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1、函数的单调性与最值基础过关一、定义域:1函数的定义域就是使函数式 的集合.2常见的三种题型确定定义域: 已知函数的解析式,就是 . 复合函数f g(x)的有关定义域,就要保证内函数g(x)的 域是外函数f (x)的 域.实际应用问题的定义域,就是要使得 有意义的自变量的取值集合.二、值域:1函数yf (x)中,与自变量x的值 的集合.2常见函数的值域求法,就是优先考虑 ,取决于 ,常用的方法有:观察法;配方法;反函数法;不等式法;单调性法;数形法;判别式法;有界性法;换元法(又分为 法和 法)例如:形如y,可采用 法; y,可采用 法或 法; yaf (x)2bf (x)c,可采用 法; yx
2、,可采用 法; yx,可采用 法; y可采用 法等.三、单调性1定义:如果函数yf (x)对于属于定义域I内某个区间上的任意两个自变量的值x1、x2,当x1、x2时,都有 ,则称f (x)在这个区间上是增函数,而这个区间称函数的一个 ;都有 ,则称f (x)在这个区间上是减函数,而这个区间称函数的一个 .若函数f(x)在整个定义域l内只有唯一的一个单调区间,则f(x)称为 .2判断单调性的方法:(1) 定义法,其步骤为: ; ; .(2) 导数法,若函数yf (x)在定义域内的某个区间上可导,若 ,则f (x)在这个区间上是增函数;若 ,则f (x)在这个区间上是减函数.四、单调性的有关结论1
3、若f (x), g(x)均为增(减)函数,则f (x)g(x) 函数;2若f (x)为增(减)函数,则f (x)为 ;3互为反函数的两个函数有 的单调性;4复合函数yf g(x)是定义在M上的函数,若f (x)与g(x)的单调相同,则f g(x)为 ,若f (x), g(x)的单调性相反,则f g(x)为 .5奇函数在其对称区间上的单调性 ,偶函数在其对称区间上的单调性 .典型例题例1. 求下列函数的定义域:(1)y=; (2)y=; (3)y=.解:(1)由题意得化简得即故函数的定义域为x|x0且x-1.(2)由题意可得解得故函数的定义域为x|-x且x.(3)要使函数有意义,必须有即x1,故
4、函数的定义域为1,+).变式训练1:求下列函数的定义域:(1)y=+(x-1)0 ; (2)y=+(5x-4)0; (3)y=+lgcosx;解:(1)由得所以-3x2且x1.故所求函数的定义域为(-3,1)(1,2).(2)由得函数的定义域为(3)由,得借助于数轴,解这个不等式组,得函数的定义域为例2. 设函数y=f(x)的定义域为0,1,求下列函数的定义域.(1)y=f(3x); (2)y=f();(3)y=f(; (4)y=f(x+a)+f(x-a).解:(1)03x1,故0x,y=f(3x)的定义域为0, .(2)仿(1)解得定义域为1,+).(3)由条件,y的定义域是f与定义域的交集
5、.列出不等式组故y=f的定义域为.()由条件得讨论:当即0a时,定义域为a,1-a;当即-a0时,定义域为-a,1+a.综上所述:当0a时,定义域为a,1-a;当-a0时,定义域为-a,1+a.变式训练2:若函数f(x)的定义域是0,1,则f(x+a)f(x-a)(0a)的定义域是 ( ) A. B.a,1-a C.-a,1+a D.0,1解:B 例3. 求下列函数的值域:(1)y= (2)y=x-; (3)y=.解:(1)方法一 (配方法)y=1-而0值域为.方法二 (判别式法)由y=得(y-1)y=1时,1.又R,必须=(1-y)2-4y(y-1)0.函数的值域为.(2)方法一 (单调性法
6、)定义域,函数y=x,y=-均在上递增,故y函数的值域为.方法二 (换元法)令=t,则t0,且x=y=-(t+1)2+1(t0),y(-,.(3)由y=得,ex=ex0,即0,解得-1y1.函数的值域为y|-1y1.变式训练3:求下列函数的值域:(1)y=; (2)y=|x|.解:(1)(分离常数法)y=-,0,y-.故函数的值域是y|yR,且y-.(2)方法一 (换元法)1-x20,令x=sin,则有y=|sincos|=|sin2|,故函数值域为0,.方法二 y=|x|0y即函数的值域为.例4若函数f(x)=x2-x+a的定义域和值域均为1,b(b1),求a、b的值.解:f(x)=(x-1
7、)2+a-. 其对称轴为x=1,即1,b为f(x)的单调递增区间.f(x)min=f(1)=a-=1 f(x)max=f(b)=b2-b+a=b 由解得 变式训练4:已知函数f(x)=x2-4ax+2a+6 (xR).(1)求函数的值域为0,+)时的a的值;(2)若函数的值均为非负值,求函数f(a)=2-a|a+3|的值域.解: (1)函数的值域为0,+),=16a2-4(2a+6)=02a2-a-3=0a=-1或a=.(2)对一切xR,函数值均非负,=8(2a2-a-3)0-1a,a+30,f(a)=2-a(a+3)=-a2-3a+2=-(a+)2+(a).二次函数f(a)在上单调递减,f(
8、a)min=f=-,f(a)max=f(-1)=4,f(a)的值域为.例5. 已知函数f(x)=ax+ (a1),证明:函数f(x)在(-1,+)上为增函数.证明 方法一 任取x1,x2(-1,+),不妨设x1x2,则x2-x10, 1且0,,又x1+10,x2+10,0,于是f(x2)-f(x1)=+0,故函数f(x)在(-1,+)上为增函数.方法二 f(x)=ax+1-(a1),求导数得=axlna+,a1,当x-1时,axlna0,0,0在(-1,+)上恒成立,则f(x)在(-1,+)上为增函数.方法三 a1,y=ax为增函数,又y=,在(-1,+)上也是增函数.y=ax+在(-1,+)
9、上为增函数.变式训练1:讨论函数f(x)=x+(a0)的单调性.解:方法一 显然f(x)为奇函数,所以先讨论函数f(x)在(0,+)上的单调性,设x1x20,则f(x1)-f(x2) =(x1+)-(x2+)=(x1-x2)(1-).当0x2x1时,1,则f(x1)-f(x2)0,即f(x1)f(x2),故f(x)在(0,上是减函数.当x1x2时,01,则f(x1)-f(x2)0,即f(x1)f(x2),故f(x)在,+)上是增函数.f(x)是奇函数,f(x)分别在(-,-、,+)上为增函数;f(x)分别在-,0)、(0,上为减函数.方法二 由=1-=0可得x=当x或x-时,0f(x)分别在(
10、,+)、(-,-上是增函数.同理0x或-x0时,0即f(x)分别在(0,、-,0)上是减函数.例6. 判断函数f(x)=在定义域上的单调性.解: 函数的定义域为x|x-1或x1,则f(x)= ,可分解成两个简单函数.f(x)= =x2-1的形式.当x1时,u(x)为增函数,为增函数.f(x)=在1,+)上为增函数.当x-1时,u(x)为减函数,为减函数,f(x)=在(-,-1上为减函数.变式训练2:求函数y=(4x-x2)的单调区间.解: 由4x-x20,得函数的定义域是(0,4).令t=4x-x2,则y=t.t=4x-x2=-(x-2)2+4,t=4x-x2的单调减区间是2,4),增区间是(
11、0,2.又y=t在(0,+)上是减函数,函数y=(4x-x2)的单调减区间是(0,2,单调增区间是2,4).例7. 求下列函数的最值与值域:(1)y=4-; (2)y=x+;(3)y=.解:(1)由3+2x-x20得函数定义域为-1,3,又t=3+2x-x2=4-(x-1)2.t0,4,0,2,从而,当x=1时,ymin=2,当x=-1或x=3时,ymax=4.故值域为2,4. (2)方法一 函数y=x+是定义域为x|x0上的奇函数,故其图象关于原点对称,故只讨论x0时,即可知x0时的最值.当x0时,y=x+2=4,等号当且仅当x=2时取得.当x0时,y-4,等号当且仅当x=-2时取得.综上函
12、数的值域为(-,-44,+),无最值.方法二 任取x1,x2,且x1x2,因为f(x1)-f(x2)=x1+-(x2+)=所以当x-2或x2时,f(x)递增,当-2x0或0x2时,f(x)递减.故x=-2时,f(x)最大值=f(-2)=-4,x=2时,f(x)最小值=f(2)=4,所以所求函数的值域为(-,-44,+),无最大(小)值.(3)将函数式变形为y=,可视为动点M(x,0)与定点A(0,1)、B(2,-2)距离之和,连结AB,则直线AB与x轴的交点(横坐标)即为所求的最小值点.ymin=|AB|=,可求得x=时,ymin=.显然无最大值.故值域为,+).变式训练3:在经济学中,函数f(x)的边际函数Mf(x)定义为Mf(x)=f(x+1)-f(x).某公司每月最多生产100台报警系统装置,生产x(x0)台的收入函数为R(x)=3 000x-20x2 (单位:元),其成本函数为C(x)=500x+4 000(单位:元),利润是收入与成本之差.(1)求利润函数P(x)及边际利润函数MP(x);(2)利润函数P(x)与边际利润函数MP(x)