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1、第 20 讲 正交变换与内积1.2.3.设A是Euclid空间v的线性变换，则A是正交变换o A保持内积不变o A 保持向量长度不变o A将标准正交基变到标准正交基o A在标准正交基的矩阵为正交 阵。正交变换A保持向量夹角不变v) /R)(A(a) A(P) )(a,P)=arccos( )= arccos=a,卩I A (a)l I A (P)II a II P I设A是 Euclid 空间 V 的变换，V a,pwV, (A(a),B(p)= (a,P),则A是V 的正 交变换Proof:只须证明A是V的线性变换，V a,pw V,有(A (a+ p) A ( J A( p,A ( a )
2、PA( )aA ( )P=(A (a + P ), A (a + P )- (A (a ), A (a + P )- (A (a ), A (a + P )-(A (a + P),A (a)+(A (a), A (a)+(A(P),A (a)-(A (a + P ),A(P)+(A (a), A(P)+(A(P), A(P)=(a + P, a + P ) - (a, a + P ) - (P, a + P ) - (a + P ,a )+ (a, a )+ (P, a ) -(a+P,P)+(a,P)+(P,P)=0则 A(a +P) A(a) A(P)=0VKe r, Vaw v有(A (
3、ka)-k A (a), A (ka) k A (a)=(A(ka), A( ka) + k(A(a), (A ka)-(k(Ak)a(, A)a)+2(k()Aa(,)Aa=(ka, ka) - Kg k& _ (k 絆)a+ 2 (k q) a= 0则A(ka)-kA(a)= 0，则a是v的线性变换，从而A是正交变换。 注：将上述的* a,匪V, (A (a),A (卩)=(a,卩)改成Vae V, (A (a), A (a)=(a, a)，则a不一定是正交变换.4.设A是Euclid空间v的线性变换，如果Vaw V，IA (a)| = |a|，则a不是V 的正交变换。Solution:任
4、取aw V, a* 0,定义V中的变换A为： A-aACaXaV3*x,A3=p则A保持v中向量长度不变，但取V, p * a,-a,0,2a，则 Ap = p, Wa +P = a有A (a + P )=a+P，而Aa +aB - + P * a + P = A (a + p)故A不是V的线性变换。5.设A是Euclid空间v的一个满射变换，Vaw V,都有|A (a)| = |a|则刃是v的线性变换，从而刃是正交变换。 proq/?读者自证。6设A是n维Euclid空间R n变换，如果A保持向量的距离不变，且将零向量变成零 向量,则 A 是正交变换。矽oq/?因A保持向量间的距离不变，且将
5、零向量变成零向量，则对n维Euclid空间R n中 任意两个向量a，卩，|Aa A卩| = |a 卩I，即CAa aB，Aa AP)=(a -卩， a -卩)于是(Aa, Aa)2(Aa, aB)+ (aP，aB)= (a, a)-2(a,P)+(P,P).即(Aa, aB)= (a,B).下证A是Rn的线性变换，设a a .,a是Rn是标准正交基，由于A不改变1， 2，n1，i=j0，i*j向量内积，Ga, Aa)=(aa)=i ji， j于是Aa, Aa，,Aa 是Rn的标准正交基，设Va, P，y e Rn, Vk , k e R.1 2 n 1 2则(A(k a+k P), A/)=
6、(k a+k P，y)=k (a, y)+k (P +丫)1 2 1 2 1 2=k (Aa, AY)+k (AP，Ay)12=(k Aa+k AP，Ay).12取3 =A(ka +k P)k Aa-k AB，则(& Ay)=01 2 1 2设3 =b Aa +b Aa +.+b Aa ,分别取y =a, i=l,2, .,n,则有1122n ni(3, Ay )=0.由此可得b =01 i n.即3 =0.于是A (k a, k B )il 2=k Aa +k AB，即A是线性变换，故A是正交变换.12注,条件“ A 将零向量变成零向量”不能取掉,否则结论不成立.7. 设A是n维Euclid
7、空间，向量a , a , B , B w V满足1212|a |=| B |，|a |=| B |， =,则存在正交变换使得1 1 2 2 1 2 1 2Aa =B ， Aa =B .1 1 2 2Proof.读者自己证明.8. 设A是n维Euclid空间V的线性变换，如果A满足下列三条件中的任意两 个，则它必满足第三个：(i) A是正交变换.(ii) A是对称变换.Gii) A2=是单 位变换.Proof.(i),(ii) n (iii). Vg w V，则(A2-, A2-)=(A2g，A2g)-2(A2g,g)+(g,g).又 A 是正交变换，则(A2g，A2g )= (Ag，Ag)= (g，g).又 A 是对称变换，则 (A2g， g )=(Ag， Ag )=(g， g ).则(A2g -g, A2g-g)二 0,即A2g -g =0或A2g =g，贝Ua2=s .(ii),(iii)n(i), vg,n wv，由a是对称变换，贝U(Ag, n)= (g，An)又a满足A2=e，则a2g=g，从而(Ag，An)= a2q)= (g, n)，故a是正交变 换(i),(iii)n(ii), vg, n w v，又a 是正交变换(Ag, An)=(g，n),又a 满足a2=e, 则a2g=g,从而(Ag, n)= (Ag, a2n)= (g，An),故a 是对称变换.
