《03第3章用概率分布描述随机变量》由会员分享，可在线阅读，更多相关《03第3章用概率分布描述随机变量（6页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、数学定律不能百分之百确切地用在 现实生活里；能百分之百确切地用 数学定律描述的，就不是现实生活 Alber Einstein 想过下面的问题吗？ 购买一张彩票中奖的可能性有多大？ 购买一只股票明天上涨的可能性有多大？ 你投资一个餐馆盈利的可能性有多大？ 一项工程按期完成的可能性有多大？ 明天降水的可能性有多大？ 第 3 章 用概率分布描述随机变量 3.1 度量事件发生的可能性 3.2 随机变量概率分布 3.3 由正态分布导出的几个重要分布 3.4 样本统计量的抽样分布 什么是概率？(probability) 概率是对事件发生的可能性大小的度量 你购买一只股票明天上涨的可能性有多大 明天降水的概
2、率是80%。这里的80%就是对降水这一事件发生的可能性大小的一种数值度量 一个介于0和1之间的一个值 事件A的概率记为P(A) 怎样获得概率？ 重复试验获得概率 当试验的次数很多时，概率P(A)可以由所观察到的事件A发生次数(频数)的比例来逼近 在相同条件下，重复进行n次试验，事件A发生了m次，则事件A发生的概率可以写为 理解概率 ?例如，投掷一枚硬币，出现正面和反面的频率， 随着投掷次数 n 的增大，出现正面和反面的频率 稳定在1/2左右 随机变量及其概括性度量 随机变量(random variables) 事先不知道会出现什么结果 投掷两枚硬币出现正面的数量 一座写字楼，每平方米的出租价
3、格 一个消费者对某一特定品牌饮料的偏好 一般用 X，Y，Z 来表示 根据取值情况的不同分为离散型随机变量和连续型随机变量 离散型随机变量(discrete random variables) 随机变量 X 取有限个值或所有取值都可以逐个列举出来 x1 , x2， 以确定的概率取这些不同的值 离散型随机变量的一些例子 连续型随机变量(continuous random variables) 可以取一个或多个区间中任何值 所有可能取值不可以逐个列举出来，而是取数轴上某一区间内的任意点 连续型随机变量的一些例子 离散型随机变量的期望值(expected value) 描述离散型随机变量取值的集中程度
4、 离散型随机变量X的所有可能取值xi与其取相对应的概率 pi 乘积之和 记为? 或E(X) 计算公式为 离散型随机变量的方差(variance) 随机变量X的每一个取值与期望值的离差平方和的数学期望，记为? 2 或D(X) 描述离散型随机变量取值的分散程度 计算公式为 方差的平方根称为标准差，记为? 或?D(X) 离散型数学期望和方差 (例题分析) 连续型随机变量的期望和方差 连续型随机变量的期望值 方差 离散型概率分布 离散型随机变量的概率分布 列出离散型随机变量X的所有可能取值及取这些值的概率 通常用下面的表格来表示 离散型随机变量的概率分布 (例题分析) 二项试验(伯努利试验) 二项分
5、布与伯努利试验有关 贝努里试验满足下列条件 一次试验只有两个可能结果，即“成功”和“失败” “成功”是指我们感兴趣的某种特征 一次试验“成功”的概率为p ，失败的概率为q =1- p，且概率p对每次试验都是相同的 试验是相互独立的，并可以重复进行n次 在n次试验中，“成功”的次数对应一个离散型随机变量X 二项分布(Binomial distribution) 重复进行 n 次试验，出现“成功”的次数的概率分布称为二项分布，记为XB(n，p) 设X为 n 次重复试验中出现成功的次数，X 取 x 的概率为 二项分布(期望值和方差) 期望值 ?=E(X) = np 方差 ? 2 =D(X) = np
6、q 二项分布 (例题分析) 二项分布 (用Excel计算概率) 第1步：进入Excel表格界面，将鼠标停留在某一空白单元格 第2步：在Excel工作表中，直接点击【fx】(粘贴函数)命令 第3步：在复选框“函数分类”中点击【统计】选项，在“函数名 ”中点击【BINOMDIST】选项，然后确定 第4步：在【Number_s】后填入试验成功次数(本例为1) 在【Trials】后填入总试验次数(本例为5) 在【Probability_s】后填入试验的成功概率(本例为 0.04) 在【Cumulative】后填入0(或FALSE)，表示 计算成功次数恰好等于指定数值的概率(填入1或 TRUE表示计算成
7、功次数小于或等于指定数值的累积 概率值) 泊松分布(Poisson distribution) 1837年法国数学家泊松(D.Poisson，17811840)首次提出 用于描述在一指定时间范围内或在一定的长度、面积、体积之内每一事件出现次数的分布 泊松分布的例子 一定时间段内，某航空公司接到的订票电话数 一定时间内，到车站等候公共汽车的人数 一定路段内，路面出现大损坏的次数 一定时间段内，放射性物质放射的粒子数 一匹布上发现的疵点个数 一定页数的书刊上出现的错别字个数 泊松分布(概率分布函数) ? 给定的时间间隔、长度、面 积、体积内“成功”的平均数 e = 2.71828 x 给定的时间间
8、隔、长度、面 积、体积内“成功”的次数 泊松分布(期望值和方差) 期望值 E ( X ) = ? 方差 D ( X ) = ? 泊松分布 (例题分析) 泊松分布 (用Excel计算概率) 第1步：进入Excel表格界面，将鼠标停留在某一空白单元格 第2步：在Excel表格界面中，直接点击【f(x)】命令 第3步：在复选框“函数分类”中点击【统计】选项，并在“函数 名”中点击【POISSON】选项，然后【确定】 第4步：在【X】后填入事件出现的次数(本例为6) 在【Means】后填入泊松分布的均值?(本例为7) 在【Cumulative】后填入0(或FALSE)，表示计算成 功次数恰好等于指定数
9、值的概率(填入1或TRUE表示 计算成功次数小于或等于指定数值的累积概率值) 超几何分布(hypergeometric distribution) 采用不重复抽样，各次试验并不独立，成功的概率也互不相等 总体元素的数目N很小，或样本容量n相对于N来说较大时，样本中“成功”的次数则服从超几何概率分布 概率分布函数为 超几何分布 (例题分析) 超几何分布 (用Excel计算概率) 第1步：进入Excel表格界面，将鼠标停留在某一空白单元格 第2步：在Excel工作表中，直接点击【f(x)】(插入函数)命令 第3步：在复选框“函数分类”中点击【统计】选项，并在“函数 名”中点击【HYPGEOMDIS
10、T】选项，然后【确定】 第4步：在【Sample_s 】后填入样本中成功的次数x(本例为3) 在【Number_sample】后填入样本容量n(本例为4) 在【Population_s】后填入总体中成功的次数M(本例 为3) 在【Number_pop】后填入总体中的个体总数N (本例为10) 连续型概率分布 连续型随机变量的概率分布 连续型随机变量可以取某一区间或整个实数轴上的任意一个值 它取任何一个特定的值的概率都等于0 不能列出每一个值及其相应的概率 通常研究它取某一区间值的概率 用概率密度函数的形式和分布函数的形式来描述 常用连续型概率分布 正态分布(normal distributi
11、on) (Carl Friedrich Gauss，17771855)作为描述误差相对频数分布的模型而提出 描述连续型随机变量的最重要的分布 许多现象都可以由正态分布来描述 可用于近似离散型随机变量的分布 例如： 二项分布 经典统计推断的基础 概率密度函数 f(x) = 随机变量 X 的频数 ? = 正态随机变量X的均值 ? ?= 正态随机变量X的方差 ? = 3.1415926; e = 2.71828 x = 随机变量的取值 (-? x +?) 正态分布函数的性质 图形是关于x=?对称钟形曲线，且峰值在x=? 处 均值?和标准差?一旦确定，分布的具体形式也惟一确定，不同参数正态分布构成一个
12、完整的“正态分布族” 均值?可取实数轴上的任意数值，决定正态曲线的具体位置；标准差决定曲线的“陡峭”或“扁平”程度。?越大，正态曲线扁平；?越小，正态曲线越高陡峭 当X的取值向横轴左右两个方向无限延伸时，曲线的两个尾端也无限渐近横轴，理论上永远不会与之相交 正态随机变量在特定区间上的取值概率由正态曲线下的面积给出，而且其曲线下的总面积等于1 ? 和? 对正态曲线的影响 正态分布的概率 标准正态分布(standardize normal distribution) 随机变量具有均值为0，标准差为1的正态分布 任何一个一般的正态分布，可通过下面的线性变换转化为标准正态分布 标准正态分布 正态分布 (用Excel计算概率) 第1步：进入Excel表格界面，将鼠标停留在某一空白单元格 第2步：在Excel表格界面中，直接点击【f(
