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1、求数列前N项和的七种方法1.公式法等差数列前n项和：特别的，当前n项的个数为奇数时，s2k.（2kiak1,即前n项和为中间项乘以项数。这个公式在很多时候可以简化运算。等比数列前n项和：q=1时，Sn=naia11_qnq-1，Sn-，特别要注意对公比的讨论。1-q其他公式：n1n11、Sn=送k=一n(n+1)2、Sn=送k2=n(n+1)(2n+1)k二2心63、Snk3=-n(n1)k:-2例1已知log3x，求XX2X3亠亠xn的前n项和.log23log23解：由log3X一log3-log32=由等比数列求和公式得（利用常用公式）x(1xn)1-x1二2Sn例2设1+2+3+十，N
2、：求f(n)=(n32)S1的最大值.解：由等差数列求和公式得S”1），A2）（利用常用公式）f(n)=Sn(n32)Sn1n2n34n64n34n82)501一50二当jn上，即n=8时，f（n）max=2P8502错位相减法这种方法是在推导等比数列的前n项和公式时所用的方法，这种方法主要用于求数列anbn的前n项和，其中an、bn分别是等差数列和等比数列.例3求和：Sn=13x5x27x3亠亠（2n1）xn解：由题可知，（2n-1）xn的通项是等差数列2n1的通项与等比数列xnJ的通项之积设xSn=1x3x25x37x4宀圧（2n-1）xn（设制错位）得（1-x）Sn=12x2x22x32
3、x42xn4-（2n-1）xn（错位相减）再利用等比数列的求和公式得：1_x(1-x)Sn=12x(2n-1)xn1-x(2n1)xn1(2n1)xn(1x)(1-x)2例4求数列詰討前n项的和.解：由题可知，绎的通项是等差数列2n的通项与等比数列2右的通项之积设Sn+An222232n2n1（设制错位）-得（1护=愛右訂22n2*2*（错位相减）练习：求：S=1+5x+9+(4n-3)xn-1解:2S=1+5x+9x+(4n-3)xn-1两边同乘以x，得+(4n-3)xn=x+5x2+9X3+-得,(1-x)S=1+4(x+x2+x3+-(4n-3)xn当x=1时，S=1+5+9+2+4n-
4、3)=2n-n当x工1时&1-x4x(1-xn)1-x+1-(4n-3)xn反序相加法求和这是推导等差数列的前n项和公式时所用的方法，就是将一个数列倒过来排列(反序)，再把它与原数列相加，就可以得到n个(aian).例5求Sin21-sinfsin23sin288sin289的值2匕2匕2匕2匕2角牛：设S=sin1sin2sin3亠亠sin88sin89将式右边反序得S=sin289sin288亠亠sin23sin22sin21(反序)又因为sinx=cos(90-x),sin2x+cos2x=13. +得(反序相加)2S=(sin1cos1)(sin2cos2)亠亠(sin89cos89)
5、=89S=44.5分组法求和有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可.例6求数列的前n项和：11,147/32，aaa111解：设Sn=(11)(4)(飞7)(F3n-2)aaa将其每一项拆开再重新组合得111Sn=(12(1473n-2)aaa(分组)（分组求和）仁丄1an(3n-1)n1a=aa1+(3n_1)na12例7求数列n(n+1)(2n+1)的前n项和.解：设ak二k(k1)(2k1)=2k33k2k(3n1)n_2nSn八k(k1)(2k1)k4n=、(2k33k2k)k=1将其每一项拆开再
6、重新组合得nnSn=2k33、k2kkak4（分组）=2(1323n3)3(1222n2)(12n)n2(n1)2n(n1)(2n1)n(n1)=rT222（分组求和）=n(n+1)2(n+2)111练习：求数列12,24,38*,(n解:1111S=1-2-3(n二)248211114. =(123n$-2歹歹)11(n1)1n22裂项法求和这是分解与组合思想在数列求和中的具体应用.裂项法的实质是将数列中的每项（通项）分解，然后重新组合，使之能消去一些项,最终达到求和的目的.通项分解（裂项）女口：(1)af(n1)一f(n)sin1(2)cosn；Os(n1)_a-an1n(n1)ntann
7、)(2n)2an(2n_1)(2n+1)112(2n一12n1(5)ann(n-1)(n2)2n(n1)_(n1)(n2)(6)an_n2n(n1)12(n1)-nn(n1)1n.1n2(n1)2，则Sn=11(n1)2n例9求数列11：2.2.3,nn1的前n项和.解：设a（裂项）则Sn+1、22一3.n.n1（裂项求和）=(一2-1)(、3-.2)(、n1-n)例10在数列an中,an，又bnanan1数列bn的前n项的和.解:（裂项）二bn数列bn的前n项和Sn=8(1一1)一1)一1)乍22334二)nn1（裂项求和）8n_8(1)_n+1n+1例11求证:z+:+cos0cos1co
8、s1cos2cos1-2cos88cos89sin1解:设S=-cosOcos1cos1cos2cos88cos89sin1tan(n1)-tanncosncos(n1)（裂项）二S=cos0cos1cos1cos2cos88cos89（裂项求和）1(tan1-tan0)(tan2-tan1)(tan3-tan2)tan89-tan88sin11-_(tan89-tan0)sin1sin1cot1cos1sin21练习：求原等式成立35,163之和。解:11-+315_2_211+791、111+=+3563133557111111111,(1一丄).丄(丄一丄).丄(丄_丄).丄(丄)323
9、52572791111111,14(1)：5. 99合并法求和针对一些特殊的数列，将某些项合并在一起就具有某种特殊的性质，因此，在求数列的和时，可将这些项放在一起先求和，然后再求s.例12求cosl+cos2+cos3+cos178cos179的值.解：设Sn=cosl+cos2+cos3+-+cos178cos179cosn二_cos(180一n)（找特殊性质项）(cos3+cos177(cosl+cos179)+(cos2cos178)+)+(cos89+cos91)+cos90（合并求和）例13数列an:a1=1,a2二3,a3-2,an2an1an求$002.解牛设S2002a1a2a
10、a2002（找特殊性由a1-1,a2=3,a3=2,an2=an1-an彳得a6k1a6k2a6k3a6k4a6k5a6k-0质项)S2002=a1a2a3a2002(合并求和)(a1a2aa6)(a7aa12)(a6k1a6k2a6k6)a1999a2000a2001a2002a6k1a6k2a6k3a6k4例14在各项均为正数的等比数列中，若玄5玄6=9,求log3ailog3a小Iog3a的值.解：设Sn=log3a1log3alog3a10由等比数列的性质mn=pq=aman二apaq(找特殊性质项)和对数的运算性质logaMlogaN=logaMN得Sn=(log3ailog3a)(
11、logsa?logsa?)(log3alog3玄6)(合并求和)=(log3aiaio)(log3a?a?)(log3a5曰6)=log39log39log39=10利用数列的通项求和先根据数列的结构及特征进行分析，找出数列的通项及其特征，然后再利用数列的通项揭示的规律来求数列的前n项和，是一个重要的方法.例15求111111舄舄1124爲之和n个1解：由于1424$=丄況淞彳困二丄门。“k个19k个19(找通项及特征)/.1111114241n个11111(101-1)(10?-1)(103-1)一(10n-1)(分组求9999和)1123n1(10101010)(14444444441)9
12、9n个1110(10n_1)n9-1019(10n1_10_9n)81例16已知数列an:an(n1)(n3)oQ,求7(n-1)何-a.J的值.n解：.(n1)6a.J=8(n1)(n1)(n-3(n2)(n4)（找通项及特征）8(n2)(n4)(n3)(n4)（设制分组）4(n4)8(n4)（裂项）oo(n1)(an-an1)=4、(nAoOnmn2n4)Un3n4（分组、项求和）=4(丄丄)81=133443练习：求5,55,555,，的前n项和解：.Aan=59（10n-1）=59(10-1)+-59(102-1)+-59(103-1)+59(10n-1):59(10+1d+103+101)-n5:81(10n+1-9n-10)以上一个7种方法虽然各有其特点，但总的原则是要善于改变原数列的形式结构，使其能进行消项处理或能使用等差数列或等比数列的求和公式以及其它已知的基本求和公式来解决，只要很好地把握这一规律，就能使数列求和化难为易，迎刃而解。
