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1、第七章直线和圆的方程考纲要求：1. 理解直线的倾斜角和斜率的概念.2. 掌握过两点的直线的斜率公式，掌握直线方程的点斜式、斜截式、两点式、截距 式和一般式，并能根据条件熟练地求出方程3. 掌握直线平行与垂直的条件，两直线所成的角和点到直线的距离公式，并能根据两直线的方程判断两直线的位置关系.掌握解决关于点对称和关于直线对称问题的方法.4. 了解用二元一次不等式表示区域，了解线性规划的意义，并会简单的应用.5. 掌握圆的标准方程和一般方程，了解参数方程的概念，理解圆的参数方程.能根据 点到直线的距离公式判定直线与圆的位置关系，解决求圆的切线和弦长等问题.第一节直线的方程1. 直线的倾斜角在平面直
2、角坐标系中，对于一条与X轴相交的直线，如果把x轴 绕着交点逆时针方向旋转到和直线重合时所转的最小正角记为二，那么叫做直线的倾斜角.当直线和X轴平行或重合时，直线的倾 斜角为0 .直线倾斜角的取值范围是0 ,180 ).2. 直线的斜率(1) 倾斜角不是90的直线，的倾斜角的正切，做这条直线的倾 率，用k表示,k =ta=90 ).斜角是90的直线没有斜率.过Pg yJ,P2(X2, y2)两点的直线的斜率k二 一 y1 (花=x?). x2 _捲3. 直线的方向向量和法向量(1) 方向向量：与直线平行的向量叫做直线的方向向量.设F1(xyj F2(X2，y2)是直线上不同的两点，则向量F1F2
3、二区-疋以- yj是直线 的一个方向向量；向量 一1 F1 F2 = (1, ) = (1, k)(x. x2)也是直线的一个方向向 x2 羽x2 _捲量.法向量:与直线垂直的向量叫做直线的法向量.4. 直线方程的五种形式(1) 直线方程的点斜式： 经过一点卩仪。),且斜率是k的直线的方程是y - y = k(x -x),这个方程叫做 直线方程的点斜式.y轴和与y轴平行的直线，没有点斜式方程. 特别地:y轴的方程是x =0,与y轴平行的直线方程是x = a;x轴的方程是y=0,与x轴平行的直线方程是y = b(2) 直线的截距：如果直线与x轴相交，且交点的坐标是A(a,0),那么a叫做直线在x
4、轴上的截距；如 果直线与y轴相交，且交点的坐标是B(O,b),那么b叫做直线在y轴上的截距.(3) 直线的方程的截距式： 如果直线的斜率是k，并且直线在y轴上的截距是b，那么直线的方程是y = kx b , 这个方程叫做直线方程的斜截式.y轴和与y轴平行的直线,没有斜截式方程. 过点A(a,O)的直线的方程可以写成my a (该方程可以表示倾斜角为90的直线).(4) 直线方程的两点式： 如果直线经过两点P1(x1, y1), P2(x2, y2) (x-= x2, y-= y2),那么直线的方程是丄乂二 L，这个方程叫做直线方程的两点式.与坐标轴平行的直线没有两点式方 y2 -yiX2 -X
5、i程. 经过两点 R(xi, yi), P2(X2, y2)的直线的方程是(y - yj% -xj =(x -xj(y2 - %),如果XiX2,那么该直线的方程是x = Xi，如果yi二y2，则该直线的方程是y = yi.(5) 直线方程的截距式：如果直线在x轴上的截距是a ,在y轴上的截距是b，那么直线的方程是-=i,a b 这个方程叫做直线方程的截距式.与坐标轴平行或经过坐标原点的直线没有截距式方 程.(6) 直线方程的一般式： 以上各种形式的方程，通过方程的恒等变形，总可以下成形如Ax By0 .这个方程叫做直线的一般式方程. 已知直线的一般式方程是 Ax By 0，可以求出该直线的相
6、关特征数值.AI .直线的斜率k ;BII .直线在x上的截距是a二-C(A = 0),直线在y上的截距是b =-C(B = 0);AB直线的一个法向量是n =(A,B),直线的一个方向向量是a=(-B,A).例1已知向量n =(-2,3)，直线I过点A(3,-1)且与向量n垂直，则直线I的方程为()A.3x 2y-7 = 0 B.3x-2y-11=0C.2x 3y-3 = 0 D.2x-3y-9=0例2已知直线l经过A(2,1),B(1,m2)(m R)两点，那么直线I的倾角的取值范围是() jit jijijijir jiA.(0,二)B.0,(,二)C.0-D.,)(，二)424422例
7、3求适合下列条件的直线方程.(1) 经过点P(3,2),且在两坐标轴上的截距相等；经过点A(-1, -3)，倾斜角等于直线y二3x的倾角的两倍.【解】(1)设线在两坐标轴上的截距为a.当a = 0时,直线过原点,可设其方程为y二kx,将点P(3,2)代入解得k =-,所以3所求直线的方程为y = 2 x3当a = 0时，则其方程可设为-=1,将点P(3,2)代入解得a二5,代入整理得直 a a线的一般式方程为x *5=0(2) 设直线y =3x的倾斜角为:,则所求直线的倾斜角为2.丄 c 2tan 口 2X33tan 221 -tan a 1-94所以所求直线的点斜式方程为y= -2x - 1
8、)，即 3x 4y 10.4例4过点P(2,1)作直线I交x轴，y轴的正半轴于A, B两点,0为原点求(1) 当=AOB面积最小时的直线I的方程；当| OA | |OB |最小时的直线I的方程；(3) 当| PA | | PB |最小时的直线l的方程.【解】(1)设直线在x轴,y轴上的截距分别是a,b,则该直线的方程为-=1,又直线过P(2,1)所以有-1 = 1，又 a 0,b0,a ba b所以1_2. 2 ,ab_8,当且仅当2 =丄=丄时,即a =4,b = 2时取“=”.a b V aba b 2111.S AOB |OA|OB| ab ab 一 4，即当 a=4,b=2 时，：AO
9、B 面积最小，此2 22时直线的方程是x =1.422 1 因为一 一 =1且a 0,b0 .a b所以 |OA| |OBa (a b) (2 丄)=3 一_6、.2 ,当且仅当 =-,即a ba ba 2b，将其代入到 2 1 =1,解得 b ：；2 1,a = 2 2 .a b此时直线的方程为 xy=1.2+J2 12+1(3)如图，令.BAO =，则 | PA |cos 二 a - 2,1 2 | PA|，同理 |PB|.si n。cosa4I PA | |PB |.sin 2a所以，当时，|PA|PB|最小，此时I的方程为x，y-3=0.4课后练习二十八1. xtany =0的倾斜角是
10、()75 二6：A.B. C.D.77772. 下列命题正确的一个是()A. 过定点P(xo,y)的直线可以用方程y - y =k(x-x)表示B. 经过任意两个不同的两点(x1,y1),P2(x2, y2)的直线都可以用方程(y yi)(X2 Xj (x Xj(y2 yj =0 表示.C. 不经过原点的直线都可以用方程 -=1表示a bD. 经过定点A(0,b)的直线都可以用y二kx b表示3. 过点(-1,1)和(0,3)的直线在x轴上的截距为()3 3A.B.C. 3D.-32 _ 24. 若直线丨：y二kx - 3与直线2x 3y - 6 = 0的交点位于第一象限，则直线I的倾斜角的
11、取值范围是()nJin nn nirnA. , ) B. ( , ) C. ( , ) D.,636 23 262，则直线I的方程是(5. 直线I经过点P(2,3)，且与两坐标轴围成一个等腰直角三角形A. x - y 1=0C.x-y 1=0 或 x y-5=0D. x - y -1 = 06. 设直线ax by c =0的倾角为-：,且si，cos二0,则a,b满足()A. a b = 1B.a-b=1C. a b = 0D.a-b = 07. 直线(2m2-5m 2)x-(m2 -4)y 5m = 0的倾斜角是一，则m的值是()4A.1B. 2C. 3D. 2或38. 直线xcos + V
12、3y+2 = 0的倾斜角的取值范围是 .9. 已知直线I经过点(2,3),它的一个方向向量是 并=(4-3),则该直线的方程是 .10. 求经过点(2,-1)，倾为角为直线4x 3y *4=0的倾斜角的一半的直线方程.第二节两条直线的位置关系1. 两条直线的平行的判定如果直线h,l2的方程为l：y = k1xb1, l2：y=k2Xb2则IJ/Jukk2且bi =b2；如果 Ii,l2 的方程为 li : AiX Biy Ci =0 , I2 : A2X B?y C2 =0 , (A2B2C2 = 0), 则 li/* 二虫二邑= C1.A2b2 C22. 两直线垂直的判定(1) 如果直线 l
13、i,l2 的方程为 IrykjX b，l2：y=k2x b2 则 hu kik - i;(2) 女口 果 li,l2 的 方程为 li : Aix Biy C0 ， l2 : A2x B2y C 0 ,则11 _ l 2 = Ai A2Bi B2 二 0 .重要提示解析几何中，两条直线的位置关系有平行，相交,重合三种，判定两条 直线平行或重合时，要注意斜率不存在这种特殊的情况.3. 两直线的交点(i)两条不平行的直线li,l2的方程为li : Aix Biy C0，l2 ： A2X B2y C0 ,AtX 亠 Bw 亠 G = 0那么它们的交点的坐标是方程组i iy i 的解.Ax + B2y
14、 + C2 = 0 经过两直线li : Aix Biy C0，l2： A2X B2y C0的交点的直线的方程可以写成AixBiyC (A2XB?yC2)= 0 (其中不包括J )反之方程AiXBiyC(A2X- B?yC20表求的直线一定过两直线li :AiXBiyC 0，12 : A2X B2y C2 =0 的交点.4. 两条直线所成的角(1) 到角的定义：两条直线li和l2,我们把直线li按逆时针方向旋转到与l2重合时所 转的最小正角,叫做li到l2的角,到角的取值范围是(0 ,i80 ).(2) 如果两直线li和J的斜率分别是ki,k2 , li到l2的角为,则 k ktan 2- (kik :-i),当 kik -i 时，二 90 .i kik2(3) 夹角的定义：两条相交直线所成的锐角和直角，叫做这两条直线所成的角.如k k果两直线li和l2的斜率分别是ki,k2, li与l2的夹角为，则tan :一一 丄|(kik -i), i + kik2当 kik2 二-i 时，=90 .5. 点到直线的距离公式(i)点 P(x0,y。)到直线 l : Ax+By+C =0 的距离为 d= 1
