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1、关于矩阵秩的证明 -09数应 鄢丽萍中文摘要 在高等代数中,矩阵的秩是一个重要的概念。它是矩阵的一个数量特征，而且在初等变换下保持不变。关于矩阵秩的问题,通常转化为矩阵是否可逆,线性方程组的解的情况等来解决。 所谓矩阵的行秩就是指矩阵的行向量组的秩，矩阵的列秩就是矩阵的列向量组的秩，由于矩阵的行秩与列秩相等，故统称为矩阵的秩。向量组的秩就是向量组中极大线性无关组所含向量的个数。关键词：初等变换 向量组的秩 极大线性无关组 约定用E表示单位向量，A表示矩阵A的转置，r(A)表示矩阵A的秩。在涉及矩阵的秩时，以下几个简单的性质：（1） r(A)=r(A);（2） r(kA)= （3） 设A,B分别
2、为nm与ms矩阵，则 r(AB)minr(A),r(B),n,m,s(4) r(A)=n,当且仅当0(5) r=r(A)+r(B)r(6) r(A-B)r(A)+r(B)矩阵可以进行加法，数乘，乘法等运算，运算后的新矩阵的秩与原矩阵的秩有一定关系。定理1：设A,B为nn阶矩阵，则r(A+B)r(A)+r(B)证: 由初等变换可得即=由性质5可得r=r则有r(A)+r(B)r(A+B)定理2（sylverster公式）设A为sn阶矩阵，B为nm阶矩阵，则有r(A)+r(B)-nr(AB)证：由初等变换可得即则r=r 即r(A)+r(B)-nr(AB)推论(Frobenius公式) 设A为mn阶矩
3、阵，B为ns阶矩阵，C为st阶矩阵，则 r(AB)+r(BC)-r(B)r(ABC)证：设r(B)=r,存在n阶可逆矩阵P，s阶可逆矩阵Q，使 B=PQ=PQ 令M=P，N=Q则有B=MN根据定理2 r(AMNC)r(AM)+r(NC)-r(MN) r(AMN)+r(MNC)-r(MN) 即r(AB)+r(BC)-r(B)r(ABC)定理3 设A为nn矩阵，若A=E，那么有 r(A+E)+r(A-E)=n证：根据题意有（A+E）（A-E）=O令A+E=A，A-E=A，有AA=O由定理2可知 r(A)+r(A)n 即r(A+E)+r(A-E)n又根据性质6有r(A+E)+r(A-E)r(A+E)
4、-(A-E)=r(2E)=n故r(A+E)+r(A-E)=n推论 设A为nn矩阵且A=A，那么有 r(A)+r(A-E)=n 证：事实上，有=则有r=r 故有r(A)+r(A-E)=r(E)=n定理4 设A是sn实矩阵，有r(E-AA)-r(E-AA)=n-s证:要证r(E-AA)-r(E-AA)=n-s即只要证r(E-AA)+s=r(E-AA)+n由初等变换有即=故有r=r=n+r(E-AA)同理可证 r=s+r(E-AA)综上有 n+r(E-AA)=s+r(E-AA)定理5 设A,C均为mn矩阵，B,D均为ns矩阵，则有 r(AB-CD)r(A-C)+r(B-D)证：由分块矩阵的乘法得 =故r=r故r(A-C)+r(B-D)r(AB-CD) 参考文献【1】 刘红星.高等代数选讲【M】.北京：机械工业出版社，2009.【2】 钱吉林.高等代数题解精粹【M】.北京：中央民族大学出版社，2005.【3】 徐忡，等.高等代数考研教案【M】.陕西;西北工业大学出版社，2009.
