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1、高等数学复习考试（下册）第8章 空间解析几何与向量代数一、向量及其运算1、空间直角坐标系空间直角坐标系：三条两两垂直相交于原点的坐标轴，轴、轴和轴构成右手关系。（1） 学会：a）找出空间中给定点的坐标。b）找出空间中以给定为坐标的点。c）空间各部分点坐标的特点。（2） 两点、的距离公式2、向量（1）向量的概念数量：只有大小；向量：既有大小又有方向。向量只有大小和方向。在空间中用有向线段表示向量。其长度表示向量的大小也称为模或范数；其方向表示向量的方向。一个向量可以放在空间中任意位置。（2）特殊向量零向量：大小为0。任意方向都是的方向。只有一个零向量。单位向量：大小为1。有无穷多个单位向量。如果
2、，则是与方向一致的单位向量，称为的单位化。（3）两向量的关系向量和有夹角。当时说；当时说。（4）向量的坐标把向量的始点放在原点，得的终点，则有的分解式其中是标准单位向量。是向量的坐标。分别是在、轴上的投影；分别是在、轴上的投影向量。向量与坐标一一对应。向量的理论分为两部分：用几何描述的向量理论和用坐标描述的向量理论。两部分理论对应地出现，互相翻译。设、，则（终点坐标减始点坐标。）始点坐标、终点坐标、向量坐标知其二求第三。（5）模和方向余弦设，则其中分别是与、轴的夹角，它们支定了的方向。一次性求出三个方向余弦：3、向量运算（1）加减法a）几何方法 两向量用平行四边形法则或三角形法则（接龙法）相加
3、。 与大小相等方向相反。b）坐标方法设，则（2）数乘向量a）几何方法。的方向：当时与同向；当时与反向。b）坐标方法（3）两向量的数量积a）几何方法b）坐标方法设，则c）物理意义位移外力做的功（4）两向量的向量积 是一个新的向量。a）几何方法；成右手关系。b）坐标方法设，则c）几何意义以为边的平行四边形的面积。（5）三向量的混合积a）。b）几何意义以为边的平行六面体的体积。（6）熟悉各种运算的运算律。4、平行、垂直、共面条件（1）设。下列命题等价：a）；b）存在实数使得；c）；d）。（2）下列命题等价：a）；b）；（3）共面。二、空间解析几何1、一般概念空间几何对象：曲面和曲线。平面是特殊的曲面
4、，直线是特殊的曲线。空间解析几何就是用代数方程研究几何对象。几何对象和它的代数方程的关系如下：（1）上每点的坐标都满足方程；（2）坐标满足方程的点都在上。空间解析几何的主要任务:（1）根据已知条件写出几何对象的方程；（2）根据几何对象的方程分析几何对象的形状。2、空间解析几何（1）平面a）点法式方程其中是的随便一个固定的法向量，是随便固定的一点。利用条件求出即可写出平面的点法式方程。b）一般方程其中是的法向量。轴可以用一般式方程写满足条件的平面方程。利用条件求出即可写出平面的一般方程。c）三点式方程i）取ii）写出点法式方程。d）截距式方程如果平面与轴分别交于非原点，则e）点到平面的距离f）设
5、则（2）直线a）点向式方程其中是的随便一个固定的方向向量，是随便固定的一点。利用条件求出即可写出直线的点向式方程。b）参数方程其中是的随便一个固定的方向向量，是随便固定的一点，是参数。c）一般方程作为平面和的交线。d）点向式方程化为一般方程e）一般方程化点向式方程：i）求出方程组的一个解；ii）取；iii）用和写出点向式方程。f）两直线的夹角直线与平面的夹角g）过直线的平面束用已知条件确定，从而在平面束中求出满足要求的平面。（3）常见的空间曲面（1）柱面二元方程在空间中表示母线平行于轴的柱面。（2）旋转曲面曲线绕轴旋转一周得的旋转曲面的方程为其它曲线绕其它轴转的情况类似（请你试写出来）。（3）
6、二次曲面a）学会用“截痕法”分析曲面的形状。b）熟悉P56-P64列出的各种二次曲面及它们的方程。c）特别常用的曲面：柱面、锥面、（椭）球面、抛物面。（4）空间曲线a）空间曲线的一般方程（曲线作为两曲面的交线）参数方程b）由一般方程写参数方程的常用方法：先由一般方程变形出；令；再进一步写出参数方程。c）曲线在坐标平面上的投影由方程消去得到在面上的投影第9章 多元函数微分法及其应用一、 多元函数的极限和连续性1 多元函数的极限（1）计算多元函数极限的方法：（i）要善于变形；（ii）把一组东西看出一个整体，转化为一元函数的极限，再用一元函数求极限的方法求极限。（2）证明极限不存在：举一些的方式（比
7、如），使极限不存在或与方式（）有关。2 多元函数的连续性（1）证明在点不连续：（i）用前面方法证明不存在；或（ii）求出。（2）证明在点连续就是证明。二、 偏导数和全微分1偏导数（1）在点的偏导数分两步：（i）作一元函数；（ii）。因此（2）偏导数的几何意义：（i） = 曲线在点切线对轴的斜率；（ii）曲线在点切线对轴的斜率 = 。关于完全类似。（3）当相应的高阶导数连续时，高阶偏导数与求导次序无关。2全微分（1）全微分概念如果存在与和无关的和使则称在点可微。在点的全微分 关于任意点的全微分，上面改为。当是复合函数的中间变量时，全微分公式也一样。（2）如果在点可微，则在点的偏导数都存在，并且（
8、3）（i）在点可微(ii)证明在点不可微就是证明极限不存在或不为0。3 导数的计算（1）一般函数求导方法：（i）保留求导变元，固定其他变元为常数，得一元函数；（ii）对此一元函数求导。（2）复合函数求导方法：（i）画复合函数图；（ii）根据复合函数图写求导公式（设对求导）：每个所在的路径都对应一项：此路径中的每个相邻函数关系都求导，这些导数相乘作公式的一个求导项；（iii）根据求导公式求得偏导数。（iv）利用低阶偏导数求高阶偏导数，遇到求偏导函数的导数时，各阶偏导函数与原函数有相同的函数图。（复合函数求导一定要求到底！）（3）隐函数求导方法：（i）把隐函数变量看作其它变量的函数得恒等式（组）；
9、（ii）对恒等式（组）两边求导得含所求导数的方程（组）；（iii）解方程（组）得所求导数；（iv）求隐函数的高阶偏导数有两种方法：(a) 利用低阶偏导数求高阶偏导数；(b)继续对求低阶导数时得的方程（组）求导，得含高阶导数的方程（组），解此方程（组）得高阶导数。不管用哪种方法，都要代入低阶导数的结果，都要清清楚楚地知道哪里含有要求导的变量。隐函数求导也可解出隐函数再求导。反函数看作隐函数处理。4 连续、可导、可微、偏导数连续的关系可导偏导数连续 th C3 可微连续 C2 C3 th反例：；都在(0,0)点。要熟悉一些典型例题。三、 多元函数微分法的应用1曲线在的切向量切线：法平面：如果则用作
10、参数。（用或作参数的情况类似）2曲面在点的法向量切平面：法线：当曲面以参数方程给出时，消去参数变成一般方程再做。3 方向导数与梯度（1）在点沿方向的方向导数其中是的方向余弦。 求在点沿方向的方向导数的方法：（i）求导；（ii）求的方向余弦；（iii）代入上面公式。有时要用上面极限求方向导数。（2）在点的梯度 梯度是方向导数最大的方向，梯度的反方向是方向导数最小的方向，与梯度垂直方向的方向导数为0：。梯度是等值面的法向量。4 极值与最值（1）无条件极值 如果存在去心邻域使则称为的极值点，称为的极值。可见，极值是小范围的最值。如果在点有二阶偏导数，必要条件：；充分条件： 其中。解无条件极值问题的方
11、法：（i） (ii)用定义对逐点判定；用充分条件对逐点判定。是否极值点，是极大值点还是极小值点，一定要有明确的结论；(iii)必要时求出相应的极值。（2）最值 在(闭)区域上的最大（小）值点有两种可能 因此求最大（小）值的方法：（i）求在的最大值（最小值）；（ii）求出（iii）结果 如果根据问题的实际知：最大（小）值在内部取得，并且，在内部到处可导且只有唯一个驻点或导数不存在的点，则这点就是最大（小）值点。5 条件极值条件极值问题的解法：（i）写拉格朗日函数；（ii）求函数非条件极值的驻点（不用解出）；（iii）根据问题的实际判断每个驻点是否极值点，是极大值点还是极小值点。6泰勒公式设函数充
12、分可导，则其中。有时可以把一组东西看作一个，利用一元函数写出关于的泰勒公式，再把代回得到原函数的泰勒公式。四、相关题目1求多元函数的极限；2证明多元函数在某点的极限不存在；3证明多元函数在某点不连续（连续）；4求给定多元函数（在某点）的偏导数；5求多元函数（在某点）的全微分；6求多元复合函数、隐函数的一阶或高阶偏导数，或全微分；7求曲线在某点的切线方程、法面方程；求曲面在某点的切面方程、法线方程；（可能要先 根据已知写出方程）8求给定函数在某点的梯度，在某点沿某方向的方向导数；9求函数的极值、最大（小）值、条件极值；10证明多元函数在某点不可导（不可微或导函数不连续）。第10章 重积分一、二重
13、积分1二重积分的概念 设是平面上的有界闭区域，是上有界函数。分割：把分割为个小区域：“近似”： ，作求和：取极限：记，当有了实际意义，也相应地有实际意义。例如，如果是质量面密度，则二重积分就是的总质量；当是以为底的曲顶柱体的高度函数时，二重积分是此曲顶柱体的体积。2二重积分的性质（1）线性性（2）可加性 如果分割成两个区域和，则（3）单调性 如果则特别，如果则如果则其中是的面积。（4）中值定理 如果在上连续，则存在使其中是的面积。3二重积分的计算（1）直角坐标 43 / 43 X-型区域 其中，小边界：；大边界：。 y D x O a b Y-型区域其中，小边界：；大边界：。 y d D c O x 如果是X-型区域，则（后积分） 如果是Y-型区域，则（后积分） 如
