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1、极值理论论在风险险价值度度量中的的应用1、引言言自20世世纪700年代以以来，金金融市场场的波动动日益加加剧，一一些金融融危机事事件频繁繁发生，如19987年年的“黑色周周末”和亚洲洲金融危危机，这这使金融融监管机机构和广广大的投投资者对对金融资资产价值值的暴跌跌变得尤尤为敏感感。金融融资产收收益率的尖峰峰、厚尾现现象也使传统统的正态分分布假定定受到严严重的质质疑，因因此如何何有效地地刻画金融融资产收收益率的尾部部特征，给出其其渐进分分布形式式，及各各种风险险度量模模型的准准确估计计方法和和置信区区间，依此制制定投资资策略，确定国国家监管管制度，成为风险险度量和和管理所所面临的的巨大挑挑战。目
2、前，对对金融资资产损失失的估计计方法主主要包括括历史模模拟、参参数方法法和非参数数方法。历史模模拟是一一种最简简单的方方法，它它利用损失失的经验验分布来来近似真真实分布布，但是是该方法法不能对对过去观观察不到到的数据据进行外外推，更更不能捕捕获金融融资产收收益序列列的波动动率聚类类现象，而受到到大量的的批评。参数方方法假设设收益符符合某种种特定的的分布如如：正态分分布、tt分布等等，再通通过分布布与样本本的均值值、方差差的匹配配对参数进行行估计，或或者是假假设收益益符合某某种特定定的过程程如：模模型、模型，该该方法可可以在一一定程度度上解释释尖峰后后尾现象象和波动动率聚类类问题，具有比比较好的
3、的整体拟拟和效果果。不过过参数方方法只能能对已经经到来的的灾难信信息给出出准确的的估计，对于即即将到来来的灾难难信息无无法给出出准确的的预测，因此对对极端事事件的估估计缺乏乏准确性性。非参参数方法法则主要包包括极值值理论（EVTT），该理论论不研究究序列的的整体分分布情况况，只关关心序列列的极值值分布情情况，利利用广义义帕累托托分布（genneraalizzed Parretoo diistrribuutioon）或或者广义义极值分分布（ggeneerallizeed eextrremee vaaluee diistrribuutioon）来来逼近损损失的尾尾部分布布情况。Danniellss
4、oon aand de Vriies（19997）以以7支美美国股票票构成的的组合为为样本比比较各种种模型的的表现情情况，发发现EVVT的表表现比参参数方法法和历史史模拟方方法明显显的好。Longgin（20000）认认为极值值理论的的优点在在于它的的没有假假设特定定的模型型，而是是让数据据自己去去选择，而GARRCH模模型作为为估计风风险的一一种方法法，它只只能反映映当时的波波动率情情况，对对于没有有预期到到的变化化缺乏准准确性。不幸的的是，Leee annd SSalttogllu（220033）把EVTT模型应应用到55个亚洲洲股票市市场指数数上，发发现表现现令人非常常不满意意，而传传统
5、的方方法尽管管没有一一个在各各个市场场表现都都是绝对对优于其其它模型型的，但但都比EEVT模模型的表表现好。本人认认为EVVT模型型之所以以在亚洲洲市场表表现不好好主要是是因为亚亚洲金融融市场的的数据具具有很强强的序列列相关和和条件异异方差现现象，不不能满足足EVTT模型要要求的独独立同分分布假定定。另外外，Joondeeau andd Roockiingeer（119999），RRoottzenn annd KKlupppellberrg（119999），NNefttci（20000），Gillli andd Keelleezi（20003）和和Chrristtoffferssen andd
6、 Gooncaalvees（220044）也分分别采用用极值原原理和其其他模型型对金融融数据的的尾部特特征进行行了分析析和比较较。本章在传传统单纯纯采用极极值理论论（假设被被分析数数据是独独立同分分布的）描述金金融资产产收益尾部部特征的的基础上上，把ARMMA(Asyymmeetriic)GARRCH模模型和极极值理论论有机的的结合起起来。首先利用用ARMMA(Asyymmeetriic)GGARCCH模型型捕获金融融数据中中的序列列自相关关（Coorreelattionn）和异异方差（Heteerosskeddastticiity）现象，利用GGMM估估计参数数，获得得近似独独立同分分布的残
7、残差序列列，再采采用传统统的极值值理论对对经过AARMAA(AAsymmmettricc)GAARCHH模型筛筛选处理理过的残残差进行行极值分分析，在在一定程程度上克克服了传传统单纯纯采用极极值理论论时，由由于金融融数据序序列自相相关和波波动率聚聚类现象象不能满满足极值值理论假假设所造造成的估估计误差差。另外外，本章章还采用用Boootsttrapp的方法法给出了了采用极极值理论论估计出出的VaaR和EES在某某一置信信水平下下的置信信区间改改进了采采用似然然比率法法估计置置信区间间时，由由于极值值事件的的小样本本所造成成的误差差。最后后，我们们利用中中国上证证指数自自19990年112月11
8、9到220044年9月月30日日的对数数日收益益率进行行实证研研究给出出上证指指数的VVaR和和ES值值，及置置信区间间。2、VaaR和EES的概概念：VaR（VallueatRissk）是是一种被被广泛接接受的风风险度量量工具，20001年的的巴塞耳耳委员会会指定VVaR模模型作为为银行标标准的风风险度量量工具。它可以以定义为为在一定定的置信信水平下，某一资资产或投投资组合合在未来来特定时时间内的的最大损损失，或或者说是是资产组组合收益益损失分分布函数数的分位位数点。假设代代表某一一金融资资产的收收益，其其密度函函数为，则VaaR可以以表示为为： （1） 当密度函函数为连连续函数数是也可可以
9、写作作：，其其中称为为分为数数函数，它被定义义为损失失分布的的反函数数。该模模型计算算简单，在证券券组合损损失符合合正态分分布，组组合中的的证券数数量不发发生变化化时，可可以比较较有效的的控制组组合的风风险。但是VVaR模模型只关关心超过过VaRR值的频频率，而而不关心心超过VVaR值值的损失失分布情情况，且且在处理理损失符符合非正正态分布布（如后后尾现象象）及投投资组合合发生改改变时表表现不稳稳定，会会出现 （2）的现象，不满足足Arttzneer（119999）提出出了一致致性风险险度量模模型的次可加加性。（Exppectted shoortffulll）满足足Arttzneer（1199
10、99）提出出的次可可加性、齐次性性、单调调性、平平移不变变性条件件，是一一致性风风险度量量模型。它的定定义如下下：在给给定的置置信水平平下，设设是描述述证券组组合损失失的随机机变量，是其概概率分布布函数，令，则则可以表表示为： （33）在损失的的密度函函数是连连续时，可以简简单的表表示为：。 本本章将分分别选用用这两个个模型来来度量金金融资产产的风险险，给出出在修正正过的极极值模型型下，其其估计的的方法和和置信区区间。3. AARMAA(AAsymmmettricc)GAARCHH模型3.1 ARMMA(Asyymmeetriic)GGARCCH模型型的性质质模型： （44）其中，是是期望为为
11、0，方差差为常数数的独立立同分布布随机变变量，模型在可可逆的情情况下可可以表示示为。该模型型假设的的条件期期望是可可得的，条件方方差为常常数，通通常可以以用来解释释时间序序列的相相关性，并可以以对时间间序列进进行的短短期预测测。但是是该模型型条件方方差为常常数的假假设，使使其无法法有效的的解释在在金融时时间序列列中经常常被观察察到的波波动率聚聚类现象象，为此此，我们们需要在在模型中中进一步步引入模型。我们令，其中是是期望为为0，方方差为常常数1，的独立立同分布布随机变变量，是是在时刻的的条件方方差。这这里我们们采用通通常使用用的最简简单的模模型，则则条件方方差可以以表示为为：，模型也也可以表表
12、示成平平方误的的形式： （55）其中，因因此模型型本质上上是平方方误的。模型的的引入不不仅可以以捕获到到金融时时间序列列的波动动率聚类类现象，而且可可以在一一定程度度上改善善尖峰后尾尾现象，因为 （6）其中和分分别表示示和的峰度度，的峰峰度明显显大于等等于的峰峰度。另外，在在金融序序列中我我们还可可以明显显的观察察到，波动率率正方向向变动与与收益率率负方向向变动的的相关性性大于与与收益率率正方向向变动的的相关性性，一种种可能的的解释是是收益率率的负方向向变动会会加大波波动幅度度。而模模型认为为收益的的正方向向变动和和负方向向变动对对波动率率变动幅幅度有着着相同的的影响，为了捕捕获金融融序列波波
13、动率变变动的这这一不对对称性，我们引引入需要要Gloosteen eet aal（119933）提出出的非对对称模型型： （7）其中，在在这个模模型中我我们通过过项来捕获收益益率的正正负变动动对波动动率变动动的不同同影响，如果收收益率的的波动与与收益率率波动率率的变动动像我们们上面所预预期的那那样，则则。这样我们们就得到到了ARMAA(AAsymmmettricc)GAARCHH模型 （8）3.2、ARMMA(Asyymmeetriic)GGARCCH模型型的参数估估计：我们知道道在条件件正态分分布的假假设下，可以很很容易的的利用ARMMA(Asyymmeetriic)GGARCCH模型型的似
14、然然函数，给出参参数向量量的估计计值，其其中，。即使使在金融融收益率率序列残残差不满满足条件件正态分分布的情情况下，使用正正态极大大似然估估计法，仍然可可以得到到参数的一致渐渐进正态态非最小小方差估估计。但但是这样样我们得得到的残残差将有有很大的的误差，而是我我们下一一步进行行EVTT尾部估估计的输输入变量量，它的的有效性性将会直直接影响响我们整整个的估估计结果果，为此此我们必必须寻找找一个更更有效的的估计方方法。GMM（Genneraalizzed Metthodd off Moomennts）广义矩矩估计恰恰好可以以满足我我们的要要求，它它不需要要假设符符合任何何分布，只需要要的条件件矩。
15、在在Skoogluund（20001）“A ssimpple effficiientt GMMM eestiimattor of GARRCH moddelss”给出了了该估计计方法的的计算过过程和收收敛情况况。下面面给去估估计的步步骤：首先，定定义一个个行向量量 和和广义向向量 ，其中是是工具变变量，则则参数的的GMMM估计可可以通过过下式得得到： （99）其中是一一个恰当当的权重重矩阵。在Newwey andd MccFadddenn（19994）中，我我们可以以知道，有效的的GMMM估计可可以通过过另，其中中，是Jaacobbiann行列式式。把和和带入上上面的目目标函数数（9）得到： （100）其中，是是一个含含有参数数的权重重矩阵，它的元元素可以以表示为为：其中，通过上面面对目标标函数（9）的的变化，我们得得到函数数是恰好好可识别别的，即即参数的的最优估估计是使使函数等等于0。另外，我们要要进行GGMM估估计还需要一一个对参参数的初初始估计计值和对的三阶阶矩和四四阶矩的的初始估估计值，而这一一初始值值我们可可以通过过对ARRMA(Assymmmetrric)GARRCH模模型残差差符合正正态分布布
