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1、如图，分别以普通ABC的三边为边在BC的同一侧分别作三个等边三角形，即ABD、BCE、ACF.证明：四边形AFED是平行四边形如图，四边形ABCD是正方形，点E，K分别在BC，AB上，点G在BA的延长线上，且CE=BK=AG.（1）求证：DE=DG；DEDG；（2）尺规作图：以线段DE，DG为边作出正方形DEFG（要求：只保留作图痕迹，不写作法和证明）；（3）连接（2）中的KF，猜想并写出四边形CEFK是怎样的特殊四边形，并证明你的猜想；（4）当时，请直接写出的值.（1）证明：四边形ABCD是正方形，DC=DA，DCE=DAG=90又CE=AG，DCEDAG，DE=DG，EDC=GDA，又AD
2、E+EDC=90，ADE+GDA=90DEDG（2）略（3）四边形CEFK为平行四边形证明：设CK、DE相交于M点，四边形ABCD和四边形DEFG都是正方形，ABCD，AB=CD，EF=DG，EFDG，BK=AG，KG=AB=CD，四边形CKGD是平行四边形，CK=DG=EF，CKDG，KME=GDE=DEF=90，KME+DEF=180，CKEF，四边形CEFK为平行四边形（4），设CE=x，CB=nx，CD=nx，DE2=CE2+CD2=n2x2+x2=（n2+1）x2，BC2=n2x2， （2011浙江）以四边形ABCD的边AB、BC、CD、DA为斜边分别向外侧作等腰直角三角形，直角顶点
3、分别为E、F、G、H，顺次连结这四个点，得四边形EFGH （1）如图1，当四边形ABCD为正方形时，我们发现四边形EFGH是正方形；如图2，当四边形ABCD为矩形时，请判断：四边形EFGH的形状（不要求证明）； （2）如图3，当四边形ABCD为一般平行四边形时，设ADC=（090）， 试用含的代数式表示HAE； 求证：HE=HG； 四边形EFGH是什么四边形？并说明理由（1）答：四边形EFGH的形状是正方形 （2）解：HAE=90+a， 在平行四边形ABCD中ABCD，BAD=180-ADC=180-a，HAD和EAB是等腰直角三角形，HAD=EAB=45，HAE=360-HAD-EAB-BA
4、D=360-45-45-（180-a）=90+a， 答：用含的代数式表示HAE是90+a证明：AEB和DGC是等腰直角三角形，AE= BE，DG= CG， 在平行四边形ABCD中，AB=CD，AE=DG，HAD和GDC是等腰直角三角形，HDA=CDG=45，HDG=HDA+ADC+CDG=90+a=HAE，HAD是等腰直角三角形，HA=HD，HAEHDG，HE=HG答：四边形EFGH是正方形， 理由是：由同理可得：GH=GF，FG=FE，HE=HG，GH=GF=EF=HE，四边形EFGH是菱形，HAEHDG，DHG=AHE，AHD=AHG+DHG=90，EHG=AHG+AHE=90，四边形EF
5、GH是正方形在直角三角形ABC中，C=90，AB=5，AC=4，分别以ABC三边为边作等边三角形（如图所示），求四边形DCEF的面积BCBE3，BABF5，且ABCCBF60，CBFFBE60，ABCFBE，ABCFBE（SAS），BEF90，EF4，同理可证AFDABC，DF3，FDA90，CDA60，FDC30，由两次三角形的全等可以知道，AFDFBE，DFAEFB90，DFE150，DFE与FDC是互补的，四边形DCEF为平行四边形，又DF3，FDC30，四边形DCEF的边DC上的高为，四边形DCEF的面积S46.（2011四川改编）如图，点E、F、G、H分别是任意四边形ABCD中AD、
6、BD、BC、CA的中点. (1)当四边形ABCD的边至少满足_条件时，四边形EFGH是菱形. (2)当四边形ABCD的边至少满足_条件时，四边形EFGH是矩形. (3)当四边形ABCD的边至少满足_条件时，四边形EFGH是正方形.证明：E、F为AD、BD中点EFAB，EF= AB， 同理：HGAB，HG= AB，EFHG，EF=HG 四边形EFGH是平行四边形 （1）当AB=CD时，四边形EFGH是菱形 又EF= BA FG= CD EF=FG 四边形EFGH是平行四边形四边形EFGH是菱形 （2）当ABCD时，四边形EFGH是矩形 又EFAB HECD EFEH 四边形EFGH是平行四边形四
7、边形EFGH是矩形 （3）由（1）（2）的证明我们可以知道，当ABCD且AB=CD时，四边形EFGH是正方形（2011湖南改编）如图所示，在四边形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点，顺次连接EF、FG、GH、HE （1）请判断四边形EFGH的形状，并给予证明； （2）四边形EFGH可能是菱形，请给出判断依据； （3）四边形EFGH可能是矩形，请给出判断依据； （4）四边形EFGH可能是正方形，请给出判断依据；（1）四边形EFGH的形状是平行四边形 证明：连接AC、BD，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点，EFAC，EF= AC，HGAC，HG= AC，G
8、F= BD，EF=HG，EFHG，四边形EFGH是平行四边形 （2）添加的条件是AC=BDEF= AC ，GF= BD ， AC=BD EF =GF又四边形EFGH是平行四边形四边形EFGH是菱形 （3）添加的条件是ACBD四边形EFGH是平行四边形ACBD EF GF又四边形EFGH是平行四边形四边形EFGH是矩形 （4）添加的条件是ACBD且AC=BD 由（2）（3）我们可以知道四边形EFGH是正方形如图，菱形ABCD中，E是AD中点，EFAC交CB的延长线与点FDE和BF相等吗？请说明理由连结AF、BE，四边形AFBE是平行四边形吗？说明理由如图，AD平分A，DEAC，DFAB.（1）四边形AEDF是菱形吗？请说明理由；（2）四边形AEDF是正方形吗？若不是，则当BAC符合什么条件时，AEDF才是正方形？DEAC，DFAB 四边形AEDF是平行四边形EAD=ADF EAD=FAD FAD=ADF FA=FD 四边形AEDF是菱形 （2）要使四边形AEDF为正方形，则只需在菱形的基础上，再加一角为直角即可， 故BAC=90即可满足条件如图菱形ABCD的对角线AC，BD交于点O，且AC=16 cm，BD=12 cm，求菱形ABCD的高DH和AB的长 如图，四边形ABCD是平行四边形AD=12，AB=13，BDAD，求BC，CD及OB的长
