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1、学易金卷：2020-2021学年第一学期期中测试卷02高二数学本试卷由选择题、填空题和解答题三大题组成,共22题,满分150分。考试时间120分钟。注意事项：1答题前,考生务必将自己的学校、班级、姓名、考试号、考场号、座位号,用0.5毫米黑色墨水 签字笔填写在答题卷相对应的位置上,并认真核对；2答题必须用0.5毫米黑色墨水签字笔写在答题卷指定的位置上,不在答题区域内的参考答案一律无效, 不得用其他笔答题；3考生答题必须答在答题卷上,保持卷面清洁,不要折叠,不要弄破,答在试卷和草稿纸上一律无效。一、单选题（共8小题） 1.设ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且3acosC4csin
2、A,已知ABC的面积SbcsinA10,b4,则a的值为（）ABCD【解答】解：3acosC4csinA,3sinAcosC4sinCsinA,sinA0,3cosC4sinC,cosC,SbcsinA10,csinA5,3acosC4csinA20,a故选：B【知识点】正弦定理 2.在各项均为正数的等差数列an中,Sn为其前n项和,S714,则的最小值为（）A9BCD2【解答】解：由已知,得,即a1+a74,所以a2+a64,因为a20,a60,所以（a2+a6）（5+）当且仅当且S714,即a11,时,取得“”,此时t有最小值故选：B【知识点】数列与函数的综合 3.庄子天下篇中有一句话：“
3、一尺之棰,日取其半,万世不竭”如果经过n天,该木锤剩余的长度为an（尺）,则an与n的关系为（）AanBan1CanDan1【解答】解：依题意,解：由题意可得：第一次剩下尺,第二次剩下尺,第三次剩下尺,则第n天后“一尺之棰”剩余的长度为：尺,故选：A【知识点】数列的函数特性 4.已知正实数x,y满足x+y3,则的最小值（）A2B3C4D【解答】解：x+y3,x0,y0,（x+y）1,（）（x+y）（5+）（5+2）3,当且仅当x2y即x2,y1时“”成立,故选：B【知识点】基本不等式及其应用 5.已知x,y满足不等式组,则z|x+y1|的最小值为（）A2BCD1【解答】解：由x,y满足不等式组
4、,作出可行域如图,由可行域可知A（5,3）,B（2,0）,ux+y1的最大值为：7,最小值为：1,则z|x+y1|的最小值为：1故选：D【知识点】简单线性规划 6.已知数列an的前n项和为Sn,满足a11,（n2）,若,则m的最小值为（）A6B7C8D9【解答】解：由已知可得,（n2）,1+,解之得,或 7.5,故选：C【知识点】数列递推式 7.如图,在ABC中,点D在线段BC上,且BD3DC,则ABC的面积的最大值为（）AB4CD【解答】解：设BAD,则0BACBD3DC,SABDSABC,同理AB8sin（BAC）,SABC（其中tan）,0BAC,当2+时,sin（2+）max1,故选：
5、C【知识点】三角形中的几何计算 8.已知a,bR,a+b2则+的最大值为（）A1BCD2【解答】解：a,bR,a+b2则+,令tab1a（2a）1（a1）20,则,令42ts（s4）,即t,可得,由s+28,当且仅当s4,t22时上式取得等号,可得,则+的最大值为,故选：C【知识点】基本不等式及其应用 二、多选题（共4小题） 9.已知等比数列an的公比,等差数列bn的首项b112,若a9b9且a10b10,则以下结论正确的有（）Aa9a100Ba9a10Cb100Db9b10【解答】解：数列an是公比q为的等比数列,bn是首项为12,公差设为d的等差数列,则,a9a100,故A正确；a1正负不
6、确定,故B错误；a10正负不确定,由a10b10,不能求得b10的符号,故C错误；由a9b9且a10b10,则a1（）812+8d,a1（）912+9d,可得等差数列bn一定是递减数列,即d0,即有a9b9b10,故D正确故选：AD【知识点】等差数列与等比数列的综合 10.对于给定的实数a,关于实数x的一元二次不等式a（xa）（x+1）0的解集可能为（）AB（1,a）C（a,1）D（,1）（a,+）【解答】解：对于a（xa）（x+1）0,当a0时,ya（xa）（x+1）开口向上,与x轴的交点为a,1,故不等式的解集为x（,1,）（a,+）；当a0时,ya（xa）（x+1）开口向下,若a1,不等
7、式解集为；若1a0,不等式的解集为（1,a）,若a1,不等式的解集为（a,1）,综上,ABCD都成立,故选：ABCD【知识点】一元二次不等式及其应用 11.设数列an是等差数列,Sn是其前n项和,a10且S6S9,则（）Ad0Ba80CS7或S8为Sn的最大值DS5S6【解答】解：a10且S6S9,6a1+d9a1+d,化为：a1+7d0,可得a80,d0S7或S8为Sn的最大值,S5S6故选：BC【知识点】等差数列的前n项和、等差数列的性质 12.在RABC中,ABAC,BC4,在边AB,AC上分别取M,N两点,沿MN将AMN翻折,若顶点A正好可以落在边BC上,则AM的长可以为（）ABCD4
8、【解答】解：以A为坐标原点,AB,AC所在直线为x,y轴,建立直角坐标系,可得B（2,0）,C（0,2）,BC的方程为x+y20,设M（0,t）,（0t2）,MN的方程设为ykx+t（k0）,由A为A的对称点,可得OA的方程为yx,联立直线BC的方程,解得A（,）,由对称性可得AA的中点在直线MN上,可得k+t,解得t,由1k0,设m1k（m1）,可得（m+2）（2+2）42,当且仅当m,即k1时,上式取得等号,则t的最小值为42,且t的最大值为2,对照选项,可得ABD成立,C不成立故选：ABD【知识点】三角形中的几何计算 三、填空题（共4小题） 13.设an是公差不为零的等差数列,Sn为其前
9、n项和已知S1,S2,S4成等比数列,且a35,则数列an的通项公式为【解答】解：设等差数列an的公差为d（d0）,则S152d,S2103d,S4202d,因为,所以（103d）2（52d）（202d）,整理得5d210d0,d0,d2,ana3+（n3）d5+2（n3）2n1故参考答案为：an2n1【知识点】等差数列的前n项和 14.如图,一热气球在海拔60m的高度飞行,在空中A处测得前下方河流两侧河岸B,C的俯角分别为75,30,则河流的宽度BC等于【解答】解：在ABC中,由ACB30得AC120又BAC753045,ABC105,由正弦定理得BC,河流的宽度BC等于故参考答案为：【知识
10、点】三角形中的几何计算 15.若两个正实数x,y满足+1,且不等式x+m23m有解,则实数m的取值范围是【解答】解：正实数x,y满足+1,则x+（+）（x+）2+2+24,当且仅当y4x8,x+取得最小值4由x+m23m有解,可得m23m4,解得m4或m1故参考答案为：（,1）（4,+）【知识点】基本不等式及其应用 16.已知ABC的外接圆半径为1,AB2,点D在线段AB上,且CDAB,则ACD面积的最大值为【解答】解：ABC的外接圆半径为1,AB2,由正弦定理,有,sinC1,C,A,CDAB,AD2cos2A,CD2cosAsinA,sin2Acos2A2sinAcos3A,cos2A（2
11、cos2A6sin2A）,令tanAt,A,t（0,+）,令SACD0,则t,当t时,SACD0,当0t时,SACD0,又函数ytanA在上单调递增,根据复合函数的单调性知,当t,即,sinA,cosA时,故参考答案为：【知识点】正弦定理四、解答题（共6小题） 17.已知正实数x,y满足等式2x+5y20（1）求ulgx+lgy的最大值；（2）若不等式+4m恒成立,求实数m的取值范围【解答】解：（1）因为x0,y0,由基本不等式,得又因为2x+5y20,所以,xy10,当且仅当,即时,等号成立此时xy的最大值为10所以ulgx+lgylgxy1g101所以当x5,y2时,ulgx+lgy的最大
12、值为1；（2）因为x0,y0,所以,当且仅当,即时,等号成立所以的最小值为不等式恒成立,只要,解得所以m的取值范围是【知识点】基本不等式及其应用 18.如图,在ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且2acosCc2b（1）求角A的大小；（2）若,AC边上的中线BD的长为,求ABC的面积【解答】解：（1）由2acosCc2b,及正弦定理,得2sinAcosCsinC2sinB,即2sinAcosCsinC2sin（A+C）,整理得sinC2sinCcosA,因为sinC0,所以,又因为A（0,）,则,（2）由（1）知,又因为,所以,所以ACAB,设ADx,则AB2x,在ABD中应用余弦定理,得：BD2AB2+AD22ABADcosA,即7x27,解得x1,故ABC的面积【知识点】正弦定理、余弦定理 19.已知函数（1）用定义证明函数f（x）在R上是减函数；（2）探究是否存在实数a,使得函数f（x）为奇函数？若存在,求出a的值；若不存在,请说明理由；（3）若a1,解不等式f（t2+1）+f（2t4）0【解答】解：（1）证明：设x1x2,则：,x1x2,且,f（x1）f（x2）,f（x）在R上为减函数；（2）,要使f（x）为奇函数,则f（x）f（x
