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1、DVD在线租赁_数学建模论文国防科技大学：李宝娟、刘健、张云安，指导教师：指导教师组2005 高教社杯全国大学生数学建模竞赛承诺书我们仔细阅读了中国大学生数学建模竞赛的竞赛规则.我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的, 如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。如有违反竞赛规则的行为，我们将受到严肃处理。我们参赛的题
2、目是：B 题：DVD 在线租赁我们的参赛报名号为（如果赛区设置报名号的话）：所属学校（请填写完整的全名）：国防科大参赛队员 (打印并签名) ：1.刘健2.3.指导教师或指导教师组负责人张云安李宝娟(打印并签名)： 指导教师组日期：2005年 9 月 19 日赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：2005 年全国大学生数学建模竞赛全国一等奖1国防科技大学：李宝娟、刘健、张云安，指导教师：指导教师组2005 高教社杯全国大学生数学建模竞赛编 号 专 用 页赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：全国统一编号（由赛区组委会送交全国前编号）：全国评阅编号（由全国组委会评阅前进行编号）：200
3、5 年全国大学生数学建模竞赛全国一等奖2国防科技大学：李宝娟、刘健、张云安，指导教师：指导教师组DVD 在线租赁摘要本问题是一个 DVD 在线租赁中，网站方如何对于市场进行需求预测、如何对 DVD进行分配才能同时最好的实现其经济效益和社会效益。第一问中，基于需求预测基础上的 DVD 购买方案设计中，我们分别考虑了悲观情况和均值情况。为了保证希望看到某种 DVD 的会员中，有 50%以上在一个月内能看到该 DVD，在悲观情况下，各种 DVD 的购买量分别为：9000，4500，2250，1125，450。在均值情况下，各种 DVD 的购买量分别为：6250，3125，1563，720，313。为
4、了保证在三个月内 95%以上的会员能够看到，在悲观情况下，各种 DVD 的购买量分别为：4500，2250，1125，563，225。在均值情况下，各种 DVD 的购买量分别为：3959，1980，990，495，198。最后，不考虑具体的会员的借还 DVD 时间，我们使用概率的方法解决了该问题。结果与均值情况相近。对于第二问，对于当前订单的分配方案确定。我们建立了 0-1 规划模型，求得此时的最大满意度为 24746，我们给出了此时的最优分配方案。第三问，是一个多目标规划问题，既要考虑使得会员的满意度尽量大，还要使得网站所购买的总的 DVD 数目最少，在具体处理时，我们让会员满意度在一定的范
5、围内变动，给出各种情况下使得总 DVD 数最少的方案。其中当会员相对满意度为 0.8 时的最少 DVD 总数为 2059 张。分析第三问的结果，我们发现了有趣的双峰现象，并对其合理性进行了阐述。同时，我们还可以发现，会员相对满意度与最少 DVD 之间呈现总数近似线性的关系。如下表所示：对于网站而言，其经营管理的目的是获得最大的经济效益，不同的租赁模式设置下网站会得到不同的经济效益，第四问中我们讨论网站经营管理的最优模式。求得了在一种情况下，限定每月最多租赁两次的情况下，得到使得网站的效益达到最大时，应该限定每个会员每次租赁最多 2 张 DVD。同时讨论了对于限定每次最多租赁 3 张 DVD 的
6、情况下，最佳的租赁次数限制。本文论证严密，所给出的结果具有启发性和借鉴意义。2005 年全国大学生数学建模竞赛全国一等奖3相对满意度0.50.60.70.80.91.0所需 DVD 数120214861760205925673098国防科技大学：李宝娟、刘健、张云安，指导教师：指导教师组一 问题重述随着信息时代的到来，网络成为人们生活中越来越不可或缺的元素之一。许多网站利用其强大的资源和知名度，面向其会员群提供日益专业化和便捷化的服务。例如，音像制品的在线租赁就是一种可行的服务。这项服务充分发挥了网络的诸多优势，包括传播范围广泛、直达核心消费群、强烈的互动性、感官性强、成本相对低廉等，为顾客提
7、供更为周到的服务。考虑如下的在线 DVD 租赁问题。顾客缴纳一定数量的月费成为会员，订购 DVD租赁服务。会员对哪些 DVD 有兴趣，只要在线提交订单，网站就会通过快递的方式尽可能满足要求。会员提交的订单包括多张 DVD，这些 DVD 是基于其偏爱程度排序的。网站会根据手头现有的 DVD 数量和会员的订单进行分发。每个会员每个月租赁次数不得超过 2 次，每次获得 3 张 DVD。会员看完 3 张 DVD 之后，只需要将 DVD 放进网站提供的信封里寄回（邮费由网站承担），就可以继续下次租赁。请考虑以下问题：1）网站正准备购买一些新的 DVD，通过问卷调查 1000 个会员，得到了愿意观看这些D
8、VD 的人数（表 1 给出了其中 5 种 DVD 的数据）。此外，历史数据显示，60%的会员每月租赁 DVD 两次，而另外的 40%只租一次。假设网站现有 10 万个会员，对表1 中的每种 DVD 来说，应该至少准备多少张，才能保证希望看到该 DVD 的会员中至少 50%在一个月内能够看到该 DVD？如果要求保证在三个月内至少 95%的会员能够看到该 DVD 呢？2）表 2 中列出了网站手上 100 种 DVD 的现有张数和当前需要处理的 1000 位会员的在线 订 单 （ 表2的 数 据 格 式 示 例 如 下 表2 ， 具 体 数 据 请 从http:/ 下载），如何对这些 DVD 进行分
9、配，才能使会员获得最大的满意度？请具体列出前 30 位会员（即 C0001C0030）分别获得哪些 DVD。3）继续考虑表 2，并假设表 2 中 DVD 的现有数量全部为 0。如果你是网站经营管理人员，你如何决定每种 DVD 的购买量，以及如何对这些 DVD 进行分配，才能使一个月内 95%的会员得到他想看的 DVD，并且满意度最大？4）如果你是网站经营管理人员，你觉得在 DVD 的需求预测、购买和分配中还有哪些重要问题值得研究？请明确提出你的问题，并尝试建立相应的数学模型。2005 年全国大学生数学建模竞赛全国一等奖4国防科技大学：李宝娟、刘健、张云安，指导教师：指导教师组二背景介绍DVD
10、在线租赁业务是一项近年来在网络技术高度发展的基础上出现的新业务。1998 年，成立于美国的 Nexfix 是目前炙手可热的 DVD 在线租赁商。该公司有多种 DVD 出租业务。其中，典型的是一种这样的：顾客每月缴纳 19.9 美元成为会员。定购 DVD 租赁服务。顾客对哪些 DVD 感兴趣，只须在线提交订单，网站收到顾客的订单之后，会根据手头现有的 DVD 数量和会员的订单尽可能将 DVD 以快递的方式投递给会员。一般情况下，在一天之内，网站即可将会员所需的 DVD 送到会员手中，会员每次最多得到 3 张 DVD。每个月订购的次数是有限的，顾客拿到这些 DVD 之后可以无限期的保留这些 DVD
11、，前提是在这段时期内，他仍然是该网站的会员。如果会员想拿进行下一次租赁，则它必须首先将手上的 DVD 放进网站提供的信封里寄回。之后，即可进行下一次租赁。三 问题分析本问题是一个在 DVD 租赁业务中，网站方如何进行 DVD 需求预测、如何购置新DVD、如何将手头的 DVD 分配给会员，从而可以保证会员满意而同时又使自己收到良好的经济效益的问题。第一问中，1000 个会员的调查表即是 10 万个会员的需求预测。由于具体会员订单的不可确知性，无法考虑“每个会员每次最多获得 3 张 DVD”的约束，同时各种 DVD之间的横向数量约束也无法考虑。故计算时，对于每种 DVD 的购买量可单独考虑。此时，
12、由于每月租赁两次 DVD 会员的不确定性，我们可以以均值情况估计和最悲观情况估计。第二问中，网站给出了网站手上 100 种 DVD 的现有张数和当前需要处理的 1000 位会员的再现订单。要求我们给出一个使得会员总的满意度最大的分配方案。显然这是一个大规模的 01 规划问题。第三问中综合考虑一个月内 DVD 的购买分配方案，这其实是一个多目标规划的问题。从网站的经济效益角度考虑看，在保证所有会员中 95%以上的会员一个月内看到自己想看的 DVD 的情况下，希望购买的 DVD 尽量少，但是从其社会效应来看，则要尽可能地考虑让所有会员的总的满意度最大。这时，可以使用多种方式将多目标规划变为单目标规
13、划，以求得一个经济效益与社会效益的综合最优。具体的 1000 位会员中到底会有哪些会员是可能会在一个月内租赁两次 DVD，这个数据我们无从得知。我们可以随机地从 1000 名会员中选择 600 名。认为这些会员将会在一个月内两次租赁 DVD，由于所给数据的均匀性，无论是哪 600 名会员将会两次租赁 DVD，对目标影响并不会很大。对于网站而言，其经营管理的目的是获得最大的经济效益，不同的租赁模式设置下网站会得到不同的经济效益，第四问中我们讨论网站经营管理的最优模式。2005 年全国大学生数学建模竞赛全国一等奖5国防科技大学：李宝娟、刘健、张云安，指导教师：指导教师组四 符号说明Cij第 i 名会员获得第 j 张 DVD 时的满意度。xij第 i 名会
