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1、赏析等比数列的前n项和公式的几种推导方法山东 张吉林（山东省莱州五中邮编261423）等比数列的前n项和公式是学习等比数列知识中的重点内容之一，其公式：当q引时，S =斗丝）或S = 1n1 - qn 1 - q当 q=1 时，S = nai本身不仅蕴涵着分类讨论的数学思想，而且用以推导等比数列前n项和公式的方法-错位 相减法，更是在历年高考题目中频繁出现。本文变换视野、转换思维，从不同的角度加以推 导，以加深对公式的理解与应用，希望能起到抛砖引玉的效果。一般地，设等比数列a ,a ,a , a 它的前n项和是123 nS = a + a + a H an 123n=a + a + a H a
2、=a qn-1公式的推导方法一：S 当q主1时，由 niann-11 1 1 1 1 a q + a q2 + a q3 H a qn-1 + a qnS = a + a q + a q2 h a qn-2 + a q qS = n(1 q)S = a a qn.当 q。1 时，S = a1(1-qn) n 1 - q当 q=1 时，S = nV当已知a1, q, n时常用公式；当已知a1, q,气时常用公式.拓展延伸：若 何是等差数列，妇是等比数列，对形如a. bj的数列，可以用错位相减法求和。例题 数列a 的前 n 项和 S = n + (n 1) x 2 + (n 2) x 22 + +
3、 2x 2n-2 + 2凡-i，贝。S的表达式为().B. S = 2n+1 n + 2D. S = 2n+1 n 2A. S = 2n+1 + 2n n 2C. S = 2n n 2解析：由 S = n + (n 1)x 2 + (n 2) x 22 + 2x 2凡-2 + 2凡-i，可得 2S = 2n + (n - 1)x 2 + (n - 2) x 23 + 2 x 2n-1 + 2，nL c c2(1-2n)cc一，得S 2 + 22 + + 2n-1 + 2n n - n 2n+1 n 2，故选(D).点评：这个脱胎于课本中等比数列前n项公式推导方法的求和法，是高考中命题率很高的地
4、 方，应予以高度的重视。公式的推导方法二：. a a当q。1时，由等比数列的定乂得，3 a aq an-1根据等比的性质，有Sn - a1 q nS - a(1 - q)S = a - a q.当q。1时，S -叩1-女)或S -1 - qn 1 - q当 q=1 时，S = nd该推导方法围绕基本概念，从等比数列的定义出发，运用等比的性质，导出了公式， 给我们以耳目一新的另类感觉。导后反思：定义是基础，深刻理解定义，灵活地运用好定义，往往能得到一些很有价值的 结论和规律。例如等比数列的一个常用性质：已知数列，是等比数列(q。-1 )，Sn是其前n项的和，则S，仍成等比数列。其推导过程可有以下
5、两种常见的证明过程：证明一：(1)当q=1时，结论显然成立；(2)当 q/1 时，S = I-Q,Sk 1 - q2ka G q2k) a G qk)2k k1 - q1 - qa (1 - q3k) a (1 - q2k)3k 2k1 - q1 - q(S s )2 a2q2k G 一 qk). 2 k k(1-q)2S2k - S，S - S，k 3k 2 ka (1 - q 2 k)1 - q，3ka qk G - qk)1 - q- q2ka q2k (1 - qk )1 - q(1-q3k )a ( - qk) a q2k ( - qk) k3k2 k1 q1 qa 2q2k G -
6、 qk)=1 (1-q)2.*2广 Sk)=Sk.(S3 k - s 2 k)s, s -s, s -s成等比数列.k 2 k k 3 k 2 k这一过程也可如下证明:证明二：s s =(a + a + a + a ) (a + a + a + a )2 kk 1 232 k1 2 3 k=a + a + a + a = qk (a + a + a + a ) = qks 丰 0k+1k+2 k+32 k1 2 3 kk 同理，s s = a + a+ a+ a = q2ks 壬 03k2 k2 k+1 2 k+2 2 k+33kk s, s -s, s -s成等比数列。k 2k k 3k 2
7、k对比以上两种证明过程，我们不难看出，利用好定义在解决某些问题的过程中可以收到 很简捷的效果。公式的推导方法三：s = a + a + a + a = a + q (a + a + a + a )n 123n 1123n-1= a + qs = a + q(s - a )1n-11n nn (1 - q) s = a - a q.当 q 引时，s = -qn)或s = n 1 - qn 1 - q当 q=1 时，s = na1“方程”在代数课程里占有重要的地位，是应用十分广泛的一种数学思想，在数列一章 的公式考察中常利用方程思想构造方程(或方程组)，在已知量和未知量之间搭起桥梁，来 求解基本量，使问题得到解决。这种推导方法正是运用了该思想，使我们的思维不拘泥于书 本。.以上三种推导方法，从不同的思维角度切入等比数列前n项和的表达式，着眼点不同， 侧重点各异，从而在推导方法的运用上也各有千秋，推导方法一注重补因子后错位相减；推 导方法二则侧重于前n项的和式与定义式的联系；而推导方法三则是构造了$与sn-1间的 递推关系式，充分利用了5与sn-1和首项及公比之间的关系来得前n项的和公式。希望同 学们在学习中认真领悟，仔细体味，以求使思维得到更为灵活广阔的锻炼。
