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1、力学1 直线运动题型讲解：例1：如图1所示，地面上有一固定的球面，球面的斜上方P处有一质点.现要确定一条从P到球面光滑斜面轨道，使质点从静止开始沿轨道滑行到球面上所经时间最短.解析：此题求解关键是：根据点从竖直圆的顶点开始，沿圆内任一弦下滑，经历的时间都相等这一结论，找到一个顶点是P且与固定球面相切的球面M，这样质点从P点与两球切点连线的弦上下滑所经历的时间就最短.(质点沿其他弦下滑时，经历的时间除沿弦下滑的时间外，还要再加上从球面M到固定球面的一段时间).先证明这样一个问题：设地面附近有一空心球，顶点P上有众多的光滑斜直轨道与球面上其他点相连，试证明质点从P点自静止出发经任一轨道再到达球面所
2、需时间相同.证明：如图2所示，取任一与水平线夹角为的轨道PQ，其长为 l=2Rsin图2此处R为球半径.质点沿PQ轨道下滑的加速度为gsin，因此从P到Q所需时间为 t=2.该t与轨道参量无关，故任一轨道对应时间相同.根据上述结论，本题只要以P点为顶点作一球面，使其与题中固定球面相切，从P点到切点Q的光滑斜直轨道为所求.下面给出的是过P且与固定球面相切的球面的作法：图3图3：所示，原球面球心记为O，半径记为R.设O、P所在竖直平面即为图示的纸平面，在该竖直面上过P点作一条竖直线AB，且使PA长等于R.连结O、A两点，作直线段OA的中垂线，此中垂线与AB的交点O即为待作新球面的球心，O到P点的距
3、离取为新球面的半径R.这样作出的新球面O与原球面O相切于Q点，P到Q的光滑斜直线轨道即为所求. 例2：老鼠离开洞穴沿直线前进，它的速度与到洞穴的距离成反比，当它行进到离洞穴距离为d1的甲处时速度是v1则它行进到离洞穴距离为d2的乙处时的速度是.从甲到乙用去的时间是.解析：由于老鼠的运动速度与到洞穴的距离成反比，故可通过画-d图象，把反比例图象转化成线性图象，进而求出时间.本题也可以直接应用数学积分知识进行求解.设老鼠离开洞穴的距离为d，运动的速度为v，则v=，k为反比例常数.根据题意d=d1时，v=v1，则k=d1v1.故d=d2时，v=v2满足v2=v1.图4为求老鼠从甲到乙用用时间，根据分
4、析提出的求解思路如下：(1)图象法.建立图4，所示的-d图象，则图象上任意小的面积(图中阴影部分)其物理意义就是老鼠在经历任意短的距离d时用去的时间，因为这任意短的距离中，老鼠的速成度可视为不变，则t=d，这正是图象阴影面积中的长和宽的乘积.这样图象与d轴包围象与d轴包围的面积可视为由无数个图中阴影面积所组成，也就是说，图在从d1至d2图象与d轴包围的梯形面积就是所求的老鼠用去的时间。t=(+)(d2d1)=(d1+d2)(d2-d1)=.(2)积分法.在老鼠前进中，任意短的时间间隔T至T+dt内的路程为dx，速度为v，则从甲至乙的时间t =dx=(d-d)=.例3：有两把齿能不同的梳子，其中
5、一把每厘米有4个齿，另一把每厘米有5个齿.今将其重叠起来，再透过其齿间的缝隙去看亮光，则可以看到亮段和暗段交替出现.如果把其中的一把梳子以1cm/s的速度移动，问亮光部位将以多大的速度移动？图5解析：如图5，我们以黑白两色的梳子表示题述的两梳子.它们重叠在一起，其中白色梳子每厘米有5个齿.图中A处两梳子的齿刚好重叠在一起.显然，两梳子的齿重叠后，在A处附近透光的间隙较多，透过它去看亮光，这里就是一个“亮段”的中心.而图中B处两梳子的齿相互错开的距离最大，这里能透光的间隙就是最少，故此处是一个“暗段”的中心.当两梳了间有相对运动时，这些亮段和暗段会随之移动.明显可以看到，当发生移动时，亮段和暗段
6、的移动速度是相同的。以下我们仅讨论亮段的移动速度.(1)当白色梳子不动，黑色梳子以速度v=lcm/s向右移动.设原来黑、白色梳子的对应两齿刚好在A处重叠，则由于黑色梳子的移动，接着发生的便是紧邻A处右侧的那个黑色梳齿和白色梳齿重叠，这相当于上述的亮段的中心由A处移至A右侧第一个白色梳齿处.由此，这段移动的距离为白色梳子的齿距，即s1=cm.这一过程中黑色梳子移动的距离为黑白两梳子的齿距之差，即 s=-=(cm)以v1表示此时亮段移动工速度，乃有=，所以 v1=v=5(cm/s)由上叙述中还可以看到，此时亮段移动速度主向是向右的，即亮段移动速度方向与移动的梳子(黑梳子)的移动速度方向是相同的.(
7、2)当黑色梳子不动而白色梳子以速度v=lcm/s向右运动时，同样设原来黑白梳子对应的两齿刚好在A处重叠，则由于白梳子的移动，接着发生的便是紧邻A处左侧的那个黑色梳齿和白色梳齿和白色梳齿相生叠.这相当于上述的亮段的中心由A处移至A左侧第一个黑色梳齿处，这一过程中亮段移动的距离为黑色梳子的齿距，即s2=cm.这一过中的色梳子移动的距离为黑、白两梳子的齿距之差，即s=cm.以v2表示此时亮段移动的速度，乃有=.所以 v2=v=1=4(cm/s)由上叙述还可以看到，此时亮段移动的速度方向是向左的，即亮段移动速度方向与移动梳子(白梳子)的移动速度方向是相反的.例4：如图6所示，AA1和BB1是两根光滑的
8、细直杆，并固定于天花板上，绳的一端拴在B点，另一端拴在套于AA1杆中的珠子D上，另有一珠子C穿过强及杆BB1以速度v1匀速下落，而珠子D以一定速度沿杆上升.当图中角度为时，珠子D上升的速度v2多大？解析：珠子D作变速直线运动，但在极短时间内却可视为匀速运动，适当进行小量处理即可求解.用微元法取，极短时间t进行分析如图7所示珠子C下落的距离=v1t，上升的距离=v2t，与之间的夹角应为无穷小量.过C点作平行于，在中取F点，使=，而=，绳总长不变，故有=.又因为很小，所以等腰CEF的底角可近似看作90，于是有 (v1t+v2t)cos=v1t， v2=v1.图6 图7点评：这种解法具有典型性，此题
9、不可以将珠子C假想为一个滑轮，然后将重心移至滑轮来进行研究.这上一种不常见的解法，但有时常可以使难题得以简化.图8例5：顶杆AB可在竖直滑槽K内滑动，其下端由凸轮绕O轴以匀解速转动，如图8所示，在图示的瞬时，OA=r，凸轮轮缘与A接触处法线n与OA之间的夹角为，试求此瞬时顶杆AB的速度.解析：速度求解通常有两条基本思路：一是根据定义；二是应用速度合成原理.前者求解关键是质点的空间位置关系要弄清，后者是描述速度的参照物要明确.方法1.根据定义求解.t时刻顶杆与凸轮的接触点为A，经t时间，即t+t时刻，接触点为凸轮上的A点(在t时间内凸轮转过解)，如图9所示， r=r(t+t)-r(t)=rtan
10、.图9因此，有 vA=r tan=rtan.方法2.应用速度合成原理求解.图10 取动坐标系固连在凸连在滑槽K上，动点A(也就是顶杆AB)相对定坐标系的运动是竖直的直线运动，动点A相对动坐标系的轨迹就是凸轮的轮廓线.因此，动点A对定坐标系的速度vA、动占对动坐标系的速度vr和动坐标系上与动点A重合点的速度ve三者，根据相对运动的速度关系应组成三角形，见图10，因此有 vA=vctan=rtan.例6：如图11所示，两条位于同一竖直平面内的水平轨道，相距为h.轨道上有两个物体A和B，它们通过一根绕过定滑轮O的不可伸长的轻绳相连接.物体A在下面的轨道上以匀速率v运动.在轨道间的绳子与轨道成30角的
11、瞬间，绳子BO段的中点处有一与绳相对静止的小水滴P与绳子分离.设绳长BO远大于滑轮直径.求：图11(1)小水滴P脱离绳子时速度的大小和方向；(2)小水滴P离开绳子落到下面轨道所需要的时间.解析：水滴P脱离绳子时的速度可以驼过水滴P在垂直绳上的分速度求解.这个分速度与物块B在垂直绳方向的分速度有联系，因为这两个分速度都是绕滑轮O转动的线速度，它们有相同的角速度.(1)物体B在上轨道的运动可以看成是沿绳子的运动和垂直于绳子的运动(即绳子绕O点的转动)的合成.B沿绳子运动的分速度vB/=v，因而垂直于绳子的分速度vB=vtan(为BO与轨道夹角，这里=30)，如图12所示.图12 绳子中点小水滴P的
12、速度也可分解成沿着绳子的分速度和垂直绳子的分速度，即 vp/v，vp=vtan.小水滴P垂直绳子的分度可看做绳子绕O点转动，设该时刻绳子转动的角速度为，则有 =vp/(/2)=vB/. 从而有 vp=vB/2=(vtan)/2. 于是有 tan=(tan)/2=/6. 则 =arctan(/6). 角是vp与的夹角，vp与水平方向的夹角为30-.水滴离开绳子的速度大小为 vp= = =v =v. (2)由30可知，水滴P做斜向下抛运动，P在竖直方向的分运动是初速度为vPyO、加速度为g的匀加速直线运动，则有 vPyO=vsin-vPcos=v(sin-tancos/2)=v/4.因而 h=vt
13、+gt2.由此方程可解出t，取t为正值的解，得 t=().知识方法：一、参考系、质点为了描述物体的位置，必须选定一些物体作参考，这些被选作参考的物体称为参考系。世界上一切物体都处于不停的运动之中，绝对不动的物体是没有的，这就是运动的绝对性。但由于参考系的选择是任意的，而运动描述又必须在选定了参考系之后才有意义，因此运动的描述是相对的，这就是描述运动的相对性的含意。为了定量地描述物体的位置，就要在参考系上选定坐标系，即将参考系抽象成坐标系，最常用的是直角坐标系。任何实际的物体都有一定的形状和大小。但是在具体的问题中，有时可以忽略物体的形状和大小，而把它们看作是具有一定质量的几何点，称为质点。质点是实标物体的理想化模型。在物理学中常用理想模型代替实际研究以象，以突出其主要性质而忽略其次要因素。同一个物体有时能视为质点有时又不能，决定于所研究的问题。二、位置、位移和路程位置是运动质点在某一时刻的空间处所.在直角坐标系中，可用质点在坐标轴上的投影坐标(x，y，z)来表示.在定量计算时，为了使位置的确定和位移的计算一致，人们还常引入位置矢量(简称位矢)的概念.在直角坐标系中，位矢r定义为自坐标原点到质点位置P(x，y，z)所引的有向线段，其大小为，其方向自原点指向质点P.位移指质点运动过程中，在一段时间t内位置的变化，
