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1、-因式分解的常用方法第一局部：方法介绍多项式的因式分解是代数式恒等变形的根本形式之一，它被广泛地应用于初等数学之中，是我们解决许多数学问题的有力工具因式分解方法灵活，技巧性强，学习这些方法与技巧，不仅是掌握因式分解容所必需的，而且对于培养学生的解题技能，开展学生的思维能力，都有着十分独特的作用初中数学教材中主要介绍了提取公因式法、运用公式法、分组分解法和十字相乘法本讲及下一讲在中学数学教材根底上，对因式分解的方法、技巧和应用作进一步的介绍一、提公因式法.：ma+mb+mc=m(a+b+c)二、运用公式法.在整式的乘、除中，我们学过假设干个乘法公式，现将其反向使用，即为因式分解中常用的公式，例如
2、：1(a+b)(a-b) = a2-b2-a2-b2=(a+b)(a-b)；(2)(ab)2=a22ab+b2a22ab+b2=(ab)2；(3)(a+b)(a2-ab+b2) =a3+b3- a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)；(4)(a-b)(a2+ab+b2) = a3-b3 -a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2)下面再补充两个常用的公式：(5)a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=(a+b+c)2；(6)a3+b3+c3-3abc=(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-bc-ca)；三、分组分解法.一分组后能直接提公因式例1、分解因式：分析：从整体看，这个多项式的各
3、项既没有公因式可提，也不能运用公式分解，但从局部看，这个多项式前两项都含有a，后两项都含有b，因此可以考虑将前两项分为一组，后两项分为一组先分解，然后再考虑两组之间的联系。解：原式= = 每组之间还有公因式！ =例2、分解因式：解法一：第一、二项为一组； 解法二：第一、四项为一组；第三、四项为一组。 第二、三项为一组。解：原式=原式= = = =练习：分解因式1、 2、二分组后能直接运用公式例3、分解因式：分析：假设将第一、三项分为一组，第二、四项分为一组，虽然可以提公因式，但提完后就能继续分解，所以只能另外分组。 例4、分解因式： 解：原式= 解：原式= = = = =练习：分解因式3、 4
4、、综合练习：1234567 8910四、十字相乘法.一二次项系数为1的二次三项式直接利用公式进展分解。特点：1二次项系数是1； 2常数项是两个数的乘积；3一次项系数是常数项的两因数的和。思考：十字相乘有什么根本规律？例.05，且为整数，假设能用十字相乘法分解因式，求符合条件的.解析：但凡能十字相乘的二次三项式a*2+b*+c，都要求0而且是一个完全平方数。于是为完全平方数，例5、分解因式：分析：将6分成两个数相乘，且这两个数的和要等于5。 由于6=23=(-2)(-3)=16=(-1)(-6)，从中可以发现只有23的分解适合，即2+3=5。 1 2解：= 1 3 = 12+13=5用此方法进展
5、分解的关键：将常数项分解成两个因数的积，且这两个因数的代数和要等于一次项的系数。例6、分解因式：解：原式= 1 -1 = 1 -6 -1+-6= -7练习5、分解因式(1) (2) (3)练习6、分解因式(1) (2) (3)二二次项系数不为1的二次三项式条件：123分解结果：=例7、分解因式：分析： 1 -2 3 -5 -6+-5= -11解：=练习7、分解因式：1 2 3 4三二次项系数为1的齐次多项式例8、分解因式：分析：将看成常数，把原多项式看成关于的二次三项式，利用十字相乘法进展分解。 1 8b 1 -16b 8b+(-16b)= -8b 解：= =练习8、分解因式(1)(2)(3)
6、四二次项系数不为1的齐次多项式例9、 例10、 1 -2y 把看作一个整体 1 -1 2 -3y 1-2 (-3y)+(-4y)= -7y (-1)+(-2)= -3 解：原式= 解：原式=练习9、分解因式：1 2综合练习10、1 23 45 678910五、换元法。例13、分解因式12解：1设2005=，则原式= = =2型如的多项式，分解因式时可以把四个因式两两分组相乘。原式=设，则原式= =练习13、分解因式1 2六、添项、拆项、配方法。例15、分解因式1解法1拆项。解法2添项。原式=原式= =练习15、分解因式2 34第二局部：习题大全经典一：一、填空题1. 把一个多项式化成几个整式的
7、_的形式，叫做把这个多项式分解因式。2分解因式： m3-4m= .3.分解因式： *2-4y2= _.4、分解因式：=_。5.将*n-yn分解因式的结果为(*2+y2)(*+y)(*-y)，则n的值为 . 6、假设，则=_，=_。二、选择题7、多项式的公因式是( )A、 B、 C、 D、8、以下各式从左到右的变形中，是因式分解的是( )A、 B、C、 D、10.以下多项式能分解因式的是(A)*2-y (B)*2+1 (C)*2+y+y2 (D)*2-4*+411把*y2y*分解因式为 A*y*y1 By*y1Cy*y*1 Dy*y*112以下各个分解因式中正确的选项是 A10ab2c6ac22
8、ac2ac5b23cBab2ba2ab2ab1C*bcayabcabcbca*y1Da2b3ab52ba2a2b11b2a13.假设k-12*y+9*2是一个完全平方式，则k应为 A.2 B.4 C.2y2 D.4y2三、把以下各式分解因式： 14、 15、16、 17、18、 19、；五、解答题20、如图，在一块边长=6.67cm的正方形纸片中，挖去一个边长=3.33cm的正方形。求纸片剩余局部的面积。dD21、如图，*环保工程需要一种空心混凝土管道，它的规格是径，外径长。利用分解因式计算浇制一节这样的管道需要多少立方米的混凝土？(取3.14，结果保存2位有效数字)22、观察以下等式的规律，
9、并根据这种规律写出第(5)个等式。经典二：因式分解小结知识总结归纳因式分解是把一个多项式分解成几个整式乘积的形式，它和整式乘法互为逆运算，在初中代数中占有重要的地位和作用，在其它学科中也有广泛应用，学习本章知识时，应注意以下几点。 1. 因式分解的对象是多项式； 2. 因式分解的结果一定是整式乘积的形式； 3. 分解因式，必须进展到每一个因式都不能再分解为止； 4. 公式中的字母可以表示单项式，也可以表示多项式； 5. 结果如有一样因式，应写成幂的形式； 6. 题目中没有指定数的围，一般指在有理数围分解； 7. 因式分解的一般步骤是：1通常采用一提、二公、三分、四变的步骤。即首先看有无公因式可
10、提，其次看能否直接利用乘法公式；如前两个步骤都不能实施，可用分组分解法，分组的目的是使得分组后有公因式可提或可利用公式法继续分解；2假设上述方法都行不通，可以尝试用配方法、换元法、待定系数法、试除法、拆项添项等方法；下面我们一起来回忆本章所学的容。 1. 通过根本思路到达分解多项式的目的例1. 分解因式分析：这是一个六项式，很显然要先进展分组，此题可把分别看成一组，此时六项式变成二项式，提取公因式后，再进一步分解；也可把，分别看成一组，此时的六项式变成三项式，提取公因式后再进展分解。解一：原式解二：原式= 2. 通过变形到达分解的目的例1. 分解因式解一：将拆成，则有解二：将常数拆成，则有 3
11、. 在证明题中的应用例：求证：多项式的值一定是非负数分析：现阶段我们学习了两个非负数，它们是完全平方数、绝对值。此题要证明这个多项式是非负数，需要变形成完全平方数。证明：设，则 4. 因式分解中的转化思想例：分解因式：分析：此题假设直接用公式法分解，过程很复杂，观察a+b，b+c与a+2b+c的关系，努力寻找一种代换的方法。解：设a+b=A，b+c=B，a+2b+c=A+B说明：在分解因式时，灵活运用公式，对原式进展代换是很重要的。中考点拨在中，三边a,b,c满足求证： 1. 假设*为任意整数，求证：的值不大于100。 2. 将一、填空：30分1、假设是完全平方式，则的值等于_。2、则=_=_3、与的公因式是4、假设=，则m=_，n=_。5、在多项式中，可以用平方差公式分解因式的有_ ，其结果是 _。6、假设是完全平方式，则m=_。7、8、则9、假设是完全平方式M=_。10、， 11、假设是完全平方式，
