第1讲分类加法计数原理与分步乘法计数原理

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1、第 1 讲 分类加法计数原理与分步乘法计数原理、知识梳理1.两个计数原理两个计数原理目标策略过程方法总数分类加法宀 完成有两类不在第1类方案中有m种不冋的N = m+ n种不同计数原理冋的方案方法，在第2类方案中有n种不同的方法的方法分步乘法件需要两做第1步有m种不同的方法，N = mx n种不同计数原理事个步骤做第2步有n种不同的方法的方法2两个计数原理的区别分类加法计数原理与分类有关，各种方法相互独立，用其中的任一种方法都可以完成这件事；分步乘法计数原理与分步有关，各个步骤相互依存，只有各个步骤都完成了，这件事才算完成.常用结论三个易错点(1) 应用两个计数原理首先要弄清楚先分类还是先分步

2、.(2) 分类要做到不重不漏”，正确把握分类标准.(3) 分步要做到“步骤完整”，步步相连.二、教材衍化1已知某公园有4个门，从一个门进，另一个门出，则不同的走法的种数为()A. 16B. 13C. 12D. 10解析：选C 将4个门编号为1, 2, 3, 4,从1号门进入后，有3种出门的方式，共3种走法，从2, 3, 4号门进入，同样各有3种走法，共有不同走法4X 3= 12(种).2. 如图，从A城到B城有3条路；从B城到D城有4条路；从A城到C城有4条路， 从C城到D城有5条路，则某旅客从 A城到D城共有条不同的路线.解析：不同路线共有3X 4+ 4X 5 = 32（条）.答案： 323

3、. 已知集合 M = 1 , - 2, 3 , N= 4, 5, 6, 7，从M , N这两个集合中各选一 个元素分别作为点的横坐标， 纵坐标， 则这样的坐标在直角坐标系中可表示第一、 第二象限 内不同的点的个数是 .解析： 分两步： 第一步先确定横坐标 ,有 3 种情况 ,第二步再确定纵坐标 ,有 2 种情况 ,因此第一、二象限内不同点的个数是 3X 2= 6.答案： 6一、思考辨析判断正误（正确的打，错误的打“X” ）()（1）在分类加法计数原理中,两类不同方案中的方法可以相同.(2) 在分类加法计数原理中，每类方案中的方法都能直接完成这件事( )(3) 在分步乘法计数原理中，每个步骤中完

4、成这个步骤的方法是各不相同的( )(4) 在分步乘法计数原理中，事件是分两步完成的，其中任何一个单独的步骤都能完成 这件事 ( )答案：(1)X V V X二、易错纠偏常见误区 | 分类、分步标准不清致误1 从 0，1 ，2， 3， 4，5 这六个数字中，任取两个不同数字相加，其和为偶数的不同取 法的种数有 ( )A 30B 20C10D 6解析：选D .从0, 1, 2, 3, 4, 5这六个数字中，任取两个不同数字相加和为偶数可分为两类 ，取出的两数都是偶数 ，共有 3种方法； 取出的两数都是奇数 ，共有 3种方法， 故由分类加法计数原理得共有N = 3 + 3 = 6(种).2. 某班新

5、年联欢会原定的6 个节目已排成节目单,开演前又增加了 3 个新节目,如果将这 3 个新节目插入节目单中,那么不同的插法种数为 .解析： 3 个新节目一个一个插入节目单中 ,分别有 7, 8, 9 种方法 , 所以不同的插法种 数为 7X 8X 9= 504.答案： 5043. 书架的第 1 层放有 4本不同的语文书,第 2层放有 5本不同的数学书,第 3层放有6 本不同的体育书.从书架上任取1 本书,不同的取法种数为 ,从第 1 , 2, 3 层分别各取 1 本书,不同的取法种数为 .解析： 由分类加法计数原理知 ,从书架上任取 1本书,不同的取法种数为 456=15. 由分步乘法计数原理知

6、, 从 1, 2, 3 层分别各取 1 本书 , 不同的取法种数为 4X 5X 6= 120.答案： 15120考点一分类加法计数原理（基础型）复习指导I通过实例，了解分类加法计数原理及其意义.核心素养：数学建模x2 y（1）椭圆二+有=伽0, n0）的焦点在x轴上，且m 1 , 2, 3, 4,5, n 1 , 2, 3, 4, 5, 6, 7,则这样的椭圆的个数为 （）A. 10B. 12C. 20D. 35（2）在所有的两位数中，个位数字大于十位数字的两位数的个数为 .【解析】（1）因为焦点在x轴上，mn,以m的值为标准分类，由分类加法计数原理， 可分为四类：第一类： m= 5时，使mn

7、, n有4种选择；第二类：m= 4时，使mn, n 有3种选择；第三类：m= 3时，使mn, n有2种选择；第四类：m = 2时，使m n, n有1种选择.故符合条件的椭圆共有10个.故选A .根据题意，将十位上的数字按1 , 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8的情况分成8类，在每一类 中满足题目条件的两位数分别有8个，7个，6个，5个，4个，3个，2个，1个.由分类加法计数原理知，符合条件的两位数共有 8 + 7+ 6+ 5 + 4+ 3+ 2+ 1 = 36(个).【答案】(1)A 36【迁移探究1】(变条件)在本例 中,若m 1 , 2,，k, n 1 , 2,，k(k N*), 其

8、他条件不变，这样的椭圆有多少个？解：因为mn.当 m= k 时，n = 1, 2,，k 1.当 m= k 1 时，n= 1, 2，k 2.当 m= 3 时，n = 1, 2.当 m= 2 时，n = 1.k(k 1)所以共有1 + 2+- + (k 1)= 厂(个).【迁移探究2】(变条件)若本例(2)条件变为“个位数字不小于十位数字”，则这样的 两位数的个数是多少？解：分两类：一类：个位数字大于十位数字的两位数，由本例(2)知共有36个；另一类：个位数字与十位数字相同的有11, 22, 33, 44, 55, 66, 77, 88, 99,共9个.由分类加法计数原理知，共有36 + 9 =

9、45(个).分类加法计数原理的两个条件(1) 根据问题的特点能确定一个适合它的分类标准，然后在这个标准下进行分类(2) 完成这件事的任何一种方法必须属于某一类， 并且分别属于不同类的两种方法是不同的方法 ，只有满足这些条件 ，才可以用分类加法计数原理解析：分3类：第一类，直接由A到0,有1种走法；第二类，中间过一个点，有At Bt0和AtCtO 2种不同的走法；第三类，中间过两个点，有At BtCt0和AtCt BtO 2种不同的走法.由分类加法计数原理可得共有1 + 2+ 2 = 5（种）不同的走法.答案： 52. 如果一个三位正整数如aia2a3”满足aiva2,且a2a3,则称这样的三位

10、数为凸数 （如120, 343, 275 等）,那么所有凸数的个数为 .解析：若a2= 2,则百位数字只能选1,个位数字可选1或0, “凸数”为120与121 , 共2个若a2= 3,则百位数字有两种选择，个位数字有三种选择，则“凸数”有2X 3 = 6（个）.若a2= 4，满足条件的“凸数”有3X 4= 12（个）,，若a2= 9,满足条件的“凸数” 有 8X 9 = 72（个）.所以所有凸数共有 261 22030425672= 240（个）答案： 240考点二 分步乘法计数原理 （基础型 ）复习指导 | 通过实例 , 了解分步乘法计数原理及其意义核心素养： 数学建模(1)将 4 封不同的

11、信投入 3 个信箱 ， 不同的投法种数为 ()A96B81C64D24(2)如图，小明从街道的E处出发，先到F处与小红会合，再一起到位于 G处的老年公寓参加志愿者活动 ，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为 ()A 24B 18C12D 9(3) 有六名同学报名参加三个智力项目 ，每项限报一人，且每人至多参加一项，则共 有 种不同的报名方法解析 】 (1)每封信都有 3 种不同的投法 ， 由分步乘法计数原理可得 ，4 封信共有3X 3 x 3X 3= 34= 81种不同的投法.故选 B .(2) 由题意可知F共有6种走法，Ft G共有3种走法，由分步乘法计数原理知，共 有6X 3 = 18

12、种走法，故选B.(3) 每项限报一人 ，且每人至多参加一项 ，因此可由项目选人，第一个项目有 6种选法， 第二个项目有 5 种选法 ，第三个项目有 4 种选法 ，根据分步乘法计数原理 ，可得不同的报名 方法共有 6x 5x 4=120(种)【答案】 (1)B(2)B(3)120【迁移探究 1】(变条件 )若本例 (3)中将条件“每项限报一人，且每人至多参加一项”改为“每人恰好参加一项，每项人数不限” ，则有多少种不同的报名方法？解：每人都可以从这三个智力项目中选报一项 ，各有 3 种不同的报名方法 ，根据分步乘 法计数原理 ， 可得不同的报名方法共有36=729(种)【迁移探究 2】(变条件

13、)若将本例 (3)条件中的“每人至多参加一项”改为“每人参加的项目数不限” ，其他不变，则有多少种不同的报名方法？解：每人参加的项目数不限 ，因此每一个项目都可以从六人中任选一人 ，根据分步乘法 计数原理 ，可得不同的报名方法共有63= 216(种)利用分步乘法计数原理解题的策略(1) 要按事件发生的过程合理分步， 即分步是有先后顺序的(2) 分步要做到 “步骤完整 ”， 只有完成了所有步骤 ， 才完成任务 ，根据分步乘法计数原理， 把完成每一步的方法数相乘 ，得到总方法数提醒 分步必须满足两个条件：一是步骤互相独立 ,互不干扰； 二是步与步确保连续 ,逐步完成1如图，某电子器件由 3 个电阻

14、串联而成，形成回路，其中有 6 个焊接点 A，B， C，D, E, F，如果焊接点脱落，整个电路就会不通现发现电路不通，那么焊接点脱落的可能情况共有 种解析： 因为每个焊接点都有脱落与未脱落两种情况 ，而只要有一个焊接点脱落 ，则电路 就不通，故共有26 - 1 = 63种可能情况.答案： 632.从一1,0, 1, 2这四个数中选三个不同的数作为函数f(x)= ax2 + bx+ c的系数，则可组成个不同的二次函数，其中偶函数有 个(用数字作答).解析：一个二次函数对应着a, b, c（a丰0）的一组取值，a的取法有3种，b的取法有3种，c的取法有2种，由分步乘法计数原理知共有3x 3X 2= 18（个）二次函数若二次函数为偶函数，则b = 0,同上可知共有3 x 2= 6（个）偶函数.答案： 18 6考点三 两个计数原理的综合应用 （应用型 ）复习指导|1应用两个计数原理的难点在于明确是分类还是分步.2. 分类要做到不重不漏”，正确把握分类标准是关键.3. 分步要做到“步骤完整”，步步相连才能将事件完成.角度一 涂色、种植问题（2020重庆模拟）某地行政区域如图，请你用 4 种不同的颜色为每个区域涂色, 要求相邻区域不同色, 共有种不同的涂色方法. （用具体数字作答 ）【解析】 假设按ct d f e顺序涂色.对于a有4种涂色的方法，对于b