《用微积分理论证明不等式的方法1》由会员分享，可在线阅读，更多相关《用微积分理论证明不等式的方法1（19页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、用微积分理论证明不等式的方法高等数学中所涉及到的不等式， 大致可分为两种：函数不等式(含变量)和数值不等式(不 含变量)对于前者，一般可直接或稍加变形构造一函数，从而可通过研究所构造函数的性 质，进而证明不等式；对于后者，我们也可根据数值不等式的特点，巧妙的构造辅助函数， 从而将数值不等式问题转化为函数的问题，研究方法正好与前者相似.微积分是高等数学中的重要内容，以它为工具能较好的研究函数的形态，有些常规方 法难于证明的不等式，若能根据不等式的结构特征，巧妙的构造函数，将不等式问题转化为 函数的问题，禾U用微积分理论研究函数的性质，应用函数的性质证明不等式.一、用导数定义证明不等式法1证明方法
2、根据导数定义f(X)-愀) limXXo导数定义：设函数y = f(x)在点。xo的某个邻域内有定义，若极限y = f (x)在点 Xo二y存在，则称函数f(X)在Xo可导，称这极限为函数点X 的导数，记作y = f (x0) 2.证明方法:(1)找出xo，使得y二f(X。)恰为结论中不等式的一边；(2)利用导数的定义并结合已 知条件去研究.3例例1：设函数f(x) =dsinx，a2sin2x川川ansinnx，其中a1,a2/ an都为实数，n为正整数，已知对于一切实数x，有f(x)兰sinx ,试证：a1+2a2+ nan 1.证 明 :因 f (x) = a1 cosx 2a2 cos
3、2xnan cosnx. 贝yf (0) p 2a2 J nan.得:锂呵%严=四乎=ixm号由于f(x2sinx所以丨f (o)兰|汁也=1 即|a1 +2a2 +naj兰14.适用范围用导数定义证明不等式，此方法得适用范围不广，我们应仔细观察问题中的条件与结论 之间的关系有些不等式符合导数的定义，因此可利用导数的定义将其形式转化，以达到化繁为简的目的用可导函数的单调性证明不等式法1. 证明方法根据-可导函数的一阶导数符号与函数单调性关系定理定理一：若函数f(x)在(a,b)可导，则f(x)在(a,b)内递增(递减)的充要条件是:f (x) _0(f (x)乞 0),x(a,b).定理二：设
4、函数f (x)在a,b连续，在(a,b)内可导，如果在(a, b)内f (x) . 0 (或f (x) c0)，那么f (x)在a,b上严格单调增加(或严格单调减少)定理三：设函数f(x)在(a,b)内可导，若(x) .0 (或f (x) :：: 0 )，则f (x)在(a,b) 内严格递增(或严格递减)上述定理反映了可导函数的一阶导数符号与函数单调性的关系，因此可用一阶导数研究函数在所讨论区间上的单调性2. 证明方法(1)构造辅助函数f (x)，取定闭区间a,b；如何构造辅助函数？ 利用不等式两边之差构造辅助函数； 利用不等式两边相同“形式”的特征构造辅助函数； 若所证的不等式涉及到幕指数函
5、数，则可通过适当的变形(若取对数)将其化为易于证明的形式，再如前面所讲那样，根据不等式的特点，构造辅助函数(2)研究f (x)在a,b上的单调性，从而证明不等式 .3. 例例 2:证明不等式：1 xln(x Ji x2) . 1 x2 (x 0).证明：令 f (x) =1 xln(x 1 x2) - . 1 x2 ,x 0,二)，易知 f (x)在0,：)上连续，且有f (x) = In(x ；1 x2)0, x (0,：)，由定理二可知f (x)在0,:)上严格单调增加，所以由单调性定义可知f (x) f (00,(x0)，即1 xl rx ( . 1 x2) - . 1 x20.因此 1
6、 xln(x. 1 x2). 1 x2 (x 0).例3:求证:afb|兰田、也1+|a+b|1+|a|1 +|b证明：设辅助函数xf (x),(x 0).易知f (x)在0J上连续，且有1 +x” 1f (x)2 - 0, (x(1 +x)20).则由定理二可知f (x)在0/:)上严格单调增加.由Oa+b wa + b，有 f(a+b)兰 f(a+|b),得到 上 _世也=_H_+_ A+A,所以原不等式 1+|a+b| 1+|a| + |b| 1+|a|+|b| 1+|a| + |b| 1+忖 1+|b成立4.适用范围利用函数单调性证明不等式，不等式两边的函数必须可导；对所构造的辅助函数
7、f(X)f (x)的值为O,然后通过在应在某闭区间上连续，开区间内可导，且在闭区间的某端点处 开区间内f(X)的符号来判断f(X)在闭区间上的单调性三、函数的极值与最大、最小值证明不等式法1 证明方法根据-极值的充分条件定理定理四(极值的第一充分条件)设f(x)在XO连续，在_.O(xO-)内可导，(i )若当 x(Xo ,Xo)时，f (x)_o,当(Xo,Xo，)时，f (x)乞 O,则f (X)在Xo取得极大值；(ii) 若当 X (X。-、,Xo)时，f(x)o,当 X (Xo,Xo、)时，f(x)_o,则f (X)在Xo取得极小值.定理五(极值的第二充分条件)设f (x)在的某领域-
8、(Xo,：)内一阶可导，在X = xo处二阶可导，且f(Xo) = o , f (Xop o ,(i)若(xo) ： o，则f (x)在Xo取得极大值；(ii)若f (xo) o，则f(x)在Xo取得极小值极值和最值是两个不同的概念.极值仅是在某点的邻域内考虑，而最值是在某个区间上 考虑.若函数在一个区间的内部取得最值，则此最值也是极值.极值的充分条件定理反映了可导函数的一阶导数符号或二阶导数在可疑点上的导数符号与函数极值的关系2. 证明方法(1)构造辅助函数 f (X)，并取定区间.如何构造辅助函数？ 当不等式两边均含有未知数时，可利用不等式两边之差构造辅助函数； 当不等式两边含有相同的“形
9、式”时，可利用此形式构造辅助函数；当不等式形如g(x) _a (或g(x) _a ) ( a为常数)时，可设 g(x)为辅助函数.(2)求出f (x)在所设区间上的极值与最大、最小值.极值与最大、最小值的求法 极值求法：(1)求出可疑点，即稳定点与不可导的连续点；(2)按极值充分条件判定可疑点是否为极值点 最大、最小值的求法：(1)闭区间a,b上连续函数的最大、最小值的求法：先求出可疑点，再将可疑点处的函数值与端点 a,b处的函数值比较，最大者为最大值，最小者为最小值.(2)开区间(a,b)内可导函数的最大值、最小值的求法：若f(x)在(a,b)内可导，且有唯一的极值点，则此极值点即为最大值点
10、或最小值点3. 例例4:证明：当x =0时有x5 5x + 4.证明：构造辅助函数 f (x) = x5 5x 4, (x 0)，则有f (x) =5x4 -5 = 5(x2 1)(x2 -1) =5(x2 1)(x 1)(x-1),令 f (x)二 0 ,解得 x 二 1，其中只有 x =1 在区间(0,二)内，由 lim f (x) = lim x5 - 5x - 4 二 f (1)，有 f (x)在 x = 1 点 xx_$连续.因当0：x时，f(x)：0,则f (x)在(0,1)上为减函数；当x 1时，(x)0, 则f (x)在(1,：)上为增函数；由定理四可知，f(x)在x = 1处
11、取得极小值，即f(1)=0为区间(0,=)上的最小值，所以当x 0时，有f(x)_ f(1)=0 .故x5 -5x-4_0(x0),即 x5 -5x 4(x 0).4. 适用范围利用函数单调性证明不等式，不等式两边的函数必须可导；对所构造的辅助函数f(x)应在某闭区间上连续，开区间内可导，且在闭区间的某端点处f (x)的值为0,然后通过在开区间内f (x)的符号来判断f(x)在闭区间上的单调性.三、函数的极值与最大、最小值证明不等式法1. 证明方法根据-极值的充分条件定理定理四(极值的第一充分条件)设f(x)在x0连续，在- 0(x0r-)内可导，（i ）若当 X （X0 - ,X0）时，f（
12、X）- 0,当 X （X0,X0 ）时，f（X）乞 0 ,则f(x)在Xo取得极大值(ii) 若当 X (X0-、,Xo)时,f(x)O,当 X(Xo,Xo)时，f(x)_O,则f (X)在Xo取得极小值.定理五(极值的第二充分条件)设f (X)在的某领域一.(x0,J内一阶可导，在x=x0处二阶可导，且f(Xo) = 0， f (Xop- 0 ,(i)若f o时有x5兰5x + 4 证明：构造辅助函数 f (x) = x5 - 5x - 4,(x o)，则有f (x) =5x4 -5 =5(x2 1)(x2 -1) =5(x2 1)(x 1)(x-1),令 f (x) =o，解得 x 二 1
13、，其中只有 x =1 在区间(o,二)内，由 lim f (xHlim x5 - 5x - 4 二 f(1)，有 f(x)在 x = 1 点xT连续.因当O：xJ时，f(x)：O,则f(x)在(0,1)上为减函数；当x 1时，f(x).O,则f (x)在(1,：)上为增函数；由定理四可知，f (x)在x=1处取得极小值，即f(1)=0为区间(0, :)上的最小值，所以当x . 0时，有f (x) _ f (1) = 0 .故x5 5x 4丄0(x 0),5即 x _5x 4(x 0).4.适用范围(1)所设函数f(x)在某闭区间上连续，开区间内可导，但在所讨论的区间上不是单调函数时；(2)只能证不严格的不等式而不能证出严格的不等式四、用拉格朗日中值定理证明不等式法1. 证明方法根据一拉格朗日中值定理拉格朗日中值定理：若函数f
