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1、如果您需要使用本文档，请点击下载按钮下载!变量代换在数学中的应用摘 要变量代换法是研究和解决数学问题的方法之一，属于数学变换方法的一种，就是把将要解决而不易解决的问题先进行变量代换，使之转化。它在高等数学的学习过程中是一项非常重要的实用方法，不仅是一种重要的解题技巧，还是一种重要的数学思维方法，这种方法几乎贯穿了高等数学的全部内容，具有灵活性和多样性的特点。本文通过对变量代换法在高等数学各个章节中的运算中的应用进行了总结，对变量代换法在高等数学中某些方面的应用进行深入探讨，分析其特点和技巧，以求科学、准确地应用此方法来解决数学问题，同时使得学生能够在学习高等数学时充分把握并能够熟练、灵活运用好
2、这种方法，提高学生的解题能力。关键词：变量代换法；数学；运用AbstractVariable substitution method is one way to study and solve math problems, a mathematical transformation method belongs, that is going to solve the problem is not easy to be the first variable substitution to make the conversion. Its in the process of learning ma
3、thematics is a very important practical methods, not only is an important problem-solving skills, mathematical thinking is an important approach that has permeated the entire contents of the higher mathematics, with flexible Features and diversity. Based on the method of calculation of variable subs
4、titution in various sections of higher mathematics are summarized in the application of variable substitution method in the application of certain aspects of higher mathematics in-depth discussion, analysis of the characteristics and skills, in order to science, accurately apply this method to solve
5、 math problems, while allowing students to fully grasp in learning mathematics and proficient, flexible use of this method is good to improve students problem-solving abilities. Keywords: Variable substitution method; Mathematics; Use如果您需要使用本文档，请点击下载按钮下载!目 录1 引言12 变量代换概述22.1变量代换法的定义22.2变量代换法的意义22.3变
6、量代换的分类33 变量代换法的应用33.1在函数部分的应用43.2在极限部分的应用43.3在积分部分的应用63.3.1在不定积分中的应用73.3.2 定积分中的应用113.4在微分部分的应用113.4.1 解一阶齐次方程113.4.2 解贝努力方程123.4.3解高阶微分方程133.4.4 解欧拉方程143.5 在级数中的应用143.5.1求幂级数的收敛区间143.5.2 求周期函数的傅立叶级数154 结束语16参考文献17如果您需要使用本文档，请点击下载按钮下载!1 引言目前在高等数学中所说的变量代替法,其实就是将所得到的某个高数当中的式子看做是一个完整的整体,然后再使用一个其他的变量来对它
7、进行代换,从而能够将遇到的问题从复杂变得简单,换句话说,就是用另外的变量代替一串比较复杂的式子从而能够将代数式的运算变得简单一点,其实这也就是我们曾经都学习过的换元法。所谓换元法,它的实际就是要将代数式进行一定程度的转换,在这个过程中关键的就是要构造元和设置元,也就是构造一个变量和设置出一个变量,在这个过程中所涉及到的理论依据就是需要进行等量的代换,然后才能够将不同的对象进行变换研究,将需要解决的问题从复杂的代数式中转移到相对比较简单的用变量代替之后的代数式中,也就是将问题从旧的对象中移出来到新的对象所存在的知识背景中去,然后再进行相应的研究,从而能够使得非标准型的问题变得标准化,使复杂的问题
8、在一定程度上能够变得简单、变得让我们更加容易对其进行相应的处理。当我们在高等数学中应用变量代换法的时候,应该遵循应用变量代换这种方法能够将运算变得简便、将得到的代数式子变得标准化的这样一个原则,也可以说是运用了变量代换法之后能够在运算中达到的效果,在进行变量代换之后对于新使用的变量的范围要重新进行选取,一定要让新使用的变量的存在范围落于原变量本来的取值范围之中,不能有缩小当然也不能有扩大,这样才能够在高等数学的学习当中达到使用变量代换法所想要达到的效果。本文在介绍变量代换法的基础上进行了变量代换法在高等数学中的应用的总结，以希望通过这种总结给学习变量代换的同学带来思维上的冲击，使得将其作为难点
9、的同学开拓思维，拿捏得当的运用这种方法，减少学生学习数学的压力，提高学生的解题能力。如果您需要使用本文档，请点击下载按钮下载!2 变量代换概述2.1变量代换法的定义变量代换法的字面定义为：对于一些结构较为复杂、变元较多的数学问题 ，引入一些新的变量进行代换，以简化其结构，从而达到解决问题的目的这种方法叫做变量代换法。实际上由于变量代换法的依附性较强，因此其应用在不同的领域中就拥有了不同的定义。2.2变量代换法的意义变量代换法是一种非常有效的解题方法，尤其是处理一些复杂的不等式问题，效果明显。合理代换往往能简化题目的信息，凸显隐含条件，沟通量于量之间的关系，对发现解题思想，优化解题过程有着重要的
10、作用。例如在解决不等式问题时常采用三角代换法和增量代换法往往使得三角函数问题变得简单；在解决极限问题时，倒数代换法能够起到简化计算，求解容易的效果；同时变量代换在一重积分、二重积分和三重积分中均有实际应用效果。2.3变量代换的分类上文中已经提到变量代换可运用到不同的领域当中，因此这种方法也具有不同的分类。分类包括局部代换法（在整体中的某一个难以直接运算的小部分进行代换）、整体代换法（全部函数式进行代换）、三角代换（通过设定一个未知数代替原有的三角函数）、分式代换（设定为未知数代替原有的分式，简化计算）、对称代换法（利用函数的对称特点，设定未知数进行替换）、增量代换法（利用未知数替换原有增量式）
11、。如果您需要使用本文档，请点击下载按钮下载!3 变量代换法的应用变量代换法是研究和解决数学问题的方法之一，属于数学变换方法的一种。就是把将要解决而不易解决的问题先进行变量代换，使之转化。 即通过变换问题中函数的自变量或因变量、化繁为简、化难为易、将未解决的问题转化成已解决的问题。这种方法在求极限、求导、积分计算、解微分方程以及级数中用的很多，几乎贯穿了高等数学的全部内容!具有灵活性和多样性的特点。下面通过各类计算中的典型例子加以具体阐述变量代换法在高等数学教学中应用。3.1在函数部分的应用变量代换法运用到函数当中，主要是利用变量代换法求函数解析式、函数值等。例如：已知，求的表达式。解：可以令x
12、+y=u，x-y=v，此时依次为一个一元二次方程，可以求解出，然后原表达式就变为：经过化简之后，可以得到：将u，v为x，y所替代，就可以得到元f（x，y）的表达式。如果您需要使用本文档，请点击下载按钮下载!3.2在极限部分的应用如果函数直接求极限有困难,可以考虑作一次变量代换,使之关于新变量的函数形式比较容易求极限。例1 求解。分析：这种类型的题目可以看作是1的类型，直接求解是十分困难的，先作变量代换，然后再利用原高等数学中的重要极限公式进行求解就能轻而易举将这种题型解决。解：首先将这个函数式进行简单变换可得；然后可令，则x+1=1/t+1/2，从而可知原式= 例2 求解。分析：这种类型的题目
13、可以0型的问题，如果直接求解十分困难，分母为0难以进行求解，若先进性变量代换，再进行求解，问题就迎刃而解。解：可以令x=1-t，原式可以化为：此时问题就被简化为模型的问题，分母为0的问题得到了实际的解决。如果您需要使用本文档，请点击下载按钮下载!例3 求解。分析：上式可归结为型的问题，很明显直接通过计算是无法实现的，因此可以选择首先进行变量代换，然后再进行计算。解：可以令ax-1=t，则原式可以变化为：=lna例4 求解。分析：这种类型的题目是作为无理根式的极限代表，类型与上一题类似，但是是一个根式问题，直接通过极限运算无法实现，需要经过变量代换。解：首先可以令=t，将原式转化为：再将分母化简
14、，即可以得到：=1/2例5 求解。分析：这是一类求解多元函数的极限问题，因此常规方法无法实现，利用变量代换可以起到事半功倍的效果。解：首先可以令=t，那么原式可以化为=0如果您需要使用本文档，请点击下载按钮下载!3.3在积分部分的应用所谓变量代换法在求积分当中的应用,包括了将变量代换法在进行不定积分的求解过程中的应用和将变量代换法在进行定积分的求解过程中的应用。而将变量代换法在进行不定积分的求解过程中的应用的过程中需要利用基本的一些积分方面的公式和关于积分的一些特殊的性质,在计算过程中所涉及到的不定积分应该是非常有限的,不过如果将运算过程中的中间变量运变量代换法进行一定的代换,就能够将在复合函
15、数运算过程中使用的微分法在这里进行反过程的运用用来求解不定积分,这样也能够得到相应的解答,这样的运算方法就是换元积分法。换元积分法又分为两种积分方法,简称之为第一类的换元积分法和第二类的换元积分法。在第一类换元积分法中所涉及到的定理公式是: 。也就是将f（x）假设其为连续函数，而其中的u=（x）和当然都是存在的并且也是连续的函数，而且，这样才能够得出上面的公式。而第二类换元积分法所涉及到的公式则是。同样也是将f（x）假设其为连续的函数，其中和也都是连续的，而所涉及到的的反函数是存在的并且是连续的函数，然后再加上，这样才能够得出上面的公式。而将变量代换法在进行定积分的求解过程中的应用中则是需要假设f(x)函数是在区间a,b之中连续的,然后在其中用x=(t)来做变量代换法的应用,其中的(t)函数是在封闭的区间A,B之中有着连续导数(t)的一个函数,而当t的取值范围是在和之间并且包括中两个数值的时候,(t)的取值范围则是在a和b之间,并且包括了a和b这两个数值,并且()=a,()=b,在这样的条件之下才会得出在使用变量代换法的定积分的运算中所需要的。如果您需要
