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1、第10章 离散小波变换的多分辨率分析在上一章，我们给出了连续小波变换的定义与性质，给出了在平面上离散栅格上小波变换的定义及与其有关的标架问题。在这两种情况下，时间仍是连续的。在实际应用中，特别是在计算机上实现小波变换时，信号总要取成离散的，因此，研究及都是离散值情况下的小波变换，进一步发展一套快速小波变换算法将更有意义。由Mallat和Meyer自80年代末期所创立的“多分辨率分析”技术87,88,8在这方面起到了关键的作用。该算法和多抽样率信号处理中的滤波器组及图像处理中的金字塔编码等算法34,33结合起来，构成了小波分析的重要工具。本章将详细讨论多分辨率分析的定义、算法及应用。10.1多分
2、辨率分析的引入10.1.1信号的分解近似现以信号的分解近似为例来说明多分辨率分析的基本概念。给定一个连续信号，我们可用不同的基函数并在不同的分辨率水平上对它作近似。如图10.1.1(a)所示，令 (10.1.1)显然，的整数位移相互之间是正交的，即 (10.1.2)这样，由的整数位移就构成了一组正交基。设空间由这一组正交基所构成，这样，在空间中的投影（记作）可表为： (10.1.3)式中,是基的权函数。如图10.1.1(b)所示，它可以看作是在中的近似。是离散序列，如图10.1.1(c)所示。令 (10.1.4)是由作二进制伸缩及整数位移所产生的函数系列，显然，对图10.1.1(a)的，和是正
3、交的。这一结论可证明如下：因为 令，则,再由（10.1.2）式，有 (10.1.5)于是结论得证。将作二倍的扩展后得，如图10.1.1(g)所示。由作整数倍位移所产生的函数组 当然也是两两正交的（对整数），它们也构成了一组正交基。我们称由这一组基形成的空间为，记信号在中的投影为，则 (10.1.6)式中为加权系数。如图10.1.1(h)所示。仍为离散序列，如图10.1.1(i)所示。若如此继续下去，在给定图10.1.1(a)的的基础上，我们可得到在不同尺度下通过作整数位移所得到一组组的正交基，它们所构成的空间是。用这样的正交基对作近似，就可得到在中的投影。由图10.1.1(a)和图10.1.1
4、(g)，我们不难发现： (10.1.7) 再比较该图的(b)和(h)，显然图(b)对的近似要优于图(h)对的近似，也即分辨率高。所以，用对作（10.1.3），或(10.1.6)式的近似，越小，近似的程度越好，也即分辨率越高。当时，中的每一个函数都变成无穷的窄，因此，有 (10.1.8)另一方面，若，那么中的每一个函数都变成无穷的宽，因此，时对的近似误差最大。按此思路及（10.1.7）式，我们可以想象，低分辨率的基函数完全可以由高一级分辨率的基函数所决定。从空间上来讲，低分辨率的空间应包含在高分辨率的空间中，即 (10.1.9)但是，毕竟不等于，也即比对近似的好，但二者之间肯定有误差。这一误差是
5、由和的宽度不同而产生的，因此，这一差别应是一些“细节”信号，我们记之为。这样，有 (10.1.10)该式的含义是：在高分辨率基函数所形成的空间中的近似等于它在低分辨率空间中的近似再加上某些细节。现在我们来寻找的表示方法。设有一基本函数，如图10.1.1(d)所示，即 (10.1.11)很明显，的整数位移也是正交的，即 (10.1.12)进一步，在不同尺度下的位移，即，也是正交的，即 (10.1.13)如图（j）所示。同时，和的整数位移之间也是正交的，即 (10.1.14)观察图(a)，(d)和(g)，不难发现，和之间有如下关系： (10.1.15a) 及 (10.1.15b)记张成的空间为，所
6、张成的空间为，依次类推，张成的空间为，记在空间中的投影为，在中的投影为，它们均可表为相应基函数的线性组合，即 (10.1.16) (10.1.17)式中,是,尺度下的加权系数，它们均是离散序列。,分别如图10.1.1(e)和(f)所示，,分别如图(k)和(l)所示。由图10.1.1不难发现，若将图(h)的和图(k)的相加，即得图(b)的，由空间表示，即是 (10.1.18)式中表示直和注1。这说明，是的正交外空间，并有，注2。我们把上述概念加以推广，显然有 图10.1.1 信号的近似 （10.1.19）并且 （10.1.20）这样，给定不同的分辨率水平，我们可得到在该分辨率水平上的近似和，由于
7、是低通信号，因此反映了的低通成份，我们称其为的“概貌”。由于是由边缘得到的离散序列，所以也应是在尺度下的概貌，或称离散近似。同理，由于是带通信号，因此反映的是的高频成份，或称为的“细节”，而是的离散细节。在以上的分析中，我们同时使用了两个函数，即和，并由它们的伸缩与移位形成了在不同尺度下的正交基。由后面的讨论可知，对作概貌近似的函数称为“尺度函数”，而对作细节近似的函数称为小波函数。读者不难发现，图10.1.1(d)中的即是我们在上一章提到的Haar小波。图(a)中的即是Haar小波在时的尺度函数。10.1.2树结构理想滤波器组我们在第七、八两章详细讨论了滤波器组的原理。一个离散时间信号经过一
8、个两通道滤波器组后，的输出为其低频部分，频带在；的输出为其高频部分，频带为。由于、输出后的信号频带均比的频带降低了一倍，因此，在和的输出后都各带一个二抽取环节，如图10.1.2所示。如果我们把的总频带定义为空间，经第一次分解后，被分成两个子空间，一个是低频段的，其频率范围为；另一个是高频段的，其频带在之间。显然，并且和是正交的，即二者的交集为空间（此亦是直和的定义）。按此思路，我们可在的输出后再接一个两通道分析滤波器组，这样就将空间进一步剖分，一个是高频段的空间，另一个是低频段的空间，如图10.1.2(a)和(b)所示。由上面的分解不难发现， ， (10.1.21a)及 (10.1.21b)或
9、 (10.1.21c)注1: ,是空间的子空间，若 ;，则称是和的直和。式中“”表示求和的交集，“”表示求和的并集；注2：，“”表示包含，即空间含空间。V2(0-/4)H1(z)2H0(z)2W2(/4-/2)H1(z)2H0(z)2x(n)W1(/2-)V1(0-/2)图10.1.2 基于滤波器组的频带剖分(a)滤波器组，(b)频带剖分现在我们来分析一下图10.1.2对信号分解的特点。1各带通空间和各低通空间的恒Q性先看带通空间。由图10.1.2(b)，的带宽为，中心频率为，其；的带宽为，中心频率在，所以其也是，同理，的均是；再看低通空间，很明显，的，的，的的也是2。2各级滤波器的一致性在图
10、10.1.2(a)中，我们将各级滤波器组的低通和高通滤波器都写成了和，这意味着各级滤波器组使用的是同一组滤波器，这一方面体现了树状滤波器组中各级滤波器的一致性，也深刻体现了上述空间剖分的特点，现对此作一简单的解释。假定对的抽样频率Hz，对，设其截止频率Hz，也即，或归一化频率；对第二级，由于前一级有一二抽取环节，致使变成了Hz，同时，由于第一级的输出使频带减少一半，故第二级低通滤波器的应改为Hz。但是，这时的仍为，即，依次类推，各级的、均保持不变。这样，只要设计出第一级的和，以后各级的滤波器均可采用它们。图8.1.1的M通道均匀滤波器组不适于多分辩率分析。这是因为它不是按照由大及小的逐级分解，因此不具备恒Q性，也不会满足（10.1.21）式。以上我们用两个实际的例子引入了多分辩分析的基本概念，以期读者对多分辩率分析有一个直观的理解。下面的内容将是更加深入具体的讨论。10.2多分辩率分析的定义Mallat给出了多分辩率分析的定义8：设是空间中的一系列闭合子空间，如果它们满足如下六个性质，则说，是一个多分辨率近似。这六个性质是：1，若则 (10.2.1)2，即 (10
