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1、 20xx艺体生文化课-百日突围系列专题7 三角函数同角三角函数的基本关系诱导公式【背一背基础知识】1. 掌握同角三角函数的基本关系式：,. 2. 诱导公式诱导公式一：，其中诱导公式二： ； ，诱导公式三： ； ，诱导公式四：； ，诱导公式五：； ，诱导公式六：； ，诱导公式七：； ，记忆方法：可用十个字概括为“奇变偶不变，符号看象限”，要把角化成形式为（为常整数）；奇变偶不变是指：当为偶数时，三角函数名称不变，即前面若是正弦，后面也是正弦，名称不变，当为偶数时，三角函数名称变，即前面若是正弦，后面也是余弦，名称变；符号看象限是指：把看成锐角时，为第几象限角，由原三角函数在各象限符号决定正负号
2、，具体一二象限正弦为正，一四象限余弦为正，一三象限正切为正，其它为负【讲一讲基本技能】1.必备技能：（1）同角三角函数的基本关系式包括:(1)平方关系,(2)商数关系. 解题时常用的变形措施有：大角化小，切割化弦等，应用 “弦化切”的技巧，即分子、分母同除以一个不为零的，得到一个只含的教简单的三角函数式。需注意的是:这是一组同角关系式,利用平方关系式进行开方运算时,需注意运算结果的正负符号,计算中应尽可能少用平方关系式.（2） 正、余弦三兄妹“、”的应用与通过平方关系联系到一起，即，即（根据判断正负）；因此在解题中若发现题设条件有三者之一，就可以利用上述关系求出或转化为另外两个.应用同角关系式
3、的两点技巧:(1)1的代换: ,(2)整体代换:为了计算或化简需要可将计算式作适当变形,使得所给条件可整体代入.（3）如何利用“切弦互化”技巧（1）弦化切：把正弦、余弦化成切得结构形式，这样减少了变量，统一为“切”得表达式，进行求值. 常见的结构有: 的二次齐次式（如）的问题常采用“”代换法求解；的齐次分式（如）的问题常采用分式的基本性质进行变形 （2）切化弦：利用公式，把式子中的切化成弦.一般单独出现正切、余切的时候，采用此技巧.温馨提示：（1）求同角三角函数有知一求三规律，可以利用公式求解，最好的方法是利用画直角三角形速解。（2）利用平方关系求三角函数值时，注意开方时要结合角的范围正确取舍
4、“”号。的求值技巧：当已知，时，利用和、差角的三角函数公式展开后都含有或，这两个公式中的其中一个平方后即可求出，根据同角三角函数的平方关系，即可求出另外一个，这两个联立即可求出的值或者把、与联立，通过解方程组的方法也可以求出的值（4）应用诱导公式的重点是对函数名称与正负号的正确判断, 关键抓住题中的整数是表示的整数倍，所以做题时须把分成奇数和偶数两种类型，分别加以讨论。给角求值问题，利用诱导公式找到给定角和常见特殊角的联系求出值常用结论：；i. 利用诱导公式求值给角求值的原则和步骤(1)原则：负化正、大化小、化到锐角为终了.(2)步骤：利用诱导公式可以把任意角的三角函数转化为之间角的三角函数，
5、然后求值，其步骤为：给值求值的原则:寻求所求角与已知角之间的联系，通过相加或相减建立联系，若出现的倍数，则通过诱导公式建立两者之间的联系,然后求解.常见的互余与互补关系(1)常见的互余关系有：与；与；与等. (2)常见的互补关系有： 与;与等.遇到此类问题，不妨考虑两个角的和，要善于利用角的变换的思想方法解决问题.ii. 利用诱导公式化简、证明利用诱导公式化简三角函数的原则和要求(1)原则：遵循诱导公式先行的原则，即先用诱导公式化简变形，达到角的统一，再进行三角函数名称转化，以保证三角函数名称最少.(2)要求：化简过程是恒等变形；结果要求项数尽可能少，次数尽可能低，结构尽可能简单，能求值的要求
6、出值.iii.证明三角恒等式的主要思路(1)由繁到简法：由较繁的一边向简单一边化简.(2)左右归一法：使两端化异为同，把左右式都化为第三个式子.(3)转化化归法：先将要证明的结论恒等变形，再证明.提醒：由终边相同的角的关系可知，在计算含有的整数倍的三角函数式中可直接将的整数倍去掉后再进行运算，如.2.典型例题：例1已知，且为第四象限的角，则= 【答案】分析：已知等式利用诱导公式化简求出的值，根据为第四象限角，利用同角三角函数间的基本关系求出的值，所求式子利用诱导公式化简后将的值代入计算尽快求出值此题考查了运用诱导公式化简求值，熟练掌握诱导公式是解本题的关键【解析】例2若，且为第四象限角，则的值
7、等于（ ）A B C D 【答案】D【解析】由，且为第四象限角，则，则，故选D【考点定位】同角三角函数基本关系式【名师点睛】本题考查同角三角函数基本关系式，在、三个值之间，知其中的一个可以求剩余两个，但是要注意判断角的象限，从而决定正负符号的取舍，属于基础题【练一练趁热打铁】1. 已知，则 .【答案】【解析】.2. 已知sin2cos0，则2sincoscos2的值是_.【答案】1【解析】【考点定位】本意考查同角三角函数关系式、三角函数恒等变形等基础知识，考查综合处理问题的能力.【名师点睛】同角三角函数(特别是正余弦函数)求值问题的通常解法是：结合sin2cos21，解出sin与cos的值，然
8、后代入计算，但这种方法往往比较麻烦，而且涉及符号的讨论.利用整体代换思想，先求出tan的值，对所求式除以sin2cos2(1)是此类题的常见变换技巧，通常称为“齐次式方法”，转化为tan的一元表达式，可以避免诸多繁琐的运算.属于中档题. 三角函数的图象与变换【背一背基础知识】1.三角函数线三角函数线是通过有向线段直观地表示出角的各种三角函数值的一种图示方法。利用三角函数线在解决比较三角函数值大小、解三角方程及三角不等式等问题时，十分方便。以坐标原点为圆心，以单位长度1为半径画一个圆，这个圆就叫做单位圆（注意：这个单位长度不一定就是1厘米或1米）。当角为第一象限角时，则其终边与单位圆必有一个交点
9、，过点作轴交轴于点，根据三角函数的定义：；。Oxya角的终边PTMA我们知道，指标坐标系内点的坐标与坐标轴的方向有关.当角的终边不在坐标轴时,以为始点、为终点，规定：当线段与轴同向时，的方向为正向，且有正值；当线段与轴反向时，的方向为负向，且有正值；其中为点的横坐标.这样,无论那种情况都有：同理,当角的终边不在轴上时,以为始点、为终点，规定：当线段与轴同向时，的方向为正向，且有正值；当线段与轴反向时，的方向为负向，且有正值；其中为点的横坐标.这样,无论那种情况都有。像这种被看作带有方向的线段，叫做有向线段.如上图,过点作单位圆的切线,这条切线必然平行于轴,设它与的终边交于点,请根据正切函数的定
10、义与相似三角形的知识,借助有向线段,我们有：我们把这三条与单位圆有关的有向线段,分别叫做角的正弦线、余弦线、正切线，统称为三角函数线。2.正弦函数，余弦函数，正切函数的图象与性质性质图象定义域值域最值当时，；当时，当时，；当时，既无最大值，也无最小值周期性奇偶性奇函数偶函数奇函数单调性在上是增函数；在上是减函数在上是增函数；在上是减函数在上是增函数对称性对称中心对称轴，既是中心对称又是轴对称图形.对称中心对称轴，既是中心对称又是轴对称图形.对称中心无对称轴，是中心对称但不是轴对称图形.2函数的问题：(1)“五点法”画图：分别令，求出五个特殊点； () 由的图象变换出的图象一般有两个途径，只有区
11、别开这两个途径，才能灵活进行图象变换。i.函数图像的变换（平移变换和上下变换）平移变换：左加右减，上加下减把函数向左平移个单位，得到函数的图像;把函数向右平移个单位，得到函数的图像;把函数向上平移个单位，得到函数的图像;把函数向下平移个单位，得到函数的图像.伸缩变换:把函数图像的纵坐标不变,横坐标伸长到原来的，得到函数的图像;把函数图像的纵坐标不变,横坐标缩短到原来的，得到函数的图像;把函数图像的横坐标不变,纵坐标伸长到原来的，得到函数的图像;把函数图像的横坐标不变,纵坐标缩短到原来的，得到函数的图像.ii.由的图象变换出的图象一般有两个途径，只有区别开这两个途径，才能灵活进行图象变换。利用图
12、象的变换作图象时，提倡先平移后伸缩，但先伸缩后平移也经常出现无论哪种变形，请切记每一个变换总是对字母x而言，即图象变换要看“变量”起多大变化，而不是“角变化”多少。途径一：先平移变换再周期变换(伸缩变换)先将的图象向左或向右平移个单位，再将图象上各点的再将图象上各点的纵坐标不变，横坐标变为原来的倍()，便得的图象途径二：先周期变换(伸缩变换)再平移变换：先将的图象上各点的纵坐标不变，横坐标变为原来的倍()，再沿轴向左()或向右()平移个单位，便得的图象。注意：函数的图象，可以看作把曲线上所有点向左(当时)或向右(当时)平行移动个单位长度而得到。【讲一讲基本技能】1.必备技能：利用图象的变换作图
13、象时，提倡先平移后伸缩，但先伸缩后平移也经常出现无论哪种变形，请切记每一个变换总是对字母言，即图象变换要看“变量”起多大变化，而不是“角变化”多少。研究类似于的性质时，一般是通过整体代换的方法，将其化归成的形式这样就可通过的性质来研究的性质对于和用同样的方法来处理，在进行三角函数图象的左右平移时应注意以下几点：一要弄清楚是平移哪个函数的图象，得到哪个函数的图象；二要注意平移前后两个函数的名称一致，若不一致，应先利用诱导公式化为同名函数；三是由的图象得到)的图象时，需平移的单位数应为而不是.2.典型例题：例1要得到函数 的图象，只需要将函数的图象（ ）（A）向左平移个单位 （B）向右平移个单位（
14、C）向左平移个单位 （D）向右平移个单位 【答案】【解析】【考点定位】三角函数图象的变换.【名师点睛】本题考查三角函数图象的变换，解答本题的关键，是明确平移的方向和单位数，这取决于加或减的数据.本题属于基础题，是教科书例题的简单改造，易错点在于平移的方向记混.例2已知是实数，则函数的图象不可能是 ( )分析：函数的图象是一个正弦曲线型的图，其振幅为，周期为，周期与振幅成反比，从这个方向观察四个图象由于函数的解析式中只含有一个参数，这个参数影响振幅和周期，故振幅与周期相互制约，这是本题的关键【答案】D【解析】对于振幅大于1时，三角函数的周期为，而D不符合要求，它的振幅大于1，但周期反而大于了答案：D【练一练趁热打铁】1. 将函数（）的图像分别向左平移（）个单位，向右平移（）个单位，所得到的两个图像都与函数的图像重合，则的最小值为（ ） A B C D【答案】C【解析】 2.如图，某港口一天6时到18时的谁深变化曲线近似满足函数y3sin(x)k，据此函数可知，这段时间水深(单位：m)的最大值为_.【答案】8【解析】
