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1、#第二十五章压杆的稳定计算第一节 工程中压杆的稳定性问题工程中把承受轴向压力的直杆称为压杆。以前，我们从强度观点出发，认为压杆在 其横截面上只产生压应力，当压应力超过材料的极限应力时，压杆才因抗压强度不足而 破坏。这种观点对于始终能够保持其原有直线形状的短粗压杆来说，可以认为是正确的,P)代入挠曲线近似微分方程得VEI = M(x) = -fy d x-令 卩=音(&)那么上面的微分方程就可写成dry , - Ar += Odx它的通解是y=c1sinkx+c2coskx(r)上式就是挠曲线的方程，其中心及C2是两个待定的积分常数，又因为临界力P的数值还 不知道，所以式中的也是一个待定值。要确
2、定上述这几个待定值，可以利用杆端的两个边界条件。在/端，即*0处，挠 度把它代入式(C),即可求得c2=O因此挠度曲线方程为y=CisinkxS)又在端，即处，挠度少=0,代入上式得Cjsinkl由此解得C1=0或sink I -0（e）若取C1=0,则由式（得挠曲线方程为y=0,表示杆仍保持直线形式，这个结论与原来 的前提相矛盾，因此须取式&）,由这个三角方程可解得kl =n jf（h=O, 1, 2, 3,“）式中n为任意整数。 将式（/）代入式（得上式表明，使杆弯曲而保持平衡的载荷，在理论上可以有很多个数值，但从实用方面看, 重要的是使杆发生弯曲的最小纵向力，若取=0,代入式（g）,得P
3、=0,与所讨论的情 况不符，因此，应该取n=l,代入式（g）,就得所求的临界力为(25-1)上式即为两端较支压杆的欧拉公式，若两端是球形较或与它类似的支承，两端截面在任 何方向都可以转动，则应取入沖代入上式，因为在这种支承情况下，压杆将在抗弯能力 最弱的平面内发生弯曲。这个平面称为最小刚度平面。将式5代入式S）,得y = csmx可见挠曲线为正弦曲线，积分常数C为不定值，仍取将x = i代入上式，就得 这说明G代表压杆失稳而弯曲时发生在中点处的蜃大挠度，它是一个不定值。上述确定欧拉公式，是在两端较支时得到的，当两端为其它约束时，也可以用类似 方法，并根据约束的具体情况，得出相应的临界力公式。对
4、于一端固定，一端自由的细长杆，其挠曲线为&波正弦曲线，相应的临界力公式4为p（25-2）几（莎对于两端为固定的细长压杆，其挠曲线上有两个拐点，分别出现在x = i和x = 44处，相应的临界力公式为(25-3)/El(0.5 厅(25-4)对于一端固定，一端较支的压杆，在其挠曲线上有一个拐点，出现在x03i处, &从固定端算起），相应的临界力为(0.7/)2综合上述四个公式可得临界力的一般表达式为一（25-5）式中为长度系数.其值取决于用杆两端的约束情况，可见表251。Lil,为 压杆的计算长度；E为杆件材料的弹性模量：7为杆件截面的惯矩。应当指出，表251的长度系数的数值是根据理想化的约束情
5、况而来的，在工程实践中，压杆的实际约束情况要复杂的多，往往需要按照实际约束情况予以简化，以便近似 地当作四种约束类型中的一种或介于两种之间的情形，适当地选择长度系数“的值。对 于两端都有支承的压杆，其值应在0510的范围内选择，但在选择=05时，应当 特别注意，只有当压杆两端确实是固定端时才可以取二05,否则应当按一端固定，另 一端较支处理或按两端较支处理。此时取M =0.7或例如，机床的丝杠通常是根据支承物（轴承或螺母）的长度和丝杠的直径心的比值来确定其约束类型的，当lo/dQ 3时，可以当作固定端处理；当1.5lQ/dQ 3时，则当作不完全固定端处理， 对于铳床的传动丝杠，一般都简化为一端
6、固定，另一端铁支，取/=0.7；对于内燃机的 气门挺杆等，一般简化为两端较支，取而千斤顶的螺杆一般简化为一端固定，另端自由，取“=2。按照式(25-5)计算出临界力坨后，将除以压杆的横截面面积A,所得的平均 应力就定义为临界应力，用門表示为Pl】 _*EIA LqA(25-6)令- = /2A则 I = r A式中f为截面的惯性半径。将式(257)代入式(256)得n1 E rOJ再令/o _ ,(25-7)(25-8)则可将式6)=詈改写为7T-E(25-9)式中2称为压杆的柔度或细长比，是一个没有量纲的量，它综合了压杆的所有外部 特征，反映了压杆长度()截面尺寸和形状(C以及杆端约束情况(
7、”)对临界力的 影响，是压杆稳定计算中的一个重要的参数，压杆愈细长，2值愈大，则临界力愈小， 压杆愈容易失稳。第三节 欧拉公式的适用范围临界应力的经验公式欧拉公式(25-1)以及式(255)都是当胡克定律适用于其材料的前提下推导出来 的，因此，当杆内应力不超过材料的比例极限时，式(25-5)才成立。今以临界应力F 表示杆内应力，以7尸表示材料的比例极限，则欧拉公式的适用条件是对于仏钢，F=206GP/i, ap =200MPat代入上式得100对于其它材料，同样可以计算出各自的2值(表25-2)我们把作为压杆分类的标 志，当时的压杆称为细长杆。可见，欧拉公式只能用来计算细长杆的临界力，而对 的
8、其它类型的压杆，欧拉公式是不适用的。对于2入的压杆，依然存在着稳定性问题，但是不能再用欧拉公式来计算其临界力， 这时可用如下的经验公式确定压杆的临界应力：叭=(25_10) 式中2为压和的柔度，和D是与材料机械性质有关的常数，由试验求出，几种常用材 料的“值和D值见表25-2o表25-2几种材料的a、b、人、禺值材料a (IP a)b(MPa)久1乂2普通钢3101.1410061优质钢5893.8210061W铁338.71.48100松木29.30.19110应用式(25-10)求压杆临界力时，也有一个柔度弘的限制。例如对塑性材料制成的 压杆，当按式(25-10)计算出的超过材料的兀时，式
9、(25-10)就不再适用，因为从理 论上说这时的压杆早因强度不足而破坏了。为了确定久2的数值，可令b严代入式 (25-10)得由此解得=对于4钢，可从表25-2査得a=310MPa9 &=1. 14MPa9代入上式，得A2 =61 o就是说， 对于Hs钢制成的压杆，当它的柔度久小于厶=100而大于61时，才能用式(25-10)计算 它的临界应力，我们把61W2W100的压杆称为中长杆。中长杆的临界应力s介于比 例极限、和屈服极限6之间，对于人的压杆称为短杆，按上述情况分析，短杆在 失稳之前，就因强度不足而破坏，所以对短杆来说，可以把材料的屈服极限(或强度极限)理解为它的临界应力。若将三类压杆的
10、临界应力S与柔度入之间的关系在S T直角坐标系内绘出，可 得到压杆的临界应力总图图25-3,由图可见，随着柔度2的减小，压杆的破坏将由稳 定条件起控制作用逐渐转化为由强度条件起控制作用O以上是从理想的情况分析得来的，根据我国的具 体情况和多年的实践经验，对由/s钢制成的压杆，认 为用图25-4所示的DEC曲线确定其临界应力将更切 合实际。在曲线的DC段仍按欧拉公式计 算6厂但C点的纵横坐标值不是材料的听和舛=100,而 是和人=123。在曲线的CE段则按下列经 验公式计算W :图 25-3a1 =235 0.00666 尤#图 25-4例251螺旋千斤顶的螺杆工作长JS=500whm,内径归52叫材料为仏钢。求此 螺杆的临界力坊。解 螺旋千斤顶的螺杆一般简化为一端固定，另一端自由的压杆，其长度系数“ =2,为求此螺杆的临界力坊，首先要计算此螺杆的柔度2,以确定此螺杆的临界应力勺 应当按哪一个公式来计算。由式(258)知#式中Lo= 厶=2 X 500=1000(/11/11)#穴护/4 44100015-代入，得=77故此螺杆的临界力为2= Ag =x222.22 = 47（脚第四节压杆的稳定
