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1、复 数1复数的概念：（1）虚数单位i；（2）复数的代数形式z=a+bi，(a, bR)；（3）复数的实部、虚部、虚数与纯虚数。2复数集3复数a+bi(a, bR)由两部分组成，实数a与b分别称为复数a+bi的实部与虚部，1与i分别是实数单位和虚数单位，当b=0时，a+bi就是实数，当b0时，a+bi是虚数，其中a=0且b0时称为纯虚数。应特别注意，a=0仅是复数a+bi为纯虚数的必要条件，若a=b=0，则a+bi=0是实数。4复数的四则运算 若两个复数z1=a1+b1i，z2=a2+b2i，（1）加法：z1+z2=(a1+a2)+(b1+b2)i；（2）减法：z1z2=(a1a2)+(b1b2
2、)i；（3）乘法：z1z2=(a1a2b1b2)+(a1b2+a2b1)i；（4）除法：；（5）四则运算的交换率、结合率；分配率都适合于复数的情况。（6）特殊复数的运算：(n为整数)的周期性运算； (1i)2=2i； 若=-+i，则3=1，1+2=0.5共轭复数与复数的模（1）若z=a+bi，则，为实数，为纯虚数(b0).（2）复数z=a+bi的模|Z|=, 且=a2+b2.6.根据两个复数相等的定义，设a, b, c, dR，两个复数a+bi和c+di相等规定为a+bi=c+di. 由这个定义得到a+bi=0.两个复数不能比较大小，只能由定义判断它们相等或不相等。4复数a+bi的共轭复数是a
3、bi，若两复数是共轭复数，则它们所表示的点关于实轴对称。若b=0，则实数a与实数a共轭，表示点落在实轴上。5复数的加法、减法、乘法运算与实数的运算基本上没有区别，最主要的是在运算中将i2=1结合到实际运算过程中去。如(a+bi)(abi)= a2+b26复数的除法是复数乘法的逆运算将满足(c+di)(x+yi)=a+bi (c+bi0)的复数x+yi叫做复数a+bi除以复数c+di的商。由于两个共轭复数的积是实数，因此复数的除法可以通过将分母实化得到，即.7复数a+bi的模的几何意义是指表示复数a+bi的点到原点的距离。（二）典型例题讲解1复数的概念例1实数m取什么数值时，复数z=m+1+(m
4、1)i是（1）实数？（2）虚数？（3）纯虚数？（4）对应的点Z在第三象限？解：复数z=m+1+(m1)i中，因为mR，所以m+1，m1都是实数，它们分别是z的实部和虚部， （1）m=1时，z是实数； （2）m1时，z是虚数；（3）当时，即m=1时，z是纯虚数；（4）当时，即m1时，z对应的点Z在第三象限。例2已知(2x1)+i=y(3y)i，其中x, yR，求x, y.解：根据复数相等的意义，得方程组，得x=, y=4.例4当m为何实数时，复数z+(m2+3m10)i；（1）是实数；（2）是虚数；（3）是纯虚数 解：此题主要考查复数的有关概念及方程（组）的解法 （1）z为实数，则虚部m2+3m
5、10=0，即，解得m=2， m=2时，z为实数。（2）z为虚数，则虚部m2+3m100，即，解得m2且m5. 当m2且m5时，z为虚数，解得m=, 当m=时，z为纯虚数 诠释：本题应抓住复数分别为实数、虚数、纯虚数时相应必须具备的条件，还应特别注意分母不为零这一要求例5计算：ii2i3+i2005. 解：此题主要考查in的周期性ii2i3+i2005=(i+i2+i3+i4)+(i2001+i2002+ i2003i2004)i2005 =(i1i+1)+ (i1i+1)+(i1i+1)+i 000+ii.或者可利用等比数列的求和公式来求解（略） 诠释：本题应抓住in的周期及合理分组例8使不等
6、式m2(m23m)i(m24m3)i10成立的实数m .解：此题主要考查复数能比较大小的条件及方程组和不等式的解法 m2(m23m)i(m24m3)i10, 且虚数不能比较大小，解得， m=3.当m3时，原不等式成立诠释：本题应抓住复数能比较大小时必须都为实数这一条件。例9已知z=xyi(x，yR)，且 ，求z解：本题主要考查复数相等的充要条件及指数方程，对数方程的解法，解得或, z2i或z12i诠释：本题应抓住复数相等的充要条件这一关键，正确、熟练地解方程（指数，对数方程）例10已知x为纯虚数，y是实数，且2x1iy(3y)i，求x、y的值解：本题主要考查复数的有关概念，实数与i的运算，复数
7、相等的充要条件，方程组的解法设xti (tR，且t0），则2x1iy(3y)i可化为2ti1iy(3y)i，即(2t1)i1=y(3y)i，, y=1, t=, x=i.2复数的四则运算例1计算：（1），nN+； （2）若=+i，3=1，计算；（3）；（4）S=1+2i+3i2+4i3+100i99.解：（1）= =.（2）= =2.（3）由于, ,= =8.（4）S=1+2i+3i2+4i3+100i99=(1+2i+3i2+4i3)+(5i4+6i5+7i6+8i7)+(97i96+98i97+99i98+100i99)=(1+2i34i)+(5+6i78i)+(97+98i99100i)
8、=25(22i)=5050i.例2已知复数z满足|z2|=2，z+R，求z.解：设z=x+yi, x, yR，则z+=z+， z+R，=0， 又|z2|=2, (x2)2+y2=4,联立解得，当y=0时, x=4或x=0 (舍去x=0, 因此时z=0)，当y0时, , z=1, 综上所得 z1=4，z2=1+i，z3=1i.例3设z为虚数，求证：z+为实数的充要条件是|z|=1.证明：设z=a+bi (a, bR，b0)，于是z+=(a+bi)+,所以b0, (z+)Rb=0a2+b2=1|z|=1.例4复数z满足(z+1)(+1)=|2，且为纯虚数，求z.解：设z=x+yi (x, yR)，
9、则(z+1)(+1)=|2+z+1=|2， z+1=0，z+=1，x=.=为纯虚数， x2+y21=0, y=, z=+i或z=i.例5复数z满足(1+2i)z+(310i)=434i，求z.解：设z=x+yi (x, yR)，则(1+2i)(x+yi)+(310i)(xyi) =434i，整理得(4x12y)(8x+2y)i=434i., 解得, z=4+i.例6设z是虚数，=z+是实数，且12，（1）求|z|的值及z的实部的取值范围；（2）设u=，求证u为 纯虚数；（3）求u2的最小值。解：（1）设z=a+bi (a, bR, b0)，则=，由于是实数且b0， a2+b2=1，即|z|=1，由=2a, 10，则u2223=1，当a+1=, 即a=0时，上式取等号，所以u2的最小值为1.例7证明：1 解：此题考查复数的运算、模的定义，共轭复数的性质等 设zabi，(a, bR)，则=. 解2：，=.内容总结（1）复 数1复数的概念：（1）虚数单位i（2）+i2005=(i+i2+i3+i4)+（3）（4）S=1+2i+3i2+4i3+
