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1、习题一答案1 求下列复数的实部、虚部、模、幅角主值及共轭复数：（1） （2） （3） （4）解：（1）， 因此：，（2），因此，（3），因此，（4）因此，2 将下列复数化为三角表达式和指数表达式：（1） （2） （3）（4） （5）解：（1）（2）（3） （4）（5）3 求下列各式的值：（1） （2） （3） （4）（5） （6）解：（1）（2）（3）（4）（5）（6）4 设试用三角形式表示与解：，所以，5 解下列方程：（1） （2）解：（1） 由此， （2），当时，对应的4个根分别为：6 证明下列各题：（1）设则证明：首先，显然有； 其次，因 固此有 从而 。（2）对任意复数有证明：验证即可
2、，首先左端，而右端 ， 由此，左端=右端，即原式成立。（3）若是实系数代数方程的一个根，那么也是它的一个根。证明：方程两端取共轭，注意到系数皆为实数，并且根据复数的乘法运算规则，由此得到：由此说明：若为实系数代数方程的一个根，则也是。结论得证。（4）若则皆有证明：根据已知条件，有，因此： ，证毕。（5）若，则有证明：， ，因为，所以， ，因而，即，结论得证。7设试写出使达到最大的的表达式，其中为正整数，为复数。解：首先，由复数的三角不等式有， 在上面两个不等式都取等号时达到最大，为此，需要取与同向且，即应为的单位化向量，由此， 8试用来表述使这三个点共线的条件。解：要使三点共线，那么用向量表示
3、时，与应平行，因而二者应同向或反向，即幅角应相差或的整数倍，再由复数的除法运算规则知应为或的整数倍，至此得到： 三个点共线的条件是为实数。9写出过两点的直线的复参数方程。解：过两点的直线的实参数方程为： ，因而，复参数方程为： 其中为实参数。10下列参数方程表示什么曲线？（其中为实参数）（1） （2） （3）解：只需化为实参数方程即可。（1），因而表示直线（2），因而表示椭圆（3），因而表示双曲线11证明复平面上的圆周方程可表示为 ，其中为复常数，为实常数证明：圆周的实方程可表示为：，代入，并注意到，由此 ，整理，得 记，则，由此得到 ，结论得证。12证明：幅角主值函数在原点及负实轴上不连续。
4、证明：首先，在原点无定义，因而不连续。 对于，由的定义不难看出，当由实轴上方趋于时，而当由实轴下方趋于时，由此说明不存在，因而在点不连续，即在负实轴上不连续，结论得证。13函数把平面上的曲线和分别映成平面中的什么曲线？解：对于，其方程可表示为，代入映射函数中，得 ，因而映成的像曲线的方程为 ，消去参数，得 即表示一个圆周。 对于，其方程可表示为代入映射函数中，得 因而映成的像曲线的方程为 ，消去参数，得，表示一半径为的圆周。14指出下列各题中点的轨迹或所表示的点集，并做图：解：（1），说明动点到的距离为一常数，因而表示圆心为，半径为的圆周。（2）是由到的距离大于或等于的点构成的集合，即圆心为半
5、径为的圆周及圆周外部的点集。（3）说明动点到两个固定点1和3的距离之和为一常数，因而表示一个椭圆。代入化为实方程得 （4）说明动点到和的距离相等，因而是和连线的垂直平分线，即轴。（5），幅角为一常数，因而表示以为顶点的与轴正向夹角为的射线。15做出下列不等式所确定的区域的图形，并指出是有界还是无界，单连通还是多连通。（1），以原点为心，内、外圆半径分别为2、3的圆环区域，有界，多连通（2），顶点在原点，两条边的倾角分别为的角形区域，无界，单连通（3），显然，并且原不等式等价于，说明到3的距离比到2的距离大，因此原不等式表示2与3 连线的垂直平分线即2.5左边部分除掉2后的点构成的集合，是一无界
6、，多连通区域。（4）， 显然该区域的边界为双曲线，化为实方程为 ，再注意到到2与到2的距离之差大于1，因而不等式表示的应为上述双曲线左边一支的左侧部分，是一无界单连通区域。（5），代入，化为实不等式，得 所以表示圆心为半径为的圆周外部，是一无界多连通区域。习题二答案1 指出下列函数的解析区域和奇点，并求出可导点的导数。（1） （2） （3） （4）解：根据函数的可导性法则（可导函数的和、差、积、商仍为可导函数，商时分母不为0），根据和、差、积、商的导数公式及复合函数导数公式，再注意到区域上可导一定解析，由此得到：（1）处处解析，（2）处处解析，（3）的奇点为，即， （4）的奇点为， 2 判别下
7、列函数在何处可导，何处解析，并求出可导点的导数。（1） （2）（3） （4）解：根据柯西黎曼定理：（1）， 四个一阶偏导数皆连续，因而处处可微，再由柯西黎曼方程解得：， 因此，函数在点可导， ， 函数处处不解析。（2）， 四个一阶偏导数皆连续，因而处处可微，再由柯西黎曼方程解得：， 因此，函数在直线上可导， ， 因可导点集为直线，构不成区域，因而函数处处不解析。（3）， 四个一阶偏导数皆连续，因而 处处可微，并且 处处满足柯西黎曼方程 因此，函数处处可导，处处解析，且导数为 （4）， ， ， 因函数的定义域为，故此，处处不满足柯西黎曼方程，因而函数处处不可导，处处不解析。3 当取何值时在复平面
8、上处处解析？解：，由柯西黎曼方程得： 由（1）得 ，由（2）得，因而，最终有 4 证明：若解析，则有 证明：由柯西黎曼方程知，左端 右端，证毕。5 证明：若在区域D内解析，且满足下列条件之一，则在D内一定为常数。（1）在D内解析 ， （2）在D内为常数，（3）在D内为常数， （4） （5）证明：关键证明的一阶偏导数皆为0！（1），因其解析，故此由柯西黎曼方程得 -（1）而由的解析性，又有 -（2）由（1）、（2）知，因此即 为常数（2）设，那么由柯西黎曼方程得 ， 说明与无关，因而 ，从而为常数。（3）由已知，为常数，等式两端分别对求偏导数，得 -（1）因解析，所以又有 -（2）求解方程组（1
9、）、（2），得 ，说明 皆与无关，因而为常数，从而也为常数。（4）同理，两端分别对求偏导数，得 再联立柯西黎曼方程，仍有 （5）同前面一样，两端分别对求偏导数，得 考虑到柯西黎曼方程，仍有 ，证毕。6 计算下列各值（若是对数还需求出主值）（1） （2） （3）（4） （5） （6）解：（1）（2）， 为任意整数， 主值为：（3） ， 为任意整数主值为：（4）（5） ， 为任意整数（6），当分别取0，1，2时得到3个值： ， ， 7 求和解：，因此根据指数函数的定义，有 ， ，（为任意整数）8 设，求解：，因此 9 解下列方程：（1） （2）（3） （4）解：（1）方程两端取对数得： （为任意整数）（2）根据对数与指数的关系，应有 （3）由三角函数公式（同实三角函数一样），方程可变形为 因此 即 ， 为任意整数（4）由双曲函数的定义得 ，解得 ，即，所以 ，为任意整数10证明罗比塔法则：若及在点解析，且，则，并由此求极限 证明：由商的极限运算法则及导数定义知，由此， 11 用对数计算公式直接验证：（1） （2）解：记，则（1）左端， 右端， 其中的为任意整数。
