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1、4一次函数的应用1确定一次函数表达式(1)借助图象确定函数的表达式先观察直线是否过坐标原点，若过原点，则为正比例函数，可设其关系式为ykx(k0)；若不过原点，则为一次函数，可设其关系式为ykxb(k0)；然后再观察图象上有没有明确几个点的坐标对于正比例函数，只要知道一个点的坐标即可；对于一次函数，则需要知道两个点的坐标；最后将各点坐标分别代入ykx或ykxb中，求出其中的k，b，即可确定出其关系式(2)确定正比例函数、一次函数表达式需要的条件由于正比例函数ykx(k0)中只有一个未知系数k，故只要一个条件，即一对x，y的值或一个点的坐标，就可以求出k的值，确定正比例函数的表达式一次函数ykx
2、b(k0)有两个未知系数k，b，需要两个独立的关于k，b的条件，求得k，b的值，这两个条件通常是两个点的坐标或两对x，y的值【例1】 如图，直线AB对应的函数表达式是()Ayx3Byx3Cyx3Dyx3解析：设直线AB对应的函数表达式是ykxb(k0)，当x0时，y3，代入得b3，当x2时，y0，则2k30，k，故yx3.答案：A点技巧 用待定系数法求直线解析式由图象观察可知该函数为一次函数，故应设成ykxb(k0)的形式，再将A，B两点坐标代入该关系式，即可求出k，b，从而确定出具体的关系式2待定系数法(1)定义：先设出式子中的未知系数，再根据条件求出未知系数，从而写出这个式子的方法，叫做待
3、定系数法，其中的未知数也称为待定系数(2)用待定系数法求解析式的一般步骤：根据已知条件写出含有待定系数的解析式；将x，y的几对值或图象上几个点的坐标代入上述的解析式中，得到以待定系数为未知数的方程或方程组；解方程(组)，得到待定系数的值；将求出的待定系数代回所求的函数解析式中，得到所求函数的解析式【例21】 一次函数图象如图所示，求其解析式分析：利用图象所给的信息，即直线与坐标轴交点的坐标，再用待定系数法求出k，b的值，从而确定表达式解：设一次函数解析式为ykxb，一次函数图象过点(0，2)，2k0b，b2.一次函数图象过点(1,0)，0k1b，k2.一次函数解析式为y2x2.【例22】 在直
4、角坐标系中，一次函数ykxb的图象经过三点A(2,0)，B(0,2)，C(m,3)，求这个函数的表达式，并求m的值解：根据题意，得2kb0，b2, kmb3，把b2代入，得2k20，即k1；把b2，k1代入，得m1.故函数的表达式为yx2.3一次函数的实际应用(1)通过图象获取信息通过观察一次函数的图象获取有用的信息是我们在日常生活中经常遇到的问题，要掌握这个重点在于对函数图象的观察和分析，观察函数图象时，首先要看横轴、纵轴分别代表的是什么，也就是观察图象反映的是哪两个变量之间的关系释疑点 函数图象中的特殊点观察图象获取信息时，一定要注意图象上的特殊点，这些特殊点对我们解决问题有很大的帮助(2
5、)一次函数图象的应用一次函数和正比例函数是我们接触到的最简单的函数，它们的图象和性质在现实生活中有着广泛的应用利用一次函数和正比例函数的图象解决问题是本节的一个重点，这部分内容在中考中占有重要的地位谈重点 函数ykxb图象的变化形式在实际问题中，当自变量的取值范围受到一定的限制时，函数ykxb(k0)的图象就不再是一条直线要根据实际情况进行分析，其图象可能是射线、线段或折线等等【例31】 甲、乙两个工程队分别同时开挖两段河渠，所挖河渠的长度y(m)与挖掘时间x(h)之间的关系如图所示，请根据图象所提供的信息解答下列问题：(1)乙队开挖到30 m时，用了_ h开挖6 h时甲队比乙队多挖了_ m.
6、(2)请你求出：甲队在0x6的时段内，y与x之间的函数关系式；乙队在2x6的时段内，y与x之间的函数关系式(3)当x为何值时，甲、乙两队在施工过程中所挖河渠的长度相等？分析：(1)由图象可以直接看出乙队开挖到30 m时，用了2 h开挖6 h时甲队比乙队多挖了10 m；(2)设甲队在0x6的时段内y与x之间的函数关系式为yk1x(k10)，由图可知，函数图象过点(6,60)，6k160，解得k110，y10x.设乙队在2x6的时段内y与x之间的函数关系式为yk2xb(k20)，由图可知，函数图象过点(2,30)，(6,50)，代入yk2xb，求出k25，b20，y5x20.(3)由题意，得10x
7、5x20，解得x4(h)解：(1)210(2)y10x.y5x20.(3)由题意，得10x5x20，解得x4(h)故当x为4 h时，甲、乙两队所挖的河渠长度相等【例32】 某单位急需用车，但又不准备买车，他们准备和一个体车主或一国有出租车公司签订月租车合同设汽车每月行驶x km，应付给个体车主的月费用为y1元，应付给国有出租车公司的月费用是y2元，y1，y2分别与x之间的函数关系图象(两条射线)如图，观察图象回答下列问题：(1)每月行驶的路程在什么范围内时，租国有出租车公司的车合算？(2)每月行驶的路程等于多少时，租两家车的费用相同？(3)如果这个单位估计每月行驶的路程为2 600 km，那么
8、这个单位租哪家车合算？分析：本题从给出的两个函数图象中可获取以下信息：都是一次函数，一个是正比例函数；两条直线交点的横坐标为1 500；表明当x1 500时，两个函数值相等；根据图象可知：x1 500时，y2y1；0x1 500时，y2y1.解：观察图象，得：(1)每月行驶的路程小于1 500 km时，租国有出租车公司的车合算；(2)每月行驶的路程为1 500 km时，租两家车的费用相同；(3)如果每月行驶的路程为2 600 km，那么这个单位租个体车主的车合算析规律 函数图象交点规律两函数图象在同一坐标系中，当取相同的自变量时，下方图象对应的函数的函数值小；交点处的函数值相等4一次函数和一元
9、一次方程的关系当一次函数ykxb(k0)中的函数值为0时，可得0kxb即kxb0，这在形式上变成了求关于x的一元一次方程，也就是说，当一次函数ykxb的函数值为0时，相应的自变量的值即为方程kxb0的解；若从图象上来看，则可看做函数ykxb的图象与x轴的交点的横坐标，即为方程kxb0的解由此可见，方程与函数是密不可分的【例4】 某汽车生产厂对其生产的A型汽车进行耗油量实验，实验中汽车视为匀速行驶已知油箱中的余油量y(L)与行驶时间t(h)的关系如下表，与行驶路程x(km)的关系如下图请你根据这些信息求A型车在实验中的速度.行驶时间t(h)0123油箱余油量y(L)100846852分析：考查综
10、合利用一次函数的相关知识解决问题的能力解法一：余油量y与行驶路程x的关系图象是一条直线，可设关系式为ykxb(k0)由图象可知ykxb经过两点(0,100)和(500,20)，则有b100,20500kb.把b100代入20500kb，得20500k100，解得k.直线的解析式为yx100.当y100时，x0；当y84时，x100.由图表可知，油箱中的余油量从100 L到84 L，行驶时间是1 h，行驶路程是100 km.A型汽车的速度为100 km/h.解法二：由图表可知：A型汽车每行驶1 h的路程耗油16 L.由图象可知：A型汽车耗油80 L所行驶的路程为500 km.可设汽车耗油16 L
11、所行驶的路程为x km，则50080x16，解得x100.A型汽车1 h行驶的路程为100 km.它的速度为100 km/h.点评：有时，我们利用一次函数的图象求一元一次方程的近似解5一次函数图象的平移一次函数ykxb(k0)的图象可以看做由直线ykx平移|b|个单位长度而得到(当b0时，向上平移；当b0时，向下平移)实际上就是指一次函数ykxb的图象沿y轴平移时，在b的位置上按照“上加下减”的规律进行如：一次函数l1：yx2的图象可以看做是由正比例函数l：yx的图象沿y轴向上平移2个单位长度得到的；一次函数l2：yx2的图象可以看做是由正比例函数l：yx的图象沿y轴向下平移2个单位长度得到的
12、【例5】 如图所示，将直线OA向上平移1个单位长度，得到一个一次函数的图象，那么这个一次函数的解析式是_解析：由图象可知，直线经过原点，所以设直线的解析式为ykx(k0)因为直线经过点(2,4)，所以直线的解析式为y2x.根据“上加下减”的原则，可知所求的一次函数解析式为y2x1.答案：y2x1析规律 平移中的函数解析式解决平移问题可以对性质进行记忆直接运用，也可以找出平移后借助坐标系运用待定系数法求解平移前后k的值不变，改变的是b的值6.函数、方程和不等式的完美结合从“数”的角度看，由于任何一元一次方程都可以转化为axb0(a，b为常数，且a0)的形式，所以解一元一次方程可以看做：当一次函数
13、yaxb的值为0时，求相应的自变量的值；反之，求自变量x为何值时，一次函数yaxb的值为0，只要求出方程axb0的解即可由于任何一元一次不等式都可以转化为类似axb0或axb0的形式，所以解一元一次不等式可以看做：当一次函数yaxb的值大(小)于0时，求自变量相应的取值范围；反之，求一次函数yaxb的值何时大(小)于0时，只要求出不等式axb0或axb0的解集即可从一元一次方程、一元一次不等式与一次函数的关系可以看出，三者最终能用函数观点统一起来，并且达到一种完美的结合，这种结合，又常常在一些考题中得以体现【例6】 已知一次函数yaxb(a，b是常数，且a0)x与y的部分对应值如下表：x210
14、123y642024那么方程axb0的解是_，不等式axb0的解集是_解析：本题先以表格的形式向我们提供了一次函数yaxb的信息按一般解法，我们完全可以利用这些对应值，通过待定系数法求出未知系数a和b，然后再去解方程或不等式，于是得解果真那样去做的话，说明你没有真正领会到本题的用意事实上，本题是想考查你对一元一次方程、一元一次不等式和一次函数之间关系的掌握情况由三者之间的关系可知，求方程axb0的解，实质上就是求一次函数yaxb的函数值为0时，对应的自变量x的取值，从表中可直接看出x1；同理，求不等式axb0的解集，实质上就是求当一次函数yaxb的函数值大于0时，对应的自变量x的取值范围，这时也可以从表中直接看出为x1.答案：x1x17如何确定一次函数的表达式确定正比例函数和一次函数的解析式是一次函数这部分内容考查的一个重要知识点那么应该怎样确定正比例函数和一次函数的解析式呢？因为正比例函数的解析式ykx中，只有一个待定系数k，确定了k的值，也就确定了正比例函数的解析式
