中考数学专题复习(二)圆

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1、精品文档，仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除专题二：圆知识要点扫描归纳一 圆的基本概念（1）圆的定义：在平面内到定点的距离等于定长的点的集合叫做圆。定点叫做圆心，定长叫半径。（2）确定圆的条件；已知圆心和半径，圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小；不在同一条直线上的三点确定一个圆；已知圆的直径的位置和长度可确定一个圆；（3）点和圆的位置关系 设圆的半径为r，点到圆心的距离为d，则点与圆的位置关系有三种。 点在圆外dr； 点在圆上d=r； 点在圆内 dr；（4）弦：连结圆上任意两点的线段叫做弦。经过圆心的弦叫做直线。直径是圆中最大的弦。圆心到弦的距离叫做弦心距。（5）弧：圆上任意两点间的部分叫

2、做弧。弧分为半圆，优弧、劣弧三种。（6）等圆、等弧：能够重合的两个圆叫做等圆。同圆或等圆的半径相等。在同圆或等圆中，能够互相重合的两条弧叫做等弧。（7） 圆的对称性：圆既是轴对称图形又是中心对称图形。经过圆心的每一条直线都是它的对称轴。圆心是它的对称中心。圆绕圆心旋转任何角度，都能够与原来的图形重合，因此圆还具有旋转不变性。二 圆中的重要定理1垂径定理及其推论：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分这条弦所对的两条弧推论1：一条直线，如果具有过圆心；垂直于弦；平分弦（非直径）；平分弦所对的劣弧；平分弦所对的优弧这五个性质中的任何两个性质这条直线就具有其余的三条性质推论2：圆的平行弦所夹的弧相等2圆

3、心角、弧、弦、弦心距之间的关系、定理及推论在同圆或等圆中，四组量：两个圆心角；两条弧；两条弦；两条弦心距其中任一组量相等，则其余三组量也分别相等即在同圆或等圆中：圆心角相等3圆周角定义：顶点在圆上，且两边与圆相交的角定理及推论定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等推论2：半圆（或直径）所对的圆周角是直角；90o的圆周角所对的弦是直径推论3：如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形推论4：圆内接四边形定理：圆的内接四边形对角互补，并且任何一个外角都等于它的内对角三、直线和圆的位置关系： 1

4、直线和圆的位置关系的定义及有关概念 （1）直线和圆有两个公共点时，叫做直线和圆相交（图1），这时直线叫圆的割线 （2）直线和圆有唯一公共点时，叫做直线和圆相切（图2） 这时直线叫做圆的切线，唯一的公共点叫做切点O图2 （3）直线和圆没有公共点时，叫做直线和圆相离（图3）O图2O图1 2直线和圆的位置关系性质和判定 如果O的半径，圆心O割直线的距离为，那么（1）直线和O相交（图 1）；（2）直线和O相切（图2）；（3）直线和O相离（图3）O图2O图3O图1四、切线的判定和性质： （一）切线的判定 1切线判定定理：经过半径的外端点并且垂直于这条半径的直线是圆的切线； 2和圆心距离等于半径的直线是圆

5、的切线； 3经过半径外端点且与半径垂直的直线是圆的切线 （二）切线的性质 1切线的性质定理，圆的切线垂直于经过切点的半径； 推论1：经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点； 推论2：经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心 2切线的性质： （1）切线和圆只有一个公共点； （2）切线和圆心的距离等于圆的半径； （3）切线垂直于过切点的半径； （4）经过圆心垂直于切线的直线过切点； （5）经过切点垂直于切线的直线必过圆心五、三角形的内切圆 1三角形的外接圆 过三角形三个顶点的圆，叫做三角形的外接圆，三条边中垂线的交点，叫做三角形的外心。三角形的外心到各顶点的距离相等 2外心的位置 锐角三角形的外心在三角

6、形内部，钝角三角形的外心在三角形的外部，直角三角形的外心在斜边中点，外接圆半径(C为斜边长) 3三角形的内切圆 到三角形三条边距离都相等的圆，叫三角形的内切圆，三角形中，三个内角平分线的交点，叫三角形的内心，三角形内心到三条边的距离相等，内心都在三角形的内部若三角形的面积为，周长为a+b+c,则内切圆半径为:，当为直角三角形的直角边，为斜边时，内切圆半径或. 4圆内接四边形的性质 （1）圆内接四边形的对角互补；（2）圆内接四边形的任何一个外角等于它的对角注意：圆内接平行四边形为矩形；圆内接梯形为等腰梯形六、切线长定理： 1切线长概念： 在经过圆外一点的切线上，这点和切点之间的线段的R，叫做这点

7、到圆的切线长 2切线长和切线的区别 切线是直线，不可度量；而切线长是切线上一条线段的长，而圆外一已知点到切点之间的距离，可以度量 3切线长定理： 从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角AAOACADABAPA 要注意：此定理包含两个结论，如图，PA、PB切O于A、B两点，PA=PBPO平分 4两个结论： 圆的外切四边形对边和相等； 圆的外切等腰梯形的中位线等于腰长七、弦切角定理： 1弦切角概念： 理解体弦切角要注意两点：角的顶点在圆上；角的一边是过切点的弦，角的边一边是以切点为端点的一条射线 2弦切角定理： 弦切角等于它所夹的弦对的圆周角，该定理也可以

8、这样说：弦切角的度数等于它所夹弧的度数的一半 3弦切角定理的推论：PABCD 推论：如果两个弦切角所夹的弧相等，那么这两个弦切角相等八 与比例线段相关的定理（了解）1相交弦定理及其推论：（1）定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等PABCDO如图，AB，CD相交余E，则AEEB=CEDE （2），推论：如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它分直径所成PABTO的两条线段的比例中项如上右图，有AEEB=CE成立2，切割线定理及其推论（1） 定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项 如上左图，PT切O,PAB是O的一条PABCD割线，则有P

9、T=PAPB成立（2） 推论：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等如上右图，有PAPB=PCPD成立九 圆中的相关计算1 弧长公式：半径为R的圆，其周长是，将圆周分成360份，每一份弧就是1o的弧，1o弧的弧长应是圆周长的，而为，因此，的弧的弧长就是，于是得到公式：。2 （1）扇形的定义：一条弧和经过这条弧的端点的两条半径组成的图形叫做扇形（如图）。（2）扇形的周长：（3）扇形的面积：如图，阴影部分的面积即为扇形OAB的面积。S扇形=ABOm由上面两公式可知S扇形=可据已知条件灵活选用公式。ABOmOAB3 弓形的面积（1）由弦及其所对的劣弧组成的图形，S弓

10、形=S扇形-SOAB。（2）由弦及其所对的优弧组成的弓形，S弓形=S扇形+SOAB。十两圆的位置关系：1 圆与圆的位置关系外 离外 切相 交内 切内 含图形O1O2O1O2O1O2O2O1O2O1公共点0个1个2个1个0个d、r、R的关系dR+rd=R+rR-rdR+rd=R-rdR-r外公切线2条2条2条1条0条内公切线2条1条0条0条0条2两圆连心线的性质（1）如果两圆相切,那么切点位于这两个圆的连心线上（2）相交两圆的连心线垂直平分这两个圆的公共弦3两圆的公切线（1）与两圆都相切的直线,叫做这两个圆的公切线,两个圆在公切线的同旁时,这条公切线叫做这两个圆的外公切线;两个圆在公切线的两旁时

11、,这条公切线叫做这两个圆的内公切线;公切线上两个切点间的距离,叫做这条公切线(段)的长;（2）两圆的两条外公切线长相等;（3）两圆的两条内公切线长相等，且交点位于这两个圆的连心线上；（4）两圆相切可以运用于弧与弧的平浓连接考点扫描归纳1 角度的计算1（年山东省青岛市）如图，点A、B、C在O上，若BAC = 24，则BOC = 2、(年安徽省B卷)13如图，一条公路的转弯处是一段圆弧(图中的弧)，点O是这段弧的圆心，C是弧AB上一点，OCAB，垂足为D， AB=300m，CD=50m，则这段弯路的半径是 m3、（福建德化）如图，点B、C在上，且BO=BC，则圆周角等于（ ） A B C DOAB

12、C第1题图第2题图 第3题图 4(年北京崇文) 是圆O的直径，是圆O的弦，=48,则= 5（年门头沟区）如图，于，若，则 度第5题第4题图6.（年重庆潼南县）如图，已知AB为O的直径，点C在O上,C=15,则BOC的度数为（ ）A15 B. 30 C. 45D60 7. (年兰州市) 有下列四个命题：直径是弦；经过三个点一定可以作圆；三角形的外心到三角形各顶点的距离都相等；半径相等的两个半圆是等弧其中正确的有 A4个 B3个 C 2个 D 1个8. （年安徽中考） 如图，ABC内接于O，AC是O的直径，ACB500，点D是BAC上一点，则D_第8题 第9题 第10题9(重庆市)如图，ABC是O的内接三角形，若ABC70，则AOC的度数等于（ ） A140 B130 C120 D11010.（年四川省眉山市）如图，A是O的圆周角，A=40，则OBC的度数为_11.（年福建省晋江市）如图， 、是上的三点，且是优弧上与点、点不同的一点，若是直角三角形，则必是( ) . A.等腰三角形 B.锐角三角形 C.有一个角是的三角形 D.有一个角是的三角形第12题图AOBC第11题