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1、例 1：二次方程式计算2Y=a0+a1x+a2 x y=-6.3+2.4x+1.3x 2xyxA2xA3xA4xyxA2y11-2.6111-2.6-2.6123.748167.414.81312.69278137.8113.41424.1166425696.4385.61538.2251256251919551654.93621612963291976.41774.24934324015193635.81896.16451240967696150.419120.681729656110859768.6求和945421.8285202515333303322997.4945285421.845
2、2852025303328520251533322997.4系数系数值a0-6.30xya12.40896.10a21.30卜表为自动计算系数，给出9组 x 和 y 的数值，自动计算出系数。原理与多项式拟合说明附后。第一节最小二乘法的基本原理和多项式拟合一最小二乘法的基本原理从整体上考虑近似函数p(x)同所给数据点(Xi，yi)(i=0,1,m)误差riP(Xi)yi(i=0,1,m)的大小，常用的方法有以下三种：一是误差riP(Xi)yi(i=0,1,m)绝对值的最大值mamri,即误差向量m(Mi,1了的范数；二是误差绝对值的和ri,即误差向量r的1 范数；三是误差平方和m2rii 0 的
3、算术平方根，即误差向量r的2范数；前两种方法简单、自然，但不便于微分运算，后一种方法相当于考虑2范数的平方,m因此在曲线拟合中常采用误差平方和i。 体大小。2 ri来 度量误差ri(i=0 , 1,，m)的整数据拟合的具体作法是：对给定数据数类中，求P(x),使误差riP(xi)m2 rii 0(xiyi)(i=0,1,，m),在取定的函yi(i=0,1,m)的平方和最小，即2 一、P(xJ yi min从几何意义上讲, 小的曲线 y P(x)就是寻求与给定点(xi，yi) (i=0,1,m)的距离平方和为最(图6-1)。函数P(x)称为拟合 函数或最小二乘解，求拟合函数P(x)的方法称为曲线
4、拟合的最小二乘法。 在曲线拟合中，二多项式拟合假设给定数据点(Xi, yi) (i=0,1，,m)为所有次数不超过n(n m)的多项式构Pn (x)成的函数类，现求一mIPn(xi)i 0n kakxk 02V，使得kakxik 0V当拟合函数为多项式时，称为多项式拟合，满足式(min(1)1)的Pn(x)称为最小二乘拟合多项式。特别地，当n=1时，称为线性拟合或直线拟合。显然k 、2I (akXiX)i 0 k 0为a0,a1, an的多元函数，因此上述问题即为求 由多元函数求极值的必要条件，得m n2( akXk yjxj 0,a ji 0 k 0I KaOa1, an)的极值问题。j 0
5、,1,nn m(Xijk 0 i 00,1, ,n(3)是关于a0,ai,mmmm1Xin Xiyii 0i 0a0i 0mmmm2n 1a1XiXiXiXi yii 0i 0i 0i 0mmmanmnn 12nnXiXiXiXi yi 0i 0i 0i 0an的线性方程组，用矩阵表示为m kj)ak Xi yi, i 0式(3)或式(4)称为正规方程组或法方程组。可以证明，方程组(4)的系数矩阵是一个对称正定矩阵, 从式(4)中解出ak(k=0,1,，n),从而可得多项式故存在唯一解。nPn(X)akXkk 0(5)可以证明，式(mPn(Xi) 们把i 5)yi中的Pn(X)满足式(1),即
6、Pn(X)为所求的拟合多项式。我2称为最小二乘拟合多项式mI|r|l2Pn(Xi)i 0pn(x)的平方误差，记作2yi由式(2)可得mnm2/ k yiak( Xi yi)i 0k 0 i 0(6)多项式拟合的一般方法可归纳为以下几步:由已知数据画出函数粗略的图形散点图，确定拟合多项式的次数n；mXijyi(j 0,1,2n)i 0-mXij(j 0,1,2n)列表计算i 0和写出正规方程组，求出a0, an；nPn(X)akXk写出拟合多项式k 0。在实际应用中，n m或n m；当n m时所得的拟合多项式就是拉格朗日或牛 顿插值多项式。例1测得铜导线在温度Ti(C)时的电阻Ri( )如表6
7、-1 ,求电阻R与温度T 的近似函数关系。i0123456Ti(C)19.125.030.136.040.045.150.0Ri()76.3077.8079.2580.8082.3583.9085.10解 画出散点图(图6-2),可见测得的数据接近一条直线，故取n=1,拟合函数为R a0 a1T列表如下iTiRiTi2TiR019.176.30364.811457.330125.077.80625.001945.000230.179.25906.012385.425336.080.801296.002908.800440.082.351600.003294.000545.183.902034.
8、013783.890650.085.102500.004255.000245.3565.59325.8320029.445正规方程组为7245.3a0565.5245.3 9325.83 a120029.445解方程组得% 70.572,ai 0.921故得R与T的拟合直线为R 70.572 0.921T利用上述关系式，可以预测不同温度时铜导线的电阻值。例如，由R=0得T=-242.5 ,即预测温度 T=-242.5 C时，铜导线无电阻。85 *80 ,W.口1 103 0506-2例2例2已知实验数据如下表i012345678Xi1345678910V1054211234试用最小二乘法求它的
9、二次拟合多项式 解设拟合曲线方程为2y ao axa?x列表如下IXiV2Xi3Xi4XiXV2Xi yi0110111101013592781154524416642561664352251256251050461362161296636571493432401749682645124096161287938172965612724381041001000100004040053323813017253171471025得正规方程组952381a032523813017ai147381301725317a21025解得a0 13.4597,a13.6053a2 0.2676故拟合多项式为2y
10、 13.4597 3.6053 0.2676x2*三最小二乘拟合多项式而存在唯一性定理1 设节点X0，x1， ，Xn互异，则法方程组（4）的解存在唯一。证 由克莱姆法则，只需证明方程组（4）的系数矩阵非奇异即可。用反证法，设方程组（4）的系数矩阵奇异，则其所对应的齐次方程组m1Xii 0nXiyii 0i 0a0mmmmX2Xin 1Xia1Xi yii 0i 0i 0i 0mmmanmnn 12nnXiXXiXi yii 0i 0i 0i 0mmm有非零解。式（7）可写为Xijk、)ak0,j 0,1, ,n(8)将式（8）中第j个方程乘以aj （j=0,1,，n）,然后将新得到的n+1个方
11、程左n n maj ( Xij k)ak0 0右两端分别相加，得j0 k 0 i 0因为nn m/ j k xaj (XiJ间j 0 k 0 i 0其中m n nm nnmakajXij k ( ajXij)( ak 为k)Pn()i 0 j 0k 0i 0 j 0k 0i 0nPn(X)akXkk 0所以pn(Xi)0 (i=0,1,m)由代数基本定理，必因此正规方程组（4）Pn（X）是次数不超过n的多项式，它有m+1n个相异零点, 须有a0 a1 an 0,与齐次方程组有非零解的假设矛盾。n.kPn（X）akX必有唯一解。定理2设a0,a1，an是正规方程组（4）的解，则 k 0是满足式（1）的最小二乘拟合多项式。n_kh h hQn（X） bkX证只需证明，对任意一组数b。,“，bn组成的多项式k 0 ，恒有Qn(Xi) i 02 yiPn(Xi) i 02 yi即可。Qn(Xi)m2- 、小Pn (Xi)小i 0Qn (Xi ) i 0m，、2 一一 ，、Pn(Xi)2Qn (Xi)i 0Pn(Xi) Pn(Xi)%m n0 2 (bj aj)Xij i 0 j 0n k akXyinm n2 bj ajakXkj 0i 0 k 0yiX
