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1、.高一数学数学归纳法及其应用【本讲主要内容】数学归纳法及其应用数学归纳原理的科学性，数学归纳法的证明步骤，数学归纳法的应用举例【知识掌握】【知识点精析】1. 归纳法：对特殊情况加以研究而得出一般规律的方法叫归纳法它分为不完全归纳法和完全归纳法由部分特殊情况而得出的一般规律的方法叫不完全归纳法，对全部（有限的）特殊情况加以研究而得出的一般规律的方法叫完全归纳法例如：观察下列式子：633，835，103755，1257，1431177，20317713归纳：每个大于或等于6且小于或等于20的偶数可表示为两个奇素数的和 这里采用的是完全归纳法结论正确在等差数列an中，已知首项为a1，公差为d，那么a
2、1al0d，a2a11d，a3al2d，a4a13d， an?归纳：an a1（n1）d这里采用的是不完全归纳法结论正确（这个结论的正确性，后面我们将给出证明）由数列的通项公式得归纳：，但，这里采用的是不完全归纳法，结论不正确说明：完全归纳法得出的结论是正确的，而不完全归纳法得出的结论不一定正确，但通过对问题进行探索而提高数学能力十分重要2. 数学归纳法：是证明与正整数n有关的命题的一种方法它的奇妙之处在于能够归纳出无穷多个特殊情况，从而得出一般结论数学归纳法证明的步骤如下：证明当取第一个时结论正确；（归纳基础）假设当（）时，结论正确，证明当时，结论成立（递推依据）根据、可知对于任意命题正确（
3、下结论） 例如，我们用数学归纳法证明：如果数列an是一个等差数列，那么an a1（n1）d对一切都成立证明：（1）当n1时，左边a1，右边a10da1，等式成立（2）假设nk时等式成立，即ak a1（k1）d 那么 ak1ak d a1（k1）dd a1（k1）1d这就是说，当nk1时，等式也成立由（1）和（2）可知，等式对一切都成立说明：数学归纳法是专门证明与自然数集有关命题的一种方法，它是一种完全归纳法，是对不完全归纳法的完善证明分两步，其中第一步是命题成立的基础，称为“归纳基础”；第二步解决的是延续性问题（又称传递性）运用数学归纳法证明有关命题需注意以下几点：（1）两个步骤缺一不可：精品
4、.例如，若对等差数列an的通项错误地归纳为an （n1）d，则第二步的证明如下： 假设nk时等式成立，即ak （k1）d，那么 ak1ak d （k1）dd （k1）1d 这就是说，当nk1时，等式也成立但当n1时，a10，显然，并非所有等差数列an的首项都为0，推理就失去了基础，不能证明结论的正确性（2）在第一步中，n的初始值不一定从1取起，也不一定只取一个数，证明应视具体情况而定；（3）第二步证明时，必须使用归纳假设，否则就会打破数学归纳法步骤间的严密逻辑关系，造成推理无效；（4）证明成立时，要明确求证的目标形式，一般要凑出归纳假设里给出的形式，以便使用归纳假设，然后再去凑出当时的结论，这
5、样就能有效减少论证的盲目性我们可用数学归纳法来证明与正整数有关的等式及不等式问题，尤其是用其他方法难以下手时才用数学归纳法往往有效【解题方法指导】例1 用数学归纳法证明：135（2n1） n2分析135（2n1）n是由无数命题组成：1号命题：112号命题：132k号命题：135（2k1）k k1号命题：135（2k1）（2k1）（k1）怎样验算n1时，等式成立?如何实现nk到nk1的过渡?得到什么式子才能称nk1时等式成立?书写要体现“两个步骤，一个结论”的模式证明：（1）当n1时，左边1，右边1，等式成立 （2）假设nk时等式成立，即135（2k1） k2那么 135（2k1）2（k1）1
6、k22（k1）1 k22k1（k1）2这就是说，当nk1时，等式也成立由（1）和（2）可知，等式对任何都成立例2 用数学归纳法证明：能被14整除分析，而9514 ，将其一般化，即：能被xy整除下面我们先证能被xy整除证明：（）当n1时，能被xy整除；（2）设nk（k1，k）时，能被xy整除那么当nk1时精品.（想一想，为什么这样变形？）与都能被xy整除能被xy整除，即nk1时，命题成立根据（1），（2）可知，能被xy整除 当取x9，y5时，有能被95整除，即能被14整除评述：此例的证法体现了从一般到特殊的数学方法，避免了较大数的运算【考点突破】【考点指要】数学归纳法是证明关于自然数n的命题的一
7、种方法，在高等数学中有重要的用途，因而成为高考的热点之一历年高考中所占的分值为510分，多以解答题的形式出现，有时也会以选择题、填空题形式出现高考试题，不但要求用数学归纳法去证明现成的结论，而且加强了对于不完全归纳法应用的考查，既要求善于归纳发现结论，又要求能证明结论的正确性，因此，初步形成“观察归纳猜想证明”的思维模式，就显得特别重要【典型例题分析】例1. （2006重庆卷理22题）数列an满足（）用数学归纳法证明：；（）已知不等式，其中无理数e2.71828（）证明：（1）当n2时，不等式成立（2）假设当时不等式成立，即那么 这就是说，当时不等式成立根据（1）、（2）可知：成立（）证略例2
8、. （2005江西卷理21题）已知数列的各项都是正数，且满足。（1）证明；（2）求数列的通项公式an解：（1）方法一 用数学归纳法证明：1当n1时， ，命题正确2假设nk时有则时，精品. 而，又时命题正确由1和2知，对一切nN时有方法二：用数学归纳法证明：1当n1时，； 2假设nk时有成立， 令，在0，2上单调递增，所以由假设有 即也即当nk1时 成立，所以对一切。 （2）下面来求数列的通项：，又，所以归纳小结 归纳法：由特殊到一般，是数学发现的重要方法； 数学归纳法的科学性：基础正确；可传递； 数学归纳法证题程序化步骤：两个步骤，一个结论； 数学归纳法优点：克服了完全归纳法的繁杂、不可行的缺
9、点，又克服了不完全归纳法结论不可靠的不足，是一种科学方法，使我们认识到事情由简到繁、由特殊到一般、由有限到无限【综合测试】一、选择题：1. 数列1，13，135，1357，的一个通项公式为（ ）（A）（B）（C）（D）2. 设凸n边形有f（n）条对角线，则凸n1边形的对角线的条数f（n1）为（ ）（A）f（n）n1 （B）f（n）n （C）f（n）n1 （D）f（n）n2精品.3. 应用数学归纳法证明凸n边形的对角线为条时，第一步验证n等于（ ）（A）1 （B）2 （C）3 （D）04. 某个命题与正整数有关，如果当nk时，该命题成立，那么可推得nk1时命题也成立，现在当n5时，该命题不成立，
10、那么可推得（ ）（A）当n6时该命题不成立 （B）当n6时该命题成立（C）当n4时该命题不成立 （D）当n4时该命题成立二、填空题：5. 已知求出，并猜想6. 用数学归纳法证明不等式的过程中，从k到k1时，不等式左端增加的项是_三、解答题7. 用数学归纳法证明：8. 用数学归纳法证明：能被133整除9.（2005湖南卷理20题） 自然状态下的鱼类是一种可再生资源，为持续利用这一资源，需从宏观上考察其再生能力及捕捞强度对鱼群总量的影响 用xn表示某鱼群在第n年年初的总量，nN*，且x10不考虑其它因素，设在第n年内鱼群的繁殖量及捕捞量都与xn成正比，死亡量与xn2成正比，这些比例系数依次为正常数
11、a，b，c （）求xn1与xn的关系式； （）猜测：当且仅当x1，a，b，c满足什么条件时，每年年初鱼群的总量保持不变？（不要求证明）（）设a2，b1，为保证对任意x1（0，2），都有xn0，nN*，则捕捞强度b的最大允许值是多少？证明你的结论精品.综合测试答案一、选择题：1. D 提示：2. C 提示：凸n1边形的对角线的条数等于凸n边形的对角线的条数，加上多的那个点向其它点引得对角线的条数（n2）条，再加上原来有一边成为对角线，共有f（n）n1条对角线3. C4. C 提示：依题意当n4时该命题成立，则当n5时，该命题成立而当n5时，该命题不成立却无法判断n6时该命题成立不成立二、填空题：
12、5. 提示： 猜想6. 三、解答题7. 证明：（1）当n1时，左边右边，等式成立（2）假设nk时等式成立，即则当nk1时，左边右边由（1）和（2）可知，等式对任何都成立8. 证明：（1）当n1时原式133能被133整除（2）假设当nk时命题成立即能被133整除，则nk1时，有由归纳假设，能被133整除，而也能被133整除，所以能被133整除即命题nk1时命题成立由（1）（2）得命题成立9. 解（I）从第n年初到第n1年初，鱼群的繁殖量为axn，被捕捞量为bxn，死亡量为， （II）若每年年初鱼群总量保持不变，则xn恒等于x1， nN*，从而由（*）式得恒等于0， 因为x10，所以ab精品. 猜测：当且仅当ab，且时，每年年初鱼群的总量保持不变 （）若b的值使得xn0，nN*由xn1xn（3bxn），nN*，知 0xn3b，nN*，特别地，有0x13b 即0b0又因为xk1xk（2xk）（xk1）2110，nN*，则捕捞强度b的最大允许值是1如有侵权请联系告知删除，感谢你们的配合！精品
