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1、必修二第二章综合检测题一、选择题1.若直线a和b没有公共点，则a与b的位置关系是（）A.相交B.平行C.异面D.平行或异面2. 平行六面体ABCDAiBiCiDi中，既与AB共面也与CCi共面的棱的条数为（）A.3B.4C.5D.63. 已知平面a和直线I，则a内至少有一条直线与1（）A.平行B.相交C.垂直D.异面4. 长方体ABCDAiBiCiDi中，异面直线AB,AiDi所成的角等于（）A.30B.45C.60D.905. 对两条不相交的空间直线a与b,必存在平面a,使得（）A.a?a,b?aB.a?a,b/aC.a丄a,b丄aD.a?a,b丄a6. 下面四个命题：其中真命题的个数为（）
2、 若直线a,b异面，b,c异面，则a,c异面； 若直线a,b相交，b,c相交，则a,c相交； 若a/b,则a,b与c所成的角相等； 若a丄b,bc,贝卩a/c.A.4B.3C.2D.i7. 在正方体ABCDAiBiCiDi中，E,F分别是线段AiBi,BiCi上的不与端点重合的动点，如果AiE=BiF，有下面四个结论： EF丄AAi；EF/AC;EF与AC异面；EF/平面ABCD.其中一定正确的有（）A.B.C.D.8设a,b为两条不重合的直线，aB为两个不重合的平面，下列命题中为真命题的是（）A.若a,b与a所成的角相等，则a/bB.若a/a,b/伏a/B,贝ya/bC.若a?a,b?伏a/
3、b,贝Ua/3D.若a丄a,b丄3a丄3贝ya丄b9.已知平面a丄平面3aQ3=I，点Aa,A?l,直线AB/I,直线AC丄I,直线m/a,n/3则下列四种位置关系中，不一定成立的是（）A.AB/mB.AC丄mC.AB/3D.AC丄310. 已知正方体ABCDAiBiCiDi中，E、F分别为BBi、CCi的中点，那么直线AE与DiF所成角的余弦值为（）A4,333a.5B.5C.4D.511. 已知三棱锥DABC的三个侧面与底面全等，且AB=AC=3,BC=2,则以BC为棱，以面BCD与面BCA为面的二面角的余弦值为（）C.0A.彳B-5C.0D.舟12. 如图所示，点P在正方形ABCD所在平
4、面外，PA丄平面ABCD,FA=AB,则PB与AC所成的角是（）.90、填空题、13.3014. 正方体ABCDAiBiCiDi中，二面角CiABC的平面角等于.15. 设平面a/平面B,A,CaB,D3直线AB与CD交于点S,且点S位于平面a,B之间，AS=8,BS=6,CS=i2,则SDi6.将正方形ABCD沿对角线BD折成直二面角ABDC,有如下四个结论： AC丄BD; 厶ACD是等边三角形； AB与平面BCD成60的角； AB与CD所成的角是60其中正确结论的序号是.三、解答题（解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17. 如下图，在三棱柱ABCA1B1C1中，ABC与厶AiBiCi
5、都AiCi的中点.求证：（1）平面AB1F1/平面C1BF;平面ABiFi丄平面ACC1A14,i8.如图所示，在四棱锥PABCD中，PA丄平面ABCD,AB=/ABC=90E是CD的中点.（i）证明：CD丄平面PAE;若直线PB与平面FAE所成的角和PB与平面ABCD所成的角相等，求四棱锥FABCD的体积.19. 如图所示，边长为2的等边PCD所在的平面垂直于矩形ABCD所在的平面，BC=2,：2,M为BC的中点.求二面角P-AMD的大小.20. 如图，棱柱ABCA1B1C1的侧面BCCiBi是菱形，BQ丄AiB.1(1)证明：平面ABiC丄平面AiBCi；设D是AiCi上的点，且AiB/平
6、面BiCD，求AiDDCi的值.21. 如图，ABC中，AC=BC=#AB,ABED是边长为1的正方形,平面ABED丄底面ABC,若G,F分别是EC,BD的中点.(1) 求证：GF/底面ABC;求证：AC丄平面EBC;求几何体ADEBC的体积V.22. 如下图所示，在直三棱柱ABCA1B1C1中，AC=3,BC=4,AB=5,AAi=4,点D是AB的中点.(1)求证：AC丄BCi；(2)求证：ACi/平面CDBi；(3)求异面直线AC1与B1C所成角的余弦值.必修二第二章综合检测题1D2CAB与CCi为异面直线，故棱中不存在同时与两者平行的直线，第一类与AB平行与CG相交的有：CD、C1D1与
7、CCi平行且与AB相交的有：BBi、AA1，第二类与两者都相交的只有BC,故共有5条.3 C当直线I与平面a斜交时，在平面a内不存在与I平行的直线，二A错；当I?a时，在a内不存在直线与I异面，二D错；当I/a时，在a内不存在直线与I相交.无论哪种情形在平面a内都有无数条直线与I垂直.4 D由于AD/A1D1,则/BAD是异面直线AB,A1D1所成的角，很明显/BAD=905 B对于选项A，当a与b是异面直线时，A错误；对于选项B,若a,b不相交，则a与b平行或异面，都存在a,使a?ab/a,B正确；对于选项C,a丄a,b丄a,定有a/b,C错误；对于选项D,a?a,b丄a,定有a丄b,D错误
8、.6 D异面、相交关系在空间中不能传递，故错；根据等角定理，可知正确；对于，在平面内，a/c,而在空间中，a与c可以平行，可以相交，也可以异面，故错误.7 D如图所示.由于AAi丄平面AiBiCiDi,EF?平面AiBiCiDi,则EF丄AAi,所以正确；当E,F分别是线段g,BQi的中点时，EF/AiCi，又AC/AiCi，贝SEF/AC，所以不正确；当E,F分别不是线段AiBi,BiCi的中点时，EF与AC异面，所以不正确；由于平面AiBiCiDi/平面ABCD,EF?平面AiBiCiDi，所以EF/平面ABCD，所以正确.8 D选项A中，a,b还可能相交或异面，所以A是假命题；选项B中，
9、a,b还可能相交或异面，所以B是假命题；选项C中，aB还可能相交，所以C是假命题；选项D中，由于a丄a,a丄厲则a/B或a?B,贝卩B内存在直线I/a,又bB,则bI，所以a丄b.9 C如图所示：AB/I/m;3i0、311 C取BC中点E,连AE、DE,可证BC丄AE,BC丄DE,/AED为二面角A-BC-D的平面角又AE=ED=2,AD=2,二/AED=90故选C.12 B将其还原成正方体ABCD-PQRS,显见PB/SC,ACS为正三角形，/ACS=6013aQB=AB如图所示，正方体ABCD-AiBiCiDi中，由于BC丄AB,BCi丄AB,则/CiBC是二面角Ci-AB-C的平面角.
10、又BCCi是等腰直角三角形，则/CiBC=4515、9如下图所示，连接AC,BD,s则直线AB,CD确定一个平面ACBD.TallB,AC/BD,解得SD=9.则AS_CS.8_12则SB=SD，6=SD，16如图所示，取BD中点，E连接AE,CE,贝SBD丄AE,BD丄CE,而AEACE=E,aBD丄平面AEC,AC?平面AEC,故AC丄BD，故正确.c 设正方形的边长为a,则AE=CE=2a.由知/AEC=90是直二面角A-BDC的平面角，且/AEC=90AC=a,ACD是等边三角形，故正确. 由题意及知，AE丄平面BCD,故/ABE是AB与平面BCD所成的角，而/ABE=45所以不正确.
11、 分别取BC,AC的中点为M,N,连接ME,NE,MN.1111贝SMN/AB,且MN=2AB=qa,ME/CD，且ME=qCD=a,/EMN是异面直线AB,CD所成的角.J2在RtAAEC中，AE=CE=a,AC=a,11NE=2AC=2a.MEN是正三角形，二/EMN=60故正确.17(1)在正三棱柱ABCA1B1C1中，tF、F1分别是AC、A1C1的中点，二B1F1/BF,AF1/GF.又TB1F1AAF1=F1,C1FABF=F平面AB1F1/平面GBF.(2) 在三棱柱ABCA1B1C1中，AA1丄平面A1B1G,.BF丄AA又B1F1丄A1C1,A1C1AAA1=A1-B1F1丄
12、平面ACC1A1，而B1F1?平面AB1F1平面AB1F1丄平面ACC1A1.18(1)如图所示，连接AC,由AB=4,BC=3,ZABC=90得AC=5.又AD=5,E是CD的中点，所以CD丄AE.vPA丄平面ABCD,CD?平面ABCD，所以FAXCD.而FA，AE是平面FAE内的两条相交直线，所以CD丄平面FAE.过点B作BG/CD，分别与AE,AD相交于F,G,连接PF.由(1)CD丄平面FAE知，BG丄平面FAE.于是/BPF为直线PB与平面PAE所成的角，且BG丄AE.由FA丄平面ABCD知，/PBA为直线PB与平面ABCD所成的角.AB=4,AG=2,BG丄AF,由题意，知/PB
13、A=ZBPF,因为sin/PBA=PAPB,sin/BPF=BFPB,所以FA=BF.由/DAB=/ABC=90知，AD/BC,又BG/CD，所以四边形BCDG是平行四边形，故GD=BC=3.于是AG=2.在RtABAG中，AB=4,AG=2,BGXAF,所以BG=pB2+AG2=2书，BF=AG=265=5.于是PA=BF=5.1又梯形ABCD的面积为S=(5+3)X4=16,所以四棱锥P-ABCD的体积为_1“1,8.5128EV=“SXFA=”16X=.3351519解析(1)证明：如图所示，取CD的中点E,连接PE,EM,EA,PPCD为正三角形,PE丄CD,PE=PDsin/PDE=
14、2sin60=3.平面PCD丄平面ABCD, PE丄平面ABCD，而AM?平面ABCD,.PE丄AM.T四边形ABCD是矩形， ADE,ECM,AABM均为直角三角形，由勾股定理可求得EM=3,AM=6,AE=3EM2+AM2=AE2.AM丄EM.又PEAEM=E,.AM丄平面PEM,.AM丄PM.(2) 解：由(1)可知EM丄AM,PM丄AM, /PME是二面角P-AMD的平面角. tan/PME=器=；=1，/PME=45(1)因为侧面BCC1B1是菱形，所以BQ丄BC1,又已知B1CA1B，且A1BABC1=B,所以B1C丄平面A1BC1，又B1C?平面AB1C所以平面AB1C丄平面A1BC1.设BG交B1C于点E,连接DE，则DE是平面A1BC1与平面BQD的交线.因为A1B/平面BQD,A1B?平面A1BC1,平面A1BC1A平面B1CD=DE，所以A1B/DE.又E是BG的中点，所以D为AC的中点.即AQDC1=1.21解(1)证明：连接AE,如下图所示.ctADEB为正方形AEABD=F,且F是AE的中点，又G是EC的中点GF/AC,又AC?平面ABC,GF?平面ABC,GF/平面ABC.(2)证明：tADEB为正方形，EB丄
