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1、九年级数学上册专题突破讲练几何基本图形：一线三等角试题新版青岛版1. 基本模型注意：利用同角的余角相等证明ACDBEC2. 模型扩展（1）锐角相似依据：运用三角形的一个外角等于不相邻的两个内角的和寻找相等的角度，得出两个三角形相似并加以运用。（2）钝角注意：（1）相似三角形中对应边要找准。（2）熟练记忆“一线三等角”的基本模型，根据三角形相似可得：；（3）此模型中共有三组相似三角形，一般考查BEDCDF。例题 （历城区三模）如图，在ABC中，已知AB=AC=5，BC=6，且ABCDEF，将DEF与ABC重合在一起，ABC不动，DEF运动，并满足：点E在边BC上沿B到C的方向运动，且DE始终经过
2、点A，EF与AC交于M点。（1）若BE=2，求CM的长；（2）探究：在DEF运动过程中，重叠部分能否构成等腰三角形？若能，求出BE的长；若不能，请说明理由；（3）当线段AM最短时，求重叠部分的面积。解析：（1）由AB=AC，根据等边对等角，可得B=C，又由ABCDEF与三角形外角的性质，易证得CEM=BAE，则可证得ABEECM，就有，即可以得出答案；（2）分别从AE=AM，AE=EM与AM=EM去分析，注意利用全等三角形与相似三角形的性质求解即可求得答案；（3）首先设BE=x，由ABEECM，根据相似三角形的对应边成比例，易得，继而求得AM的值，利用二次函数的性质，即可求得线段AM的最小值，
3、继而求得重叠部分的面积。答案：（1）AB=AC，B=C，ABCDEF，AEF=B，又AEF+CEM=AEC=B+BAE，CEM=BAE，ABEECM；，；（2）能。当AE=EM时，则ABEECM，CE=AB=5，BE=BCEC=65=1，当AM=EM时，则MAE=MEA，MAE+BAE=MEA+CEM，即CAB=CEA，C=C，CAECBA，=，；当AE=AM时，此时E点与B点重合，M点与C点重合，即BE=0。BE=1或或0。（3）设BE=x，又ABEECM，即：，当x=3时，AM最短为，又当时，点E为BC的中点，AEBC，此时，EFAC，。点拨：本题考查了相似三角形的判定与性质、全等三角形的
4、判定与性质以及二次函数的最值问题。关键是利用“一线三等角”判断出两三角形相似。此题难度较大，注意数形结合思想、分类讨论思想与函数思想的应用是解此题的关键。【方法归纳】1. 平面直角坐标系中，常作点到坐标轴的垂线，构造“一线三直角”。把点的坐标和线段的长度建立联系，解决问题。2. 矩形中的翻折问题发现“一线三等角”，常用方程的思想解决。3. 动态几何中图形的存在性问题应注意分类讨论思想的应用，不重不漏。例题 在平面直角坐标系中，一张矩形纸片按图所示放置。已知，将这张纸片折叠，使点落在边上，记作点，折痕与边（含端点）交于点，与边（含端点）或其延长线交于点。请回答：（1）如图，若点的坐标为，直接写出
5、点的坐标；（2）将矩形沿直线折叠，求点的坐标；解析：（1）利用折叠的性质，可得AE=OE=4，根据勾股定理就可以求出线段DA的长；（2）如图，根据，则E点的坐标为（0，n），F点的坐标为（2n，0），OE=n，OF=2n，由AEFOEF可知OE=AE=n，AF=OF=2n，得出DEAGAF所以，由FG=CB=6解得DA=3，从而求得A点的坐标。答案：（1）点A的坐标为（2）如图，过点F作FGDC于GEF的解析式为，E点的坐标为（0，n），OE=nF点的坐标为（2n，0），OF=2nAEF与OEF全等，OE=AE=n，AF=OF=2n点A在DC上，且EAF=901+3=90又3+2=901=2在
6、DEA与GAF中， DEAGAF FG=CB=6 DA=3 A点的坐标为（3，6）。点拨：这是一道有关折叠的问题，主要考查一次函数、四边形、相似形等知识，在矩形折叠问题中要善于发现“一线三等角”的模型，并利用该知识点解决问题。（答题时间：30分钟）一、选择题1. （济南）已知直线l1l2l3l4，相邻的两条平行直线间的距离均为h，矩形ABCD的四个顶点分别在这四条直线上，放置方式如图所示，AB=4，BC=6，则tan的值等于（）A. B. C. D. *2.（温州）如图，在平面直角坐标系中，矩形纸片ABCO的顶点C的坐标为（0，8），沿着直线折叠纸片，使点C落在OA边上的点F处，折痕为DE，则
7、b等于。A. 2 B. 3 C. 4 D. 5*3. （苏州模拟）如图，在矩形ABCD中，AB=4，BC=6，当直角三角板MPN的直角顶点P在BC边上移动时，直角边MP始终经过点A，设直角三角板的另一直角边PN与边CD相交于点Q。则CQ的最大值为（）A.4 B. C. D. *4. （道里区一模）如图，ABC中，AB=5，BC=11，点D在BC上，ADE=90，DAE=ACB，ED=EC，AE的长为（ ）A. B.6 C. D.8 二、填空题*5. （润州区二模）如图，点A在双曲线上，点B在双曲线上，且OAOB，A=30，则k的值是 。*6. （海南）直线l1l2l3，且l1与l2的距离为1，
8、l2与l3的距离为3，把一块含有45角的直角三角形如图放置，顶点A，B，C恰好分别落在三条直线上，AC与直线l2交于点D，则线段BD的长度为 。*7. 如图，在等腰梯形ABCD中，ADBC，BC=4AD=，B=45。直角三角板含45角的顶点E在边BC上移动，一直角边始终经过点A，斜边与CD交于点F。若ABE为等腰三角形，则CF的长等于 。*8.（本溪一模）如图所示，正方形ABCD中，点P是边AB上一点，将一个直角三角板的直角顶点与点P重合，并保证其一条直角边始终经过点C，另一条直角边与AD交于点Q，若，则；若，则。三、解答题*9.（盐城）情境观察：将矩形ABCD纸片沿对角线AC剪开，得到ABC
9、和ACD，如图1所示。将ACD的顶点A与点A重合，并绕点A按逆时针方向旋转，使点D、A（A）、B在同一条直线上，如图2所示。观察图2可知：与BC相等的线段是 ，CAC= 问题探究：如图3，ABC中，AGBC于点G，以A为直角顶点，分别以AB、AC为直角边，向ABC外作等腰RtABE和等腰RtACF，过点E、F作射线GA的垂线，垂足分别为P、Q。试探究EP与FQ之间的数量关系，并证明你的结论。拓展延伸：如图4，ABC中，AGBC于点G，分别以AB、AC为一边向ABC外作矩形ABME和矩形ACNF，射线GA交EF于点H。若AB=kAE，AC=kAF，试探究HE与HF之间的数量关系，并说明理由。 *
10、10.（相城区一模）如图，在平面直角坐标系中，点C的坐标为（0，4），A是x轴上的一个动点，M是线段AC的中点。把线段AM进行以A为旋转中心、向顺时针方向旋转90的旋转变换得到AB。过B作x轴的垂线、过点C作y轴的垂线，两直线交于点D，直线DB交x轴于一点E。设A点的横坐标为t，（1）若t=3，则点B的坐标为 ，若t=3，则点B的坐标为 ；（2）若t0，BCD的面积为S，则t为何值时，BCD的面积为6？（3）是否存在t，使得以B、C、D为顶点的三角形与AOC相似？若存在，求此时t的值；若不存在，请说明理由。*11. （咸宁）阅读理解：如图1，在四边形ABCD的边AB上任取一点E（点E不与点A、
11、点B重合），分别连接ED，EC，可以把四边形ABCD分成三个三角形，如果其中有两个三角形相似，我们就把E叫做四边形ABCD的边AB上的相似点；如果这三个三角形都相似，我们就把E叫做四边形ABCD的边AB上的强相似点。解决问题：（1）如图1，A=B=DEC=55，试判断点E是不是四边形ABCD的边AB上的相似点，并说明理由；（2）如图2，在矩形ABCD中，AB=5，BC=2，且A，B，C，D四点均在正方形网格（网格中每个小正方形的边长为1）的格点（即每个小正方形的顶点）上，试在图2中画出矩形ABCD的边AB上的一个强相似点E；拓展探究：（3）如图3，将矩形ABCD沿CM折叠，使点D落在AB边上的
12、点E处。若点E恰好是四边形ABCM的边AB上的一个强相似点，试探究AB和BC的数量关系。*12. （扬州）已知矩形ABCD的一条边AD=8，将矩形ABCD折叠，使得顶点B落在CD边上的P点处。（1）如图1，已知折痕与边BC交于点O，连结AP、OP、OA。求证：OCPPDA；若OCP与PDA的面积比为1：4，求边AB的长；（2）若图1中的点P恰好是CD边的中点，求OAB的度数；（3）如图2，在（1）的条件下，擦去折痕AO、线段OP，连结BP。动点M在线段AP上（点M与点P、A不重合），动点N在线段AB的延长线上，且BN=PM，连结MN交PB于点F，作MEBP于点E。试问当点M、N在移动过程中，线
13、段EF的长度是否发生变化？若变化，说明理由；若不变，求出线段EF的长度。1. C 解析：如图，过点C作CEl4于点E，延长EC交l1于点F在矩形ABCD中，BCD=90，+BCE=90，BCE+DCF=18090=90，又BEC=CFD=90，BECCFD，即，。在RtBCE中，BEC=90，。2. B 解析：作EHOA于H，如图，把x=0代入，D点坐标为（0，b），C点坐标为（0，8），而四边形ABCO为矩形，E点的纵坐标为8，把y=8代入得，解得，E点坐标为，OD=b，EH=8，矩形纸片ABCO沿着直线折叠，使点C落在OA边上的点F处，折痕为DE，DFE=DCE=90，DFO+EFH=90，而DFO+ODF=90，ODF=EFH，即，OF=4，FH=2b，b=3. 3. B 解析：设BP=x，CQ=y，,又，则；，即整理得： CQ的最大值为：。 4. A 解析：作AMBC，ENBC，垂足分别为M，N。又AB=5，BC=11，AM=4，BM=3，CM=113=8，DAE=ACB，又ADE=90，AMDDNE，又ED=EC，ENBC，MD=DC=4，由勾股定理得：，5. 解析
