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1、空间向量与立体几何、知识网络:二.考纲要求：(1)空间向量及其运算 经历向量及其运算由平面向空间推广的过程；了解空间向量的概念，了解空间向量的基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分解及其坐标表不； 掌握空间向量的线性运算及其坐标表示； 掌握空间向量的数量积及其坐标表示，能运用向量的数量积判断向量的共线与垂直。(2)空间向量的应用理解直线的方向向量与平面的法向量；能用向量语言表述线线、线面、面面的垂直、平行关系；能用向量方法证明有关线、面位置关系的一些定理(包括三垂线定理)；能用向量方法解决线线、线面、面面的夹角的计算问题，体会向量方法在研究几何问题中的作用。第一课时空间向量及其运算一、复习目标
2、：1.理解空间向量的概念；掌握空间向量的加法、减法和数乘；2.了解空间向量的基本定理；3.掌握空间向量的数量积的定义及其性质；理解空间向量的夹角的概念；掌握空间向量的数量积的概念、性质和运算律；了解空间向量的数量积的几何意义；能用向量的数量积判断向量的共线与垂直。1 .空间向量的概念向量：在空间，我们把具有大小和方向的量叫做向量。如位移、速度、力等。相等向量：长度相等且方向相同的向量叫做相等向量。表示方法：用有向线段表示，并且同向且等长的有向线段表示同一向量或相等的向量。说明：由相等向量的概念可知，一个向量在空间平移到任何位置，仍与原来的向量相等，用同向且等长的有向线段表示；平面向量仅限于研究
3、同一平面内的平移，而空间向量研究的是空间的平移。2 .向量运算和运算率OB = OA AB = a bBA=OA-OB=a-bOPfR)加法交换率：ab=ba.加法结合率：(ab)c=a(bc).数乘分配率：K(a+b)=a+九b.说明：引导学生利用右图验证加法交换率，然后推广到首尾相接的若干向量之和；向量加法的平行四边形法则在空间仍成立。3 .平行向量(共线向量广如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平行向量。a平行于记作a/。注意：当我们说5、I共线时，对应的有向线段所在直线可能是同一直线，也可能是平行直线；当我们说a、b平行时，也具有同样的意义。共线
4、向量定理：对空间任意两个向量a(aw0)、b,a/b的充要条件是存在实数九使b=九a(i)对于确定的九和a,b=九a表示空间与a平行或共线，长度为九ai,当九0时与a同向，当K0时与a反向的所有向量。(3)若直线l/a,Awl,P为l上任一点，O为空间任一点，下面根据上述定理来推导oP的表达式。推论：如果为经过已知点a且平行于已知非零向量a的直线，那么对任一点o点p在直线上的充要条件是存在实数t,满足等式其中向量a叫做直线的方向向量。OP = OA taOP =(1-t)OA+tOB.当t=L时，点P是线段AB的中点，则2OP1百=-(OA + OB ). 区在上取AB=a,则式可化为或叫做空
5、间直线的向量参数表示式，是线段AB的中点公式。注意：表示式（*）、（*）既是表示式，的基础，也是常用的直线参数方程的表示形式；推论的用途：解决三点共线问题。结合三角形法则记忆方程。4 .向量与平面平行：如果表示向量a的有向线段所在直线与平面口平行或a在值平面内，我们就说向量a平行于平面a,记作a/a0注意：向量a/与直线a/a的联系与区别。共面向量：我们把平行于同一平面的向量叫做共面向量。共面向量定理如果两个向量a、b不共线，则向量p与向量a、b共面的充要条件是存在实数对x、y,使p=xa+yb.注：与共线向量定理一样，此定理包含性质和判定两个方面。推论：空间一点P位于平面MA的的充要条件是存
6、在有序实数对x、y,使MP=xMA+yMB,或对空间任-一定点Q有OP=OM+xMA+yMB.在平面MA的，点P对应的实数对（x,y）是唯一的。式叫做平面MAB勺向量表示式。又MA=OAOM,.而=OBOM,.代入，整理得OP=（1xy）OM+xOA+yOB.由于对于空间任意一点P,只要满足等式、之一（它们只是形式不同的同一等式），点P就在平面MA的；对于平面MA明的任意一点P,都满足等式、，所以等式、都是由不共线的两个向量MA、MB（或不共线三点MAB）确定的空间平面的向量参数方程，也是MA、BP四点共面的充要条件。5 .空间向量基本定理：如果三个向量a、b、c不共面，那么对空间任一向量，存
7、在一个唯一的有序实数组x,y,乙使p=xa+yb+zc.说明：由上述定理知，如果三个向量5、bc不共面，那么所有空间向量所组成的集合就是%|p=xa+yb+zc,x、y、zwR上这个集合可看作由向量a、b、c生成的，所以我们把a,b,c叫做空间的一个基底，a,c都叫做基向量；空间任意三个不共面向量都可以作为空间向量的一个基底；一个基底是指一个向量组，一个基向量是指基底中的某一个向量，二者是相关联的不同的概念；（4）由于0可视为与任意非零向量共线。与任意两个非零向量共面，所以，三个向量不共面就隐含着它们都不是0。推论：设。ABC是不共面的四点，则对空间任一点P,都存在唯一的有序实数组x、y、z,
8、使OP=xOAyOBzOC.6 .数量积（i）夹角：已知两个非零向量a、b,在空间任取一点o彳oa=a,ob*=b,则角/aob叫做向量a与b的夹角，记作方，b）说明：规定owa,bh冗，因而a,b）=，b,a）；如果i、ab）=,则称a与b互相垂直，记作2在表示两个向量的夹角时，要使有向线段的起点（2）中的两个向量的夹角不同，图（1）中/AOBOA,OB）,重合，注意图（1）、从而有 -OA,ob = OA,-ob 二二图（2）中/AOB二一AO,OB,（2）向量的模：表示向量的有向线段的长度叫做向量的长度或模。（3）向量的数量积：qbcosa,b）叫做向量a、b的数量积，记作aboI_-(
9、1) ( a) b = ：；.(a b)- - 4 4 a b =b a444 j 4 j 4 a (b C) =a b a c即ab=abcosa,b),向量Ab在e方向上的正射影：ae=|AB|cosa,e二AB(4)性质与运算率ae=cos(a,e)0a，buab=0i，=aa.（三）.典例解析题型1：空间向量的概念及性质T-I4例1、有以下命题：如果向量a,b与任何向量不能构成空间向量的一组基底，那么a,b的关系是不共tT-I线；O,A,B,C为空间四点，且向量OAOBOC不构成空间的一个基底，那么点O,A,B,C一定共面;已知向量a,b,c是空间的一个基底，则向量a+b,a-b,c,
10、也是空间的一个基底。其中正确的命题是那么a, b的关系一定共线”；()。(A)(B)(C)(D)解析：对于“如果向量a,b与任何向量不能构成空间向量的一组基底,所以错误。正确。题型2：空间向量的基本运算例2、如图：在平行六面体ABCDAB1c1D1中，M为A1C1与B1D1的T*T*T4一交点。若AB=a,AD=b,AA=c,则下列向量中与BM相等的向量是（）(A)1 1 才 a b c221 . 1.1 . 1 / .(B) a b c (C) a b c2222_ 11 .(D) a - b c22解析: 1 - 1 * 1 1 4显然 BM =BB + B1M =(AD - AB) +
11、AA1 = a +一b +c ；答案为 A。,222点评：类比平面向量表达平面位置关系过程，掌握好空间向量的用途。用向量的方法处理立体几何问题，使复杂的线面空间关系代数化，本题考查的是基本的向量相等，与向量的加法.考查学生的空间想象能力。例 3、已知：a =3m -2n-4p = 0,b = (x +1)m +8n +2yp,且 m,n, p 不共面.若 a / b ,求 x, y 的值.解：: a / b ,且 a 0,. b = ?、a,即(x +1)m + 8n + 2yp = 3km 2Kn 4，p.- - -x 182 y又；m,n, p不共面，-=x = -13, y =8.3-2
12、-4点评：空间向量在运算时，注意到如何实施空间向量共线定理。例4、底面为正三角形的斜棱柱ABO A1B1G中，D为AC的中点，求证:AB/平面 GBD.证明：t己 AB,AC $, AA1,贝11 -ABi 与-+c,DBzzABUD 田 b, DC=DC4CC1 =-b +cDB +DC1z=a+c =AB，, AB，DB, DC 1 共面.Bi 建平面 CBD, ABi 平面 C1BD.（四）强化巩固导练1、已知正方体ABCD-A1B1C1D1 中，点 F是侧面 CDDC1 的中心，若 AF =AD+xAB+yAA1 ,求 xy 的值.解：易求得 x = y , x y =02在平行六面体
13、 ABCD AB1clD1中，M为AC与BD的交点，若 A1B；=a, A5=b, A1A = c,则下列向量2、中与B；M相等的向量是（a ）A. -la+ 1 b+c B.22C. 1 a-1 b+c221 a+ lb+ c22D. -1 a-1 b+ c223、（2009四川卷理）如图，已知正三棱柱ABC - AB1C1的各条棱长都相等， M是侧 棱CCi的中点,则异面直线ABi和BM所成的角的大是解析：不妨设棱长为 2,选择基1-向量BA,BB1,BC,则AB1=BB1-BA,BM=BC-BB121（BBi-BA）-（BC2BBi）0.220ocosAB1,BMR产_=L_=0,故填写
14、900。2 2v522.5（五）、小结：1.立体几何中有关垂直和平行的一些命题，可通过向量运算来证明.对于垂直，一般是利用a，b=a-b=0进行证明.对于平行，一般是利用共线向量和共面向量定理进行证明.2.运用向量求解距离问题，其一般方法是找出代表相应距离的线段所对向量，然后计算这个向量对应的模.而计算过程中只要运用好加法法则，就总能利用一个一个的向量三角形，将所求向量用有模和夹角的已知向量表示出来，从而求得结果.3.利用向量求夹角（线线夹角、线面夹角、面面夹角）有时也很方便.其一般方法是将所求的角转化为求两个向量的夹角，而求两个向量的夹角则可以利用公式*cos0=ab.4.异面直线间的距离的向量求法：已知异面直线11、12,AB为其公垂线段，CDab*f分别为11、12上的任意一点，n为与AB共线的向量，则IABI=1cDn|.5.设平面a的一个法向量|nI为n,点P是平面a外一点，且PoCa,则点P到平面a的距离是d=1Pop二|n|第二课时空间向量的坐标运算（一）、基础知识过关（学生完成下列填空题）1、空间直角坐标系：（1）若空间的一个基底的三个基向量互相垂直，且长为1,这个基底叫单位正交基底,444444用i,j,k表示；（2）在空
