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1、平抛运动常见题型及应用专题（一）平抛运动的基础知识1 .定义：水平抛出的物体只在重力作用下的运动。2 .特点：（1）平抛运动是一个同时经历水平方向的匀速直线运动和竖直方向的自由落体运动的 合运动。（2）平抛运动的轨迹是一条抛物线，其一般表达式为y ax2 bx c。（3）平抛运动在竖直方向上是自由落体运动，加速度 a g恒定，所以竖直方向上在 相等的时间内相邻的位移的高度之比为s1 : s2 ： s3 1:3: 5竖直方向上在相等的时间内相邻的位移之差是一个恒量 sIII sII sII sI gT2。（4）在同一时刻，平抛运动的速度（与水平方向之间的夹角为）方向和位移方向（与水平方向之间的夹
2、角是）是不相同的，其关系式tan 2tan （即任意一点的速度延长线必交于此时物体位移的水平分量的中点）。3 .平抛运动的规律描绘平抛运动的物理量有v0、vy、v、x、y、s、t,已知这八个物理量中的任意两个，可以求出其它六个。（二）平抛运动的常见问题及求解思路关于平抛运动的问题，有直接运用平抛运动的特点、规律的问题，有平抛运动与圆周 运动组合的问题、有平抛运动与天体运动组合的问题、有平抛运动与电场（包括一些复合 场）组合的问题等。本文主要讨论直接运用平抛运动的特点和规律来求解的问题，即有关 平抛运动的常见问题。1.从同时经历两个运动的角度求平抛运动的水平速度求解一个平抛运动的水平速度的时候，
3、我们首先想到的方法，就应该是从竖直方向上 的自由落体运动中求出时间，然后，根据水平方向做匀速直线运动，求出速度。例1如图1所示，某人骑摩托车在水平道路上行驶，要在 A处越过x 5m的壕沟，沟面 对面比A处低h 1.25m ,摩托车的速度至少要有多大？1 一x.，丁号A-h解析：在竖直方向上，摩托车越过壕沟经历的时间2h t g2 1-25S 0.5s10在水平方向上，摩托车能越过壕沟的速度至少为x 5v0 m/s 10m/st 0.52 .从分解速度的角度进行解题对于一个做平抛运动的物体来说，如果知道了某一时刻的速度方向，则我们常常是“从分解速度”的角度来研究问题。例2如图2甲所示，以9.8m
4、/s的初速度水平抛出的物体，飞行一段时间后，垂直地撞在3A. s3倾角 为30的斜面上。可知物体完成这段飞行的时间是（2 3八B. s C. 、,3s D. 2s3V0VxVt30乙甲图2解析：先将物体的末速度 Vt分解为水平分速度 Vx和竖直分速度Vy （如图2乙所示）。所以Vx V0 ；又因为Vt与根据平抛运动的分解可知物体水平方向的初速度是始终不变的,Vy gt就可以求出时间t 了。则斜面垂直、Vy与水平面垂直，所以Vt与Vy间的夹角等于斜面的倾角。再根据平抛运动的Vx分解可知物体在竖直方向做自由落体运动，那么我们根据tanvy所以 vy -v 98m/s 9.8 3m/stan tan
5、 3013根据平抛运动竖直方向是自由落体运动可以写出Vygt所以t 之%且3s g 9.8所以答案为Co3 .从分解位移的角度进行解题对于一个做平抛运动的物体来说，如果知道了某一时刻的位移方向（如物体从已知倾 角的斜面上水平抛出，这个倾角也等于位移与水平方向之间的夹角），则我们可以把位移 分解成水平方向和竖直方向，然后运用平抛运动的运动规律来进行研究问题（这种方法， 暂且叫做“分解位移法”）例3在倾角为的斜面上的P点，以水平速度Vo向斜面下方抛出一个物体，落在斜面上的Q点，证明落在 Q点物体速度v v0V1 4tan2解析：设物体由抛出点 P运动到斜面上的 Q点的位移是1,所用时间为t,则由“
6、分解 位移法”可得，竖直方向上的位移为h 1sin ；水平方向上的位移为 s 1cos 。又根据运动学的规律可得12竖直方向上h gt , vy gt水平方向上s Vot1.2h 2 gt Vy贝U tan- ,Vy 2vo tansVot2Vo所以Q点的速度v0、1 4 tan2例4如图3所示，在坡度一定的斜面顶点以大小相同的速度Vo同时水平向左与水平向右抛出两个小球 A和B,两侧斜坡的倾角分别为 37和53，小球均落在坡面上，若不计空 气阻力，则 A和B两小球的运动时间之比为多少？ABVo : Vo3753解析：37和53都是物体落在斜面上后，位移与水平方向的夹角，则运用分解位移 的方法可
7、以得到1.2一gtXtan-gxVot2Vo所以有tan 37gt12Vo同理tan53gt22v o则 t1：t29:164.从竖直方向是自由落体运动的角度出发求解在研究平抛运动的实验中，由于实验的不规范，有许多同学作出的平抛运动的轨迹， 常常不能直接找到运动的起点（这种轨迹，我们暂且叫做“残缺轨迹”），这给求平抛运 动的初速度带来了很大的困难。为此，我们可以运用竖直方向是自由落体的规律来进行分 析。例5某一平抛的部分轨迹如图 4所示，已知Xi X2 a, % b , 丫2 c，求Vo。Xi X2T八十b1 -y1Ai 7IT rBlV2图4解析：A与B、B与C的水平距离相等，且平抛运动的水
8、平方向是匀速直线运动，可 设A到B、B到C的时间为T,则x1 x2 v0T又竖直方向是自由落体运动，则2y y2 yi gT代入已知量，联立可得V0 a-. g 1c b5 .从平抛运动的轨迹入手求解问题例6从高为H的A点平抛一物体，其水平射程为2s,在A点正上方高为2H的B点,向同一方向平抛另一物体，其水平射程为So两物体轨迹在同一竖直平面内且都恰好从同一屏的顶端擦过，求屏的高度。1y BF E x图5解析：本题如果用常规的“分解运动法”比较麻烦，如果我们换一个角度，即从运动轨迹入手进行思考和分析,的运动的轨迹都是顶点在问题的求解会很容易，如图y轴上的抛物线，即可设A、5所示，物体从A、B两
9、点抛出后B两方程分别为_ 2.-y ax bx c则把顶点坐标A程组(02y ax bx cH)、B (0, 2H)、E0)、F ( S, 0)分别代入可得方2HH 4s2 2H2s6 一这个方程组的解的纵坐标y h ,即为屏的高。76 .灵活分解求解平抛运动的最值问题例7如图6所示，在倾角为的斜面上以速度Vo水平抛出一小球，该斜面足够长，则从抛出开始计时，经过多长时间小球离开斜面的距离的达到最大，最大距离为多少？. VV0 O9*x图6解析：将平抛运动分解为沿斜面向下和垂直斜面向上的分运动，虽然分运动比较复杂 一些，但易将物体离斜面距离达到最大的物理本质凸显出来。取沿斜面向下为x轴的正方向，
10、垂直斜面向上为y轴的正方向，如图 6所示，在y轴上，小球做初速度为 v0 sin 、加速度为g cos的匀变速直线运动，所以有22vy (v0 sin ) 2gycos vy v0 sing cos t 当Vy 0时，小球在y轴上运动到最高点，即小球离开斜面的距离达到最大。由式可得小球离开斜面的最大距离H y (V0sin j2g cos当Vy 0时，小球在y轴上运动到最高点，它所用的时间就是小球从抛出运动到离开斜面最大距离的时间。由式可得小球运动的时间为t tang7 .利用平抛运动的推论求解推论1 :任意时刻的两个分速度与合速度构成一个矢量直角三角形。V1和v2,初例8从空中同一点沿水平方
11、向同时抛出两个小球，它们的初速度大小分别为 速度方向相反，求经过多长时间两小球速度之间的夹角为90 ?图7解析：设两小球抛出后经过时间 t,它们速度之间的夹角为 90 ,与竖直方向的夹角分 别为 和 ,对两小球分别构建速度矢量直角三角形如图7所示，由图可得cot M 和Vigt又因为90 ,所以cot tan由以上各式可得 以 ,解得t 一 V1V2vigtgt,小球推论2:任意时刻的两个分位移与合位移构成一个矢量直角三角形 例9宇航员站在一星球表面上的某高度处，沿水平方向抛出一个小球，经过时间落到星球表面，测得抛出点与落地点之间的距离为l,若抛出时初速度增大到两倍，则抛出点与落地点之间的距离
12、为 J31。已知两落地点在同一水平面上，该星球的半径为R,万有引力常数为G,求该星球的质量 Mo解析：设第一次抛出小球，小球的水平位移为X,竖直位移为h,如图8所示，构建位移矢量直角三角形有 22 2 I 2x h l若抛出时初速度增大到2倍，重新构建位移矢量直角三角形，如图9所示有,(2x)2 h2(3l)2由以上两式得h 1.3一 1 C令星球上重力加速度为 g ,由平抛运动的规律得 h 1gt2由万有引力定律与牛顿第二定律得GMmmgR2由以上各式解得M 2 3lR推论3:平抛运动的末速度的反向延长线交平抛运动水平位移的中点。D为末证明：设平抛运动的初速度为 Vo,经时间t后的水平位移为
13、X,如图10所示,速度反向延长线与水平分位移的交点。根据平抛运动规律有 水平方向位移x v0t竖直方向Vy gt和y 1gt2由图可知，ABC与 ADE相似，则v0 -DE-vy y联立以上各式可得 DE x2该式表明平抛运动的末速度的反向延长线交平抛运动水平位移的中点。OE-* x*y图io推论4:平抛运动的物体经时间t后，其速度Vt与水平方向的夹角为，位移S与水平方向的夹角为，则有tan 2tan证明：如图13,设平抛运动的初速度为 v0,经时间t后到达A点的水平位移为 x、速度为Vt ,如图所示，根据平抛运动规律和几何关系:在速度三角形中tan在位移三角形中tanvygtVo vo ,2
14、.ygtgtx2v0t2vo2 tan图13由上面两式可得tan图144可得tan 2tan 2tan30 ,所以3tan2 3由三角知识可得cos3, 21例11 一质量为m的小物体从倾角为 30的斜面顶点A水平抛出，落在斜面上 B点，若物体到达B点时的动能为35J,试求小物体抛出时的初动能为多大？（不计运动过程中的空 气阻力）解析：由题意作出图14,根据推论又因为vt cos 1291,所以初动目匕EkA mv0 EkB 15J kA _0_ . kB221例12如图15所示，从倾角为 斜面足够长的顶点 A,先后将同一小球以不同的初速度水 平向右抛出，第一次初速度为v1，球落到斜面上前一瞬间的速度方向与斜面的夹角为1第二次初速度丫2 ,球落在斜面上前一瞬间的速度方向与斜面间的夹角为2 ,若丫2 M ,试比较 1和2的大小。A-Vi a1 -r* v2 /82图15解析：根据上述关系式结合图中的几何关系可得tan( ) 2 tan所以 arctan(2 tan )此式表明仅与 有关，而与初速度无关，因此12。即以不同初速度平抛的物体落在斜面上各点的速度方向是互
