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1、2022年高二数学下学期期末考试试题理(III)一、选择题:本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知随机变量,下列概率与相等的是( )A B C D2.设直线与曲线所围成的封闭图形的面积为,某同学给出了关于的以下五种表示:;,其中表示正确的序号是( )A B C D 3.已知复数,则( )A B C的实部为1 D为纯虚数 4.有一段“三段论”推理是这样的:对于定义域内可导函数,如果,那么在定义域内单调递增;因为函数满足在定义域内导数值恒正,所以,在定义域内单调递增.以上推理中( )A大前提错误 B小前提错误 C推理形式错误 D结论正
2、确5. 已知变量,之间的线性回归方程为,且变量,之间的一组相关数据如下表所示,则下列说法错误的是( )A变量,之间呈现负相关关系 B C可以预测,当时, D由表格数据知,该回归直线必过点 6.从中任取2个不同的数,在取到的2个数之和为偶数的条件下,取到的2个数均为奇数的概率为( )A B C D 7.在的展开式中,只有第7项的二项式系数最大,则展开式常数项是( )A B C D288. 已知结论:“在正中,若是边的中点,是的重心,则.”若把该结论推广到空间,则有结论:“在棱长都相等的四面体中,若的中心为,四面体内部一点到四面体的距离都相等,则( )A1 B2 C3 D4 9. 一个五位自然数,
3、当且仅当时称为“凸数”(如12543,34643等),则满足条件的五位自然数中“凸数”的个数为( )A81 B171 C231 D37110.已知为正实数,直线与曲线相切,则的最小值为( )A1 B C D 11.体育课的排球发球项目考试的规则是:每位学生最多可发球3次,一旦发球成功,则停止发球,否则一直发到3次为止.设某学生一次发球成功的概率为,发球次数为,若的数学期望,则的取值范围是( )A B C D 12.定义在区间上的函数使不等式恒成立,其中为的导数,则( )A B C D二、填空题(每题5分,满分20分,将答案填在答题纸上)13.古希腊数学家把数1,3,6,10,15,21,叫做三
4、角数,三角形数中蕴含一定的规律性,则第xx个三角数与第xx个三角数的差为 .14.同时抛掷5枚均匀的硬币160次,设5枚硬币正好出现1枚正面向上,4枚反面向上的次数为,则的数学期望是 .15.不定方程的非负整数解的个数为 .16.若函数的图象关于直线对称,则的最小值是 . 三、解答题 (本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.) 17.已知为实数,复数.(1)当为何值时,复数为纯虚数? (2)当时,复数在复平面内对应的点落在直线上,其中,求的最小值及取得最值时的、值.18.4月23日是“世界读书日”,某中学在此期间开展了一系列的读书教育活动,并用简单随机抽样方法抽取了
5、100名学生对其课外阅读时间进行调查,下面是根据调查结果绘制的学生日均课外阅读时间(单位:分钟)的频率分布直方图,若将日均课外阅读时间不低于60分钟的学生称为“读书迷”,低于60分钟的学生称为“非读书迷”.(1)求的值并估计该校3000名学生中读书迷大概有多少?(将频率视为概率)(2)根据已知条件完成下面的列联表,并判断是否有的把握认为“读书迷”与性别有关?非读书迷读书迷合计男15女45合计(3)根据(2)的结论,能否提出更好的调查方法来估计该地区的学生的阅读时间?说明理由.附:0.1000.0500.0250.0100.0012.7063.8415.0246.63510.82819.已知 (
6、1)求及;(2)试比较与的大小,并说明理由.20.某商场对某品牌电视机的日销售量(单位:台)进行最近100天的统计,统计结果如下:日销售量1234频数405频率(1)求出表中、的值; (2)试对以上表中的日销售量与频数的关系进行相关性检验,是否有把握认为与之间具有线性相关关系,请说明理由.若以上表频率作为概率,且每天的销售量相互独立,已知每台电视机的销售利润为200元,表示该品牌电视机两天销售利润的和(单位:元),求数学期望.参考公式:相关系数:参考数据:,其中为日销售量,是所对应的频数.相关性检验的临界值表小概率0.050.0110.9971.00020.9500.99030.8780.95
7、921.设函数.(1)若,函数有两个极值点,且,求实数的取值范围;(2)在(1)的条件下,证明:;(3)若对任意,都存在(为自然对数的底数),使得成立,求实数的取值范围.22.选修41:平面几何证明选讲如图,、切于、,为的割线.(1)求证:;(2)已知,求与的比值.23. 选修44:极坐标系与参数方程极坐标系与直角坐标系有相同的长度单位,以原点为极点,以轴正半轴为极轴.已知直线的参数方程为(为参数),曲线的极坐标方程为.(1)求的直角坐标方程;(2)设直线与曲线交于两点,求弦长.24.选修45:不等式选讲设不等式的解集为,.(1)证明:;(2)比较与的大小.高二理科数学试题答案 一、选择题:本
8、大题共12小题,每小题5分,共60分题号123456789101112答案ACDABDBCCDAB二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分13xx; 1425; 1591; 16 三、解答题:本大题共6个题,共70分17解:(1)令,则或又,所以18解:(1),所以.,将频率视概率,由此可以估计全校3000名学生中读书迷大概1200人(2)非读书迷读书迷合计男401555女202545合计6040100有的把握认为“读书迷”与性别有关.(3)由(2)的结论知,该地区“读书迷”与性别有关,从样本数据能看出该地区男生与女生为读书迷的比例差异明显,因此在调查时,先确定该地区的男女比例,再把学
9、生分成男、女两层并采用分层抽样方法比简单随机抽样方法更好.19解:(1)取,可得,对等式两边求导,得,取,则.(2)要比较与的大小,即比较:与的大小,当时,;当时,;当时,;当时,,猜想:当时,下面用数学归纳法证明:(i)当时,猜想成立,(ii)假设当,时结论成立,即,当时,而,故当时猜想也成立,综合,当时,;当时,;当时,;当时,.20解:(1)依题,.(2)由公式.由,可见没有把握认为与之间具有线性相关关系.令两天该商场销售该品牌电视机的台数为,则依题.而 的值可能为2,3,4,5,6,7,8.由题,.从而的分布列为2345678于是.这样数学期望(元).21解:(1)由已知,时,的定义域
10、为,求导得,有两个极值点,有两个不同的正根,故的判别式,即,且,所以的取值范围为.(2)由(1)得且,得,令,则,当时,在上市增函数,.(3)令,由于,所以为关于的递减的一次函数根据题意,对任意,都存在(为自然对数的底数),使得成立,则上有解,令,则只需存在使得即可,由于,令,在上单调递增,当,即时,在上是增函数,不符合题意;当,即时,(i)若,即时,在上恒成立,即恒成立,在上单调递减,存在使得,符合题意;(ii)若,即时,在上存在实数,使得,在上,恒成立,即恒成立,在上单调递减,存在使得符合题意.综上所述,当时,对任意,都存在(为自然对数的底数),使得成立.22解:(1)分别为的切线,由弦切角定理,得,又为与的公共角,同理,又,即(2)由圆的内接四边形的性质,得,由(1)得.23. (1)由,得,即曲线的直角坐标方程为.(2)将直线的方程化标准式(为参数),代入,并整理得,.所以.24.(1)证明:解不等式的集合,所以,两式相加得,即.(2),.