《积分基本公式word版》由会员分享，可在线阅读，更多相关《积分基本公式word版（17页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、2.基本积分公式表 f 0dx=C(2) =ln|x|+C(3) (mH-l, x0)J喘亠1(4) 1(a0, aHl)In a-(6) fcosxdx=sinx+C(7) fsinxdx=-cosx+C(8) fsec2xdx=tanx+C(9) fcsc2xdx=-cotx+C(10) fsecxtanxdx=secx+C(11) fcscxcotxdx=-cscx+C(13) J二arctanx+C注.卩血不是片槪肚在皿=-1的特例.(2) 丄d=ln|x|+C，ln后面真数x要加绝对值，原因是(ln|x|) =1/x.事实上，对 x0, (ln|x|) =1/x；若 x0,则(ln|
2、x|) =(ln(-x)=-XX(3) 要特别注意与的区别：前者是幕函数的积分，后者是指数函数的积分.面我们要学习不定积分的计算方法，首先是四则运算.6.复合函数的导数与微分大量初等函数含有复合函数的成分，它们的导数与微分计算法则具有特别重要的意 义.定理.(链锁法则)设z=f(y), y=j(x)分别在点y =j(x)与x可导，则复合函数0 0 0z=fj(x)在X可导，且0，空f 4或 (f o j) (x)=f (y )X j (x ).0 0 0证.对应于自变量X处的改变量Dx，有中间变量y在y =j(x)处的改变量Dy及因0 0 0变量z在z =f(y )处的改变量Dz,(注意Dy可
3、能为0).现0 0Dz=f0(y )DXy+v, Dy=0j(x )Dx+u0 0=a0 j 令&，则 v=Day,(注意，当Dy=0时，v=Day仍成立).y在x可导又蕴含y在x连续，即鵝Dy=.于是=bmjIliytLI如十Ax血tQa A：WtO色兀广旳)左工耐十limlim 学=f (y )Xj (x )+0Xj (x )=f (y )Xj (x )0 0 0 0 0为理解与记忆链锁法则，我们作几点说明(1)略去法则中的x=x与丫=丫，法则成为公式0 0d工 dy d工其右端似乎约去dy后即得左端，事实上，由前面定理的证明可知，这里并不是一个简 单的约分过程. 计算复合函数的过程：x%
4、y %z复合函数求导的过程：z%y %x:各导数相乘 dv 也片例2.3.15求y=sin5x的导数.解.令u=5x，则y=sinu.于是y =cosuX5=5cos5x.d肚心例2.3.16求y=lncosx的导数.解.令u=cosx，则y=lnu.于是dy1.、 sin x,1 =1 (- sin a) = = - tan a-y，例2.3.17求幕函数y=xm的导数，m为任意实数.解.因y=y附，令 u=mlnx，则 y=eum是正整数n时，即例2.3.2.(3)链锁法则可以推广到多层次中间变量的复合函数：复合函数的求值：x%y%z%uv%w复合函数的求导：w%vu%z%y%x:各导数相
5、乘 dv dz dv dp：(4) 在熟练掌握链锁法则以后，为简便写法，中间变量v, u，z，y等可不必写出, 只要做到心中有数.例2.3.18求p 5卜十杜十1)的导数1(5)链锁法则的微分形式是：df(j(x)=球(j(x)dj(x)例2.3.19求函数y=巳血的微分解.dy =dsin2x=X2sinxdsinx二巳曲X2sinx cosxdx二巳加Xsin2xdx .思考题.请你仔细研究例2.3.18的解题过程，函数的构成除由基本初等函数复合之外还包含四则运算，因此求导的过程也应遵循四则运算与链 锁法则，两个方面必须同时考虑.5.导数与微分的四则运算设u=u(x), v=v(x)为可导
6、函数，C是常数，则有公式(1)公式(2)(uv) = u v，d(uv) = dudv(uv) = u v+uv, d(uv) = vdu+udv.公式(3)(cu)= Cu，d(Cu) = Cdu公式点击此处看公式(1)(4)的证明例2.3.11求y=tanx的导数解.(t anx)=Sill xcos A(3111 X)1 ：；： z 一 sm 齐ux 兀)cos3 X=cos a cos a - sin x (-sin 疋)cos x=sec2X.COS X同理可得(cotx)二-CSC2X.=seCxtanx.同理可得(cscx) =-cscx cotx.例 2.3.13 求 y=(1
7、+4x)(2x2-3x3)的导数.解一.y =(1+4x)C(2x2-3x3)+ (1+4x)(2x2-3x3)=4(2x2-3x3)+ (1+4x)(2X2x-3X3x2) =8x2-12x3+4x-9x2+16x2-36x3=4x+15x2-48x3解二.因 y =2x2+5x3-12x4，故y =2X2x+5X3x2-12X4x3=4x+15x2-48x3.例2.3.14求函数y=(x+sinx)lnx的微分.解.dy=lnxd(x+sinx) + (x+sinx)dlnx=lnx(dx+dsinx) + (x+sinx)丄 dxx仁 win x=lnxX(dx+cosxdx)+ 1 +
8、 dx2.导数的定义从曲线的切线斜率以及其他有关函数变化速度问题，我们抽象出函数的导数概念.定义.设函数y=f(x)在包含点x的一个开区间X(这样的开区间称为x的邻域)内有00定义，y=f(x).如果xIX-x ,我们称Dx=x-x0(D读作delta)为自变量的改变量，0 0 0 0Zjt j述_ 了匕补Dy=f (x)-f (x )为函数的(对应)改变量，比值二为函数的差商或平均变0八飞T- - T化率.如果极限皿TO加存在，则称函数y=f(x)在点X。可导(或可微)，该极限称为函数y=f(x)在点关于自变量X的导数(或微商).记作因 Dx=x-x , x二x+Dx,故还有00此时，曲线y
9、=f(x)在点(x, f(x)的切线方程是0 0厂了氏八心X 5).注意.Dx可正可负，依x大于或小于x而定.0根据定义求已知函数y=f(x )在给定点x的导数的步骤是:0(1) 计算函数在自变量x+Dx处的函数值f (x +Dx)；0 0(2) 计算函数的改变量Dy=f (x +Dx)-f(x )；0 0写出函数的差商母Ar(4) 计算极限，即导数值血 j & QAy例2.3.1求常数函数y=c的导数.解.因 Dy=y(x+Dx)-y (x)=c-c=0，差商=0,Au故=0.此处x可为任意实数，即常数函数y=c在任意点x处的导Rd Ax数为 0.例2.3.2设n是正整数，求幕函数y=xn在
10、点x处的导数.解.因y (x+Dx) = (x+Dx) n二xn+帧卅加 + F J (Az)3 + 十，Dy=y (x+Dx)-y (x)二椰故w lim= lim十用。=忒严】特别，当 n=1 时，函数 y=x 在任意点 x 处的导数为 1 例2.3.3求曲线y=x3在点(2,8)处的切线方程.解.在上例中取n=3可知函数y=X3在点x处的导数为3x2,于是在点(2, 8)处的切 线斜率是：y(2)=3X22=12，故曲线y=X3在(2,8)处的切线方程是y-8=12X(x-2) U 12x-y-16=0.注.(1) 从上述例子我们看到，一般情况下，给定函数y=f(x)在某个区间X内每一点
11、都 可导，这样可求出X内每一点的导数y(x), xlX .于是y (x)成为X内有定义的一个 新函数，我们称它为给定函数y=f(x)的导函数，且常常省略定义中的字样“在x点处 关于自变量的”，甚至简称f(x)的导数.例如我们说常数函数y=c的导数是0，y=x 的导数是1，y=xn的导数是楓I等等，分别记作c =0, x =1，(xn)=等等.(2) 关于改变量的记号D，应把它与其后面的变量x或y看作一个整体量，就象sinx 中的sin 一样，绝不能把Dx看成D与x的乘积，特别，为避免误解，我们用(Dx)2来表 示Dx的平方而不写DX2 .从导数的定义我们还可以导出其它一些初等函数的导数公式:(
12、点击此处看例2.3.4，例2.3.5，例2.3.6证明)例 2.3.4 y=sinx 的导数是(sinx) =cosx，y=cosx 的导数是(cosx)二-sinx .1例 2.3.5 y=logax(0ai 1)的导数是(lox)盂匸.特别，(lnx) =1/x .例 2.3.6 指数函数 y=ax(0a11)的导数是(ax) =axlna .特别，(ex)二ex.8.导数的导数-二阶导数一般来说，函数y=f(x)的导数还是以x为自变量的函数：y =f (x)，如果它还 可导，我们又可得f (x)的导数：(y ) =f (x)，称为y=f(x)的二阶导数，记作如果它还可导，我们就可继续逐次
13、求三阶，四阶，的导数，对任意正整数n，n阶导 数被定义为y(n)=(y(n-i), n=2, 3, 统称为函数y的高阶导数.例2.3.22求y=sinx的n阶导数. 小解.y =cosx二sin兀十丁，用归纳法不难求出k JrJT1y(n)二sin x +曲一.I2丿例2.3.23若s =s(t)为质点运动的路程函数，则s (t)=v(t)是运动速度又， 二阶导数s (t)=v (t )=a( t)则是运动的加速度.例 2.3.24 求 y 二arc tanx 的二阶导数 y.1解. y =,y =-(1+x2)-2(i+x2)=-1十工Q +)思考题.对于可导函数y=f(x)来说，导数f (
14、x)表示曲线的切线斜率，请你考虑, 如果f (x)还可导，那么f (x)的正或负，反映函数y=f(x)的图像的什么性态. 实验题.选择不同的函数，使二阶导数取正或负值，然后作出函数的图像，观察二阶导 数对函数图像的影响.7.基本初等函数的导数与微分公式求导公式求微分公式(1)c =0dc=0(xm)=mxm-idxm二mxm-idx，mIR(乐)=axlnadax=Oxlnadx，0 a11(ex)=exdex=exdx( logx) =-zln adx二处，0a】1log 忑血a(10)(11)(12)(13)(14)(lnx)(x)sin(x)cos(x)tan(x)cot(x)sec=2二 xcosxsin=2Xsec=-CSC2X= x
