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1、小学奥数 三角形的等积变形我们已经掌握了三角形面积的计算公式： 三角形面积=底高2 这个公式告诉我们:三角形面积的大小,取决于三角形底和高的乘积.如果三角形的底不变，高越大（小)，三角形面积也就越大（小)同样若三角形的高不变,底越大（小），三角形面积也就越大(小)这阐明;当三角形的面积变化时，它的底和高之中至少有一种要发生变化.但是，当三角形的底和高同步发生变化时，三角形的面积不一定变化.例如当高变为本来角形的面积变化与否取决于它的高和底的乘积,而不仅仅取决于高或底的变化.同步也告诉我们：一种三角形在面积不变化的状况下,可以有无数多种不同的形状本讲即研究面积相似的三角形的多种形状以及它们之间的
2、关系 为便于实际问题的研究，我们还会常常用到如下结论： 等底等高的两个三角形面积相等 底在同一条直线上并且相等，该底所对的角的顶点是同一种点或在与底平行的直线上，这两个三角形面积相等. 若两个三角形的高（或底)相等,其中一种三角形的底（或高)是另一种三角形的几倍,那么这个三角形的面积也是另一种三角形面积的几倍,它们所对的顶点同为点，（也就是它们的高相等）那么这两个三角形的面积相等同步也可以懂得ABC的面积是ABD或A面积的3倍 例如在右图中，ABC与BC的底相似(它们的底都是BC)，它所对的两个顶点A、在与底BC平行的直线上,(也就是它们的高相等)，那么这两个三角形的面积相等. 例如右图中，A
3、BC与DB的底相似（它们的底都是B),ABC的高是DBC高的2倍（D是B中点,B2D,有H=E），则AB的面积是DBC面积的倍上述结论，是我们研究三角形等积变形的重要根据例1 用三种不同的措施，把任意一种三角形提成四个面积相等的三角形 措施:如右图,先将C二等分,分点D、连结D，得到两个等积三角形，即ABD与DC等积.然后取AC、AB中点E、,并连结、F.以而得到四个等积三角形，即DF、BDF、DCE、A等积.例2 用三种不同的措施将任意一种三角形提成三个小三角形，使它们的面积比为及134 措施 1:如下左图,将C边八等分,取134的分点D、E，连结AD、A,从而得到AB、AD、EC的面积比为
4、134.DE,从而得到三个三角形：、E、ACD.其面积比为134. 固然本题尚有许多种其她分法，同窗们可以自己寻找解决例3 如右图,在梯形ABCD中，AC与D是对角线，其交点,求证：OB与CO面积相等 证明:AC与DC等底等高， BC=SDBC又 SBABCSO SDOC=SDBS SAOB=SCOD例4 如右图,把四边形BCD改成一种等积的三角形 分析 本题有两点规定,一是把四边形改成一种三角形，二是改成的三角形与原四边形面积相等我们可以运用三角形等积变形的措施，如右图， 把顶点A移到B的延长线上的A处,B与ABD面积相等，从而ADC面积与原四边形ABCD面积也相等这样就把四边形AC等积地改
5、成了三角形AC问题是A位置的选择是根据三角形等积变形原则过作一条和D平行的直线与B的延长线交于A点. 解:连结BD； 过A作BD的平行线,与CB的延长线交于A.连结AD，则ACD与四边形ABC等积例 如右图，已知在ABC中，BE3AE,C=2AD.若ADE的面积为平方厘米.求三角形的面积. 解法1:连结BD，在ABD中 E=3AE, SA4SA=（平方厘米）.在ABC中，D=2D， SBC=3SABD=34=12(平方厘米）.解法2:连结CE，如右图所示，在ACE中， CDD， SACE=3AE=3（平方厘米). 在ABC中,BE=AE ABCSAE =43=12(平方厘米）.例 如下页图，在
6、BC中,=2AD，AG2CG,BE=F=FC= 解:连结，在BG中, SADGBDE+SCF 例7如右图，ABD为平行四边形,E平行AC,如果的面积为4平方厘米.求三角形C的面积.解:连结AF、CE，SE=SC;SDF=SAF；又A与F平行,SE=SACF;AE=SCDF=4(平方厘米)例8 如右图，四边形ABCD面积为1,且AE,BC=F,D=C,AD=DH求四边形FGH的面积解：连结B，将四边形C提成两个部分S1与2.连结FD,有SFD=SD=S1因此SCG=SFC21. 同理 SAH=S2, 因此SA+SC2S+22=2（S+S2)=21=2同理,连结A之后,可求出SGDSB=因此四边形EF的面积为2+2+1=(平方单位).例9如右图，在平行四边形ABCD中，直线CF交B于E,交D延长线于F,若SADE=1，求EF的面积 解：连结AC，AB/CD，SAE=SCE 又AD/BC,SACF=ABF而 SFSESAEFSBBE+AE SACE=BF SBEF=SD=1.
