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1、常用逻辑用语一、知识梳理1、四种命题的真假关系一个命题的真假与其他三个命题的真假有如下三条关系：原命题为真，它的逆命题不一定为真；例如，原命题“若a=0,则ab=O”是真命题，但它的逆命题“若ab=O, 则a=0”是假命题.原命题为真，它的否命题不一定为真；例如，原命题“若a=0,则ab=0”是真命题，但它的否命题“若a式0, 则ab 0”是假命题.原命题为真，它的逆否命题一定为真.例如，原命题“若a=0,则ab=0”是真命题，它的逆否命题“若ab 0,则a式0”是真命题.结论：两个互为逆否的命题同真或同假（如原命题和它的逆否命题，逆命题和否命题），其余情况则不定同真或同假（如原命题和逆命题，
2、否命题和逆否命题等）.2、充分条件、必要条件 若，但qp，则尹是堺的充分但不必要条件; 若qp，但，则左是堺的必要但不充分条件； 若p = q，且qp，则左是堺的充要条件； 若，且下二飞，贝I戸是堺的充要条件； 若，且堺书戸，则左是堺的既不充分也不必要条件.3、简单的逻辑联接词逻辑连结词“或”，“且”，“非”。（1）构造复合命题的方式：简单命题+逻辑连结词（或、且、非）+简单命题。（2）复合命题的真假判断：PQ非pp或qp且q真真假直真真假假直假假真真真假假假真假假注意：“命题的否定”与“否命题”是两个不同的概念：前者只否定结论，后者结论与条件共同否定。4、全称量词与存在量词全称命题、特称命题
3、（含有全称量词的命题叫全称命题，含有存在量词的命题叫特称命题）（1）关系：全称命题的否定是特称命题，特称命题的否定是全称命题。（2）全称量词与存在量词的否定。关键词否定词关键词否定词关键词否定词关键词否定词都是不都是至少一个一个都没有至多一个至少两个属于不属于(3)常用的正面叙述词语和它的否定词语的关系(如下表)：正面词语等于(=)大于()小于(V)有是都是全是否定词语不等于(式)不大于(玉)不小于(X)无不是不都是不全是正面词语任意的任意两个至少有一个至多有一个所有的至多有熬个或否定词语某个某两个一个也没有至少有两个某些至少有熬*1个且二、典型误区例1判断下列语句是否是命题？(1) 2008
4、年5月12日在四川汶川县难道没有发生了里氏&0特大级地震吗?(2) 对(x1)2冬0,有 2x 1V0.误区二：混淆逻辑联结“或”与日常生活中的或”例2若命题p：方程(x+2)(x1)=0的根是一2,命题q：方程(x + 2)(x1)=0的根是1,则命题“方 程(x + 2)(x1) =0的根是一2或1”是傾“真”或“假”)命题.误区三：忽视对关键词“且”、“或”的否定例5写出命题“若(x 1)2+(y 3)2=0,则x=1,且y = 3”的逆否命题.误区四：忽视对全称量词与特称量词的否定例10已知命题p：对所有的实数m,方程x2+xm=0必有实数根，写出p.误区五：忽视命题中的“隐性量词”的
5、挖掘例10写出命题p：“菱形的对角线相等”的p形式.三、题型归纳一、题型一：命题、真命题、假命题的判断1. 例1:下列语句是命题的是()A. 梯形是四边形B.作直线ABC. x是整数 D.今天会下雪吗2、例2.下列说法正确的是()A. 命题“直角相等”的条件和结论分别是“直角”和“相等”B. 语句“最高气温30 C时我就开空调”不是命题C. 命题“对角线互相垂直的四边形是菱形”是真命题D. 语句“当a4时，方程X24x+a=0有实根”是假命题 变式练习：下列命题是真命题的是()A. 是空集B.是无限集C. n是有理数D. X25x=0的根是自然数二、题型二：复合命题的结构例3将下列命题改写成“
6、若P,则q”的形式，并判断命题的真假:(1) 6是12和18的公约数；(2) 当a 1时，方程ax2+2x1=0有两个不等实根；(3) 已知x、y为非零自然数，当yx=2时，y=4, x=2.变式练习：指出下列命题的条件P与结论q,并判断命题的真假:(1) 若整数a是偶数，则a能被2整除；(2) 对角线相等且互相平分的四边形是矩形；(3) 相等的两个角的正切值相等.三、题型三：命题真假判断中求参数范围例4、已知p： X2+mx+1 = 0有两个不等的负根，q：方程4x2+4(m2)x+1 = 0(mUR)无实根，求使p为 真命题且q也为真命题的m的取值范围.四、题型四：四种命题的等价关系及真假
7、判断n例5.命题“若 ABC有一内角为3，贝ABC的三内角成等差数列”的逆命题()A.与原命题同为假命题B.与原命题的否命题同为假命题C.与原命题的逆否命题同为假命题D.与原命题同为真命题例6.命题“若f(x )是奇函数，则f( x)是奇函数”的否命题是()A. 若f(x)是偶函数，则f( x)是偶函数B. 若f(x)不是奇函数，则f( x)不是奇函数C. 若f(x)是奇函数，则f(x)是奇函数D. 若f(x)不是奇函数，则f(x)不是奇函数例7.若“xy,则X2y2”的逆否命题是()A.若 xWy,则 X2Wy2B.若 xy,则 X2y2C.若 X2Wy2，则 xWy D.若 xy,则 X2
8、y2例8.给出下列命题： 命题“若b24ac0,则方程ax2+bx+c=0(aH0)无实根”的否命题； 命题“ AABC中，AB=BC=CA,那么AABC为等边三角形”的逆命题；3 3 命题“若abO,贝iabO”的逆否命题； “若ml,则mx2 2(m+l)x+(m3)0的解集为R”的逆命题.其中真命题的序号为.变式练习.若命题p的逆命题是q,命题q的否命题是r,则p是r的()A.逆命题 B.逆否命题 C.否命题 D.以上判断都不对五、题型五：问题的逆否证法例9.判断命题“若m0,则方程X2+2x3m=0有实数根”的逆否命题的真假.六、题型六：判断条件关系及求参数范围n例 10.“x=2kn
9、 + 4 （kuz） ”是 “tan x=l” 成立的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件例11、设A是B的充分不必要条件，C是B的必要不充分条件，D是C的充要条件，则D是A的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件例12.已知条件p：1WxW10, q： X24x+4m2W0（m0）不变，若非p是非q的必要而不充分条件, 如何求实数m的取值范围？变式练习1：已知条件：p： y=lg（x2+2x3）的定义域，条件q： 5x6X2，则q是p的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件1变式练习2已知p： 2WxW1,C.充
10、要条件D.既不充分也不必要条件q： aWxWa+1,若p的必要不充分条件是q,求实数a的取值范围.七、充要条件的论证 例13求证：OWa5是不等式ax2ax+1a0对一切实数x都成立的充要条件.八、命题真假值的判断例14.如果命题“pVq”与命题“非p”都是真命题，那么（）A.命题p不一定是假命题B.命题q 定为真命题C.命题q不一定是真命题D.命题p与命题q的真假相同九、命题的否定与否命题例15.命题“若a2B. a三2C. a 2D. 2a0,则命题“p且q”是命题.（填“真”或“假”）变式练习2：已知命题p： mxUR,使tanx=1,命题q： X23x+20的解集是x|1x2，下列结
11、论：命题“pAq”是真命题；命题pA-q”是假命题；命题“pVq”是真命题；命题“pV-q” 是假命题，其中正确的是（）A. B. C. D.十一、综合训练典型题x2一x一6 W0, 例18.设命题p：实数x满足X2 4ax+3a20，其中a0,命题q：实数x满足x2 + 2x 80.若a=1,且pAq为真，求实数x的取值范围；（2）非p是非q的充分不必要条件，求实数a的取值范围.变式练习2：已知命题p：函数y=X2+2(a2 a)x+a42a3在2,+)上单调递增.q：关于x的 不等式ax2ax+10解集为R.若pAq假，pVq真，求实数a的取值范围.四、提高训练例1.判断下列语句是不是命题
12、，若是，判断出其真假，若不是，说明理由。(1) 矩形难道不是平行四边形吗？(2) 垂直于同一条直线的两条直线必平行吗？(3) 求证：工在迓，方程X3+1+1=0无实根.(4) x5(5) 人类在2020年登上火星.例2.写出“若1=2或8=目，则分51+6 = 0”的逆命题、否命题、逆否命题及命题的否定，并判其真假。例3.(06年上海卷)在平面直角坐标系奴中，直线，与抛物线肚相交于A、B两点.4(1) 求证：“如果直线I过点T (3, 0),那么加-皿=3”是真命题；(2) 写出(1)中命题的逆命题，判断它是真命题还是假命题，并说明理由.例4.已知吐(叨，求证：Q-吧Q-吐，三式中至少有一个不
13、大于彳.例5.求关于工的方程云*加的两个实根都大于1的充要条件。例6.已知数列%、久、4，其中%、叱是等比数列对于任意正整数都成等差数列，且中式。试证明:“数列%成等比数列”的充要条件是“数列%与久公比相例7.设命题E牡业1 ；命题旷云-g*环*血+-,若s是r的必要不充分条件，求实数皿的取值范围.例&已知集合“二闰严臧“打尸二国仗-晚-8)兰堂(1)求实数。的取值范围，使它成为MnP = r|5r-的充要条件；求实数。的一个值，使它成为MnP = W5X-a?的一个充分但不必要条件;MCI P = r|5r(3)求实数。的取值范围，使它成为的一个必要但不充分条件.例9.在一次模拟射击游戏中，小李连续射击了两次，设命题丹：“第一次射击中靶”， 命题眄：“第二次射击中靶”，试用丹，丹及逻辑连结词“或”“且”“非”表示下列命题:(1) 两次射击均中靶；(2) 两次射击均未中靶；(3) 两次射击恰好有一次中靶;(4) 两次射击至少有一次中靶.例10.(
