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1、第四讲数字特征与极限定理考试要求1. .理解随机变量数字特征（数学期望、方差、标准差、矩、协方差、相关系数）的概 念，会运用数字特征的基本性质，并掌握常用分布的数字特征.2. .会根据随机变量X的概率分布求其函数 g（X）的数学期望Eg（X）;会根据随机变量 X 和丫的联合概率分布求其函数 g（X,Y）的数学期望Eg（X,Y）.3. 了解切比雪夫不等式.4. 了解切比雪夫大数定律、伯努利大数定律和辛钦大数定律（独立同分布随机变量的 大数定律）5. 了解棣莫弗一拉普拉斯定理（二项分布以正态分布为极限分布）和列维林德伯格定理（独立同分布的中心极限定理）；（经济类还要求）会用相关定理近似计算有关随机
2、事件 的概率一、数学期望与方差(标准差)1 .定义(计算公式)离散型P1X=K)=R, E(X)= x R-ha连续型 X f (x), E(X)= j_xf(x)dx方差：D(X) =E(X -E(X)2 =E(X2) - E(X) 2标准差： D(X),2 .期望的性质：1。E(C)=C,E(E(X)=E(X)2 E(C1X+C2Y) =C1E(X)+C2E(Y)3。若X与丫独立，则E(XY) = E(X)E(Y)4 E(XY) 2 E(X2)E(Y2)3 .方差的性质：1。D(C)=0,D(E(X)=0,D(D(X)=02 X与Y相互独立，则 D(X 土Y) = D(X)+ D(Y)一
3、一一 2 一3。D(GX +C2) =C12D(X)4 一般有 D(X Y) = D(X)十 D(Y)2Cov(X,Y)= D(X) D(Y) _2：, D(X) ., D(Y)5。D(X) 0)P(X,Y)=_1u P(Y=aX+b)=1(a0)3、下面5个条件互为充要条件：(1) P(X,Y)=0(2) Cov(X,Y)=0(3) E(XY) =E(X)E(Y)(4) D(X +Y)=D(X)十D(Y) D(X Y) =D(X)+D(Y)【例7】设X1，X2，Xn(nA2)为独立同分布的随机变量 ，且均服从N(0,1)，记一 1X =-Z Xi , Yi =Xi -X,i =1,2,，n.
4、求: n i 1(I) Yi 的方差 D(Y), i =1,2，n ;(II) Y1 与Yn的协方差 Cov(,Yn);(III) PY1 +Yn 0.四、极限定理1 .切比雪夫不等式D(X)-1-2-. D(X)P| X E(X)户后 -2-,或Pt| X - E(X) |2 .大数定律3 . Poisson 定理4 .中心极限定理列维一林德伯格定理：设随机变量X1, X2,，,相互独立同分布，且E(Xi) =N,D(Xi) =。2, i =1,2,Hl,n,IH ,则对任意正数 x,有l i mPn .:二!Z XnN、t2e td棣莫弗一拉普拉斯定理：设 B(n, p),(即X, X2,，X,相互独立,同服从01 e-；dt e dt.21分布)则有n -npxlim P -=np 0.999.【详解】设X为该日到银行领取本息的总人数，则 XB (500, 0.4 )所需支付现金为1000X,为使银行能以99.9%的把握满足客户的兑换，设银行该日应准备现金 x元，则P (1000 X& x) 0.999.由棣莫弗一拉普拉斯中心极限定理知：P(1000X x) = P(X_X 二500_0.4500 0.4 0.6上1000 x 233958.798. 0.999 = ：。(3.1).因此银行于该日应准备234000元现金才能以99.9%的把握满足客户的兑换
