n 1)ln( n 1) -(n )ln( n ) In 2222In nn二 In:亠In n2k1112k1 nlnn -(n )ln( n ) ln 22k -1 ：222In nxlnx_(x_)In(x- 1 1(n 1)ln(n 1) -(n )ln( n
11、) In 2 lim22 2iInn) xln(乂-1)-匕-丄)In(x1)n(x-) 二2 2 2 2 2 2 21 1 1nln n -(n )ln( n ) In 2 lim22i ：In n1 1n In n - (n )ln( n )=lim-n 厂In n11 In x -1 ln(x ) =lim2x厂：1In x ln(x)21 1 xln x-(x )ln(x ) lim22x J-：:1ln(1 21)xlim = limx r：1x j-：:In x-21x -211 x 1 lim2 12x -x2=limn_j:In n1 1(n 1)l n(n -山 2)l n(
12、n 2)l n(n 1)1ln(n +1)Inn 2n 2k3叫冇）In n3二- 1.因此,级数收敛.2注2:我们在这里还是利用了放缩地方法我们中间得到了这样一个不等式:2k111nInn-(n )In( n ) In 2 kj 2k-12221n In n _(n 一-)ln(1 1 一 一In n (n )ln n _(n )ln( n ) In n In(12 2 2 2 21、122121n -2Jn n In(122n -11 1 1 1 1 1(n 1)In( n 1)(n )In( n ) In( n 1) (n )In( n 1)(n)In( n )1+ 2In( n 1) In(1 n2n申1 1In(n 1) In(1) 222 n 1hn(n 1) In(1122n 12n 1)-In 2 八 In22k 1In n In(1k4 2k-12丄In 22尙）n -12nnk=12k2 k -12n顽1话产2n五1詁产n 2k -1nkJ2k1 2n 12n 1)2因为 Iim2ITTnKd 2nH1(1 ) 22n 1=l,于是Iim丨；如1e n2k-071注意到32nxdx=JkA2k -1寸，于是，JInim sin2nxdx = o31o： sxir-x 2),可知nim o2sin2nxdx=.于是恥:和
