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1、2022年高三期末质量检测（数学）一、填空题（本大题满分48分）1. 复数（）为虚数的一个充分非必要条件是 . 2. 函数，的反函数为_ _ _ .3. 不等式的解集为 . 4. 已知，则 . 5. 过点且垂直于直线的直线的一般式方程为 . 6. 设，则正整数的最小值为 . 7. 已知，则 . 8. 已知双曲线的顶点恰与抛物线的焦点重合，则 .9. 函数在定义域上的值域是 .10. 在直角三角形ABC中，则= . 11. 已知集合，则= .12. 设集合，且，.在坐标平面内，从所有满足这些条件的有序数对所表示的点中任取一个，其落在圆内的概率恰为，则该圆半径的取值范围是 . 二、选择题（本大题满
2、分16分）13. 椭圆的长轴长和短轴长分别是 （ ）A. ； B. ； C. ； D. .14. 已知和都是实数，则下列各集合中，可能是空集的集合个数有 （ ）； ；. A. 0个； B. 1个； C. 2个； D. 3个.15. 如图，EF是梯形ABCD的中位线，则以下向量中，与不相等的向量是 （ ）第15题图A. ； B. ； C. ； D. . 16. 设函数的定义域为，值域为. 则以下结论中，错误的是（ ）A. 的最小值为； B. 的最大值为； C. 不可能等于，； D. 不可能等于，.三、解答题（本大题满分86分）17. （本题满分10分）已知复数是实系数一元二次方程的根，求.18.
3、 （本题满分14分）已知等比数列满足，且，. 求数列中所有小于1的项的各项和.19. （本题满分14分）经测算，某燃料动力拖船在行驶中每小时的燃料费用与船速（船速是指船在静水中的速度）的平方成正比，且当船速为15（公里/小时）时，每小时燃料费用为75元. 若该船在水流速度为5（公里/小时）的江水中逆流而上，从甲地行驶到30公里外的乙地. 现要使总的燃料费用最少，应控制该船的船速为多少（公里/小时）？这个单程共需燃料费用多少元？20. （本题满分14分. 其中第1小题满分11分，第2小题满分3分）已知：过点的直线与双曲线交于不同的两点、，且直线的斜率为.（1）是否存在这样的直线，使得（为坐标原点
4、）？若存在，试求出斜率的取值范围；若不存在，试说明理由.（2）试叙述第（1）题结论的几何意义.21. （本题满分16分.其中第1小题满分3分，第2小题满分5分，第3小题满分8分）已知函数，且满足.（1）求实数的值；（2）判断函数在区间上的单调性，并用单调性的定义证明；（3）若关于的方程有三个不同的实数解，求实数的取值范围.22. （本题满分18分. 其中第1小题满分4分，第2小题满分5分，第3小题满分9分）若正整数能拆成（是正整数且）个成等差数列且公差不为零的正整数的和，即：，（其中正整数依次成公差不为零的等差数列），则称有一个阶非平凡等差分拆，记作.并且规定：“的两个非平凡等差分拆与是相同的
5、分拆”等价于“且集合与集合相等”.请研究并回答下面的问题：（1）有非平凡等差分拆的最小正整数是多少？为什么？（2）试写出20的一个非平凡等差分拆，并说明20的非平凡等差分拆不超过5阶；（3）素数（即质数，除了和它本身外不再有其他正约数的自然数）有非平凡等差分拆吗？若有，试举一例；若没有，试说明你的理由.上海市普陀区xxxx第一学期高三年级质量调研数学试卷参考解答及评分标准一、填空题：（41248）题号1234答案开放题，等题号5678答案64题号9101112答案 二、选择题：（4416）题号13141516答案BCCD三、解答题：（101414141618）17.解：由条件，复数是给定方程的
6、一个虚根. 因为实系数一元二次方程的虚根为一对共轭复数，所以也是该方程的根. 由韦达定理：，可解得，.于是，.3681018. 解：因为是等比数列，所以. 又因为，则由设的公比为，则，且可得.所以数列的通项公式为.若，则由. 所以“数列中所有小于1的项的各项和”即为“等比数列从第8项起的各项和.”则.468111419. 解：先设每小时的燃料费用元与船速（公里/小时）的关系式为，当时，可得.又设一个单程的燃料费用共需元. 根据题意，得，.当且仅当时，元.答：应控制实际该船船速为10（公里/小时）时，总的燃烧费用最少；这样一个单程共需燃料费用200元.3711131420. 解：（1）假设存在这
7、样的直线，其方程为.另设直线与双曲线的交点坐标分别为、. 将直线方程与双曲线方程联立，得.可得因为直线与双曲线交于不同两点，则有. 由于，可得.综上，当时，可使得.（2）上题结论的几何意义是：当直线的斜率在区间时，直线与双曲线的交点、与原点构成的为锐角.3579111421. 解：（1）函数满足，可得或；又，所以.（2）因为，所以，由题意只需研究在上的单调性，该函数在区间内为单调递增函数.证明：任取，有由于，即.故函数在区间为增函数.（3）解法1：原方程即为- 显然，恒为方程的1个解； 当时，式等价于：，所以，当，即当时方程在区间有1个解，此外无解； 当且时，式等价于：由或.所以，当时，原方程
8、在区间有1个实数解，此外无解.综上，要使原方程有三个不同的实数解，当且仅当原方程在区间和各有一个实数解时才成立，此时解得.即当原方程有三个不同的实数解.解法2：本问题等价于研究函数和函数图像有3个交点时，实数的取值范围. （如图1），作出函数的图像，过原点作函数的图像，即直线. 不难发现，它们都经过原点. 除了原点之外： 当时，直线与函数的图像除原点外没有交点，不符题意； 当时，直线与函数的图像仅在第四象限可能产生一个交点，所以最多有两个交点，不符合题意； 当时，直线与函数的图像在第一象限恒有一个交点，在原点恒有一个交点；由题意可得，若有3个不同交点，则需直线与函数的图像在第三象限也有一个交点
9、；即下列方程组： 在区间有唯一实数解.则当时，解得，当，即当时方程在区间有唯一实数解. 综上可得，当时，原方程有三个不同的实数解. 图1 图2 解法3：对于方程，（）显然，是方程的1个解；（）当时，原方程等价于；当时，原方程等价于.故时，.构造函数和. 由和的图像可知（如图2），显然，当时，和的图像有2个不同交点；综上（）、（）可得：当时，原方程有三个不同的实数解.35891416101516913151622. 解：（1）根据题意，只须首项和公差都等于1，即，且即可. 由知，能进行非平凡等差分拆的最小自然数是.（2）因为当且时，所以20的非平凡等差分拆不超过5阶；当时，20可以进行非平凡等差
10、分拆，；当时，20可以进行非平凡等差分拆，20.（说明：写出其中1个非平凡等差分拆即可得3分）（3）解法1： 因为2没有非平凡等差分拆，可设其他奇素数为，假设素数有阶非平凡等差分拆，则（*），其中公差.1 当为偶数，即时，由（*），由，且，所以，这与是素数矛盾；2 当为奇数，即时，由（*），同样，与是素数矛盾.综上1和2可得，素数没有非平凡等差分拆.解法2：因为2没有非平凡等差分拆，可设其他奇素数为，假设素数有阶非平凡等差分拆，则（*），其中公差.1 当为偶数，即时，由（*），由，且，所以与是素数矛盾；2 当为奇数，即时，由（*），且由，所以，与是素数矛盾.综上1和2可得，素数没有非平凡等差分拆.24691114171811141718
