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1、第 1 讲 分类加法计数原理与分步乘法计数原理、知识梳理1.两个计数原理两个计数原理目标策略过程方法总数分类加法宀 完成有两类不在第1类方案中有m种不冋的N = m+ n种不同计数原理冋的方案方法,在第2类方案中有n种不同的方法的方法分步乘法件需要两做第1步有m种不同的方法,N = mx n种不同计数原理事个步骤做第2步有n种不同的方法的方法2两个计数原理的区别分类加法计数原理与分类有关,各种方法相互独立,用其中的任一种方法都可以完成这件事;分步乘法计数原理与分步有关,各个步骤相互依存,只有各个步骤都完成了,这件事才算完成.常用结论三个易错点(1) 应用两个计数原理首先要弄清楚先分类还是先分步
2、.(2) 分类要做到不重不漏”,正确把握分类标准.(3) 分步要做到“步骤完整”,步步相连.二、教材衍化1已知某公园有4个门,从一个门进,另一个门出,则不同的走法的种数为()A. 16B. 13C. 12D. 10解析:选C 将4个门编号为1, 2, 3, 4,从1号门进入后,有3种出门的方式,共3种走法,从2, 3, 4号门进入,同样各有3种走法,共有不同走法4X 3= 12(种).2. 如图,从A城到B城有3条路;从B城到D城有4条路;从A城到C城有4条路, 从C城到D城有5条路,则某旅客从 A城到D城共有条不同的路线.解析:不同路线共有3X 4+ 4X 5 = 32(条).答案: 323
3、. 已知集合 M = 1 , - 2, 3 , N= 4, 5, 6, 7,从M , N这两个集合中各选一 个元素分别作为点的横坐标, 纵坐标, 则这样的坐标在直角坐标系中可表示第一、 第二象限 内不同的点的个数是 .解析: 分两步: 第一步先确定横坐标 ,有 3 种情况 ,第二步再确定纵坐标 ,有 2 种情况 ,因此第一、二象限内不同点的个数是 3X 2= 6.答案: 6一、思考辨析判断正误(正确的打,错误的打“X” )()(1)在分类加法计数原理中,两类不同方案中的方法可以相同.(2) 在分类加法计数原理中,每类方案中的方法都能直接完成这件事( )(3) 在分步乘法计数原理中,每个步骤中完
4、成这个步骤的方法是各不相同的( )(4) 在分步乘法计数原理中,事件是分两步完成的,其中任何一个单独的步骤都能完成 这件事 ( )答案:(1)X V V X二、易错纠偏常见误区 | 分类、分步标准不清致误1 从 0,1 ,2, 3, 4,5 这六个数字中,任取两个不同数字相加,其和为偶数的不同取 法的种数有 ( )A 30B 20C10D 6解析:选D .从0, 1, 2, 3, 4, 5这六个数字中,任取两个不同数字相加和为偶数可分为两类 ,取出的两数都是偶数 ,共有 3种方法; 取出的两数都是奇数 ,共有 3种方法, 故由分类加法计数原理得共有N = 3 + 3 = 6(种).2. 某班新
5、年联欢会原定的6 个节目已排成节目单,开演前又增加了 3 个新节目,如果将这 3 个新节目插入节目单中,那么不同的插法种数为 .解析: 3 个新节目一个一个插入节目单中 ,分别有 7, 8, 9 种方法 , 所以不同的插法种 数为 7X 8X 9= 504.答案: 5043. 书架的第 1 层放有 4本不同的语文书,第 2层放有 5本不同的数学书,第 3层放有6 本不同的体育书.从书架上任取1 本书,不同的取法种数为 ,从第 1 , 2, 3 层分别各取 1 本书,不同的取法种数为 .解析: 由分类加法计数原理知 ,从书架上任取 1本书,不同的取法种数为 456=15. 由分步乘法计数原理知
6、, 从 1, 2, 3 层分别各取 1 本书 , 不同的取法种数为 4X 5X 6= 120.答案: 15120考点一分类加法计数原理(基础型)复习指导I通过实例,了解分类加法计数原理及其意义.核心素养:数学建模x2 y(1)椭圆二+有=伽0, n0)的焦点在x轴上,且m 1 , 2, 3, 4,5, n 1 , 2, 3, 4, 5, 6, 7,则这样的椭圆的个数为 ()A. 10B. 12C. 20D. 35(2)在所有的两位数中,个位数字大于十位数字的两位数的个数为 .【解析】(1)因为焦点在x轴上,mn,以m的值为标准分类,由分类加法计数原理, 可分为四类:第一类: m= 5时,使mn
7、, n有4种选择;第二类:m= 4时,使mn, n 有3种选择;第三类:m= 3时,使mn, n有2种选择;第四类:m = 2时,使m n, n有1种选择.故符合条件的椭圆共有10个.故选A .根据题意,将十位上的数字按1 , 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8的情况分成8类,在每一类 中满足题目条件的两位数分别有8个,7个,6个,5个,4个,3个,2个,1个.由分类加法计数原理知,符合条件的两位数共有 8 + 7+ 6+ 5 + 4+ 3+ 2+ 1 = 36(个).【答案】(1)A 36【迁移探究1】(变条件)在本例 中,若m 1 , 2,,k, n 1 , 2,,k(k N*), 其
8、他条件不变,这样的椭圆有多少个?解:因为mn.当 m= k 时,n = 1, 2,,k 1.当 m= k 1 时,n= 1, 2,k 2.当 m= 3 时,n = 1, 2.当 m= 2 时,n = 1.k(k 1)所以共有1 + 2+- + (k 1)= 厂(个).【迁移探究2】(变条件)若本例(2)条件变为“个位数字不小于十位数字”,则这样的 两位数的个数是多少?解:分两类:一类:个位数字大于十位数字的两位数,由本例(2)知共有36个;另一类:个位数字与十位数字相同的有11, 22, 33, 44, 55, 66, 77, 88, 99,共9个.由分类加法计数原理知,共有36 + 9 =
9、45(个).分类加法计数原理的两个条件(1) 根据问题的特点能确定一个适合它的分类标准,然后在这个标准下进行分类(2) 完成这件事的任何一种方法必须属于某一类, 并且分别属于不同类的两种方法是不同的方法 ,只有满足这些条件 ,才可以用分类加法计数原理解析:分3类:第一类,直接由A到0,有1种走法;第二类,中间过一个点,有At Bt0和AtCtO 2种不同的走法;第三类,中间过两个点,有At BtCt0和AtCt BtO 2种不同的走法.由分类加法计数原理可得共有1 + 2+ 2 = 5(种)不同的走法.答案: 52. 如果一个三位正整数如aia2a3”满足aiva2,且a2a3,则称这样的三位
10、数为凸数 (如120, 343, 275 等),那么所有凸数的个数为 .解析:若a2= 2,则百位数字只能选1,个位数字可选1或0, “凸数”为120与121 , 共2个若a2= 3,则百位数字有两种选择,个位数字有三种选择,则“凸数”有2X 3 = 6(个).若a2= 4,满足条件的“凸数”有3X 4= 12(个),,若a2= 9,满足条件的“凸数” 有 8X 9 = 72(个).所以所有凸数共有 261 22030425672= 240(个)答案: 240考点二 分步乘法计数原理 (基础型 )复习指导 | 通过实例 , 了解分步乘法计数原理及其意义核心素养: 数学建模(1)将 4 封不同的
11、信投入 3 个信箱 , 不同的投法种数为 ()A96B81C64D24(2)如图,小明从街道的E处出发,先到F处与小红会合,再一起到位于 G处的老年公寓参加志愿者活动 ,则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为 ()A 24B 18C12D 9(3) 有六名同学报名参加三个智力项目 ,每项限报一人,且每人至多参加一项,则共 有 种不同的报名方法解析 】 (1)每封信都有 3 种不同的投法 , 由分步乘法计数原理可得 ,4 封信共有3X 3 x 3X 3= 34= 81种不同的投法.故选 B .(2) 由题意可知F共有6种走法,Ft G共有3种走法,由分步乘法计数原理知,共 有6X 3 = 18
12、种走法,故选B.(3) 每项限报一人 ,且每人至多参加一项 ,因此可由项目选人,第一个项目有 6种选法, 第二个项目有 5 种选法 ,第三个项目有 4 种选法 ,根据分步乘法计数原理 ,可得不同的报名 方法共有 6x 5x 4=120(种)【答案】 (1)B(2)B(3)120【迁移探究 1】(变条件 )若本例 (3)中将条件“每项限报一人,且每人至多参加一项”改为“每人恰好参加一项,每项人数不限” ,则有多少种不同的报名方法?解:每人都可以从这三个智力项目中选报一项 ,各有 3 种不同的报名方法 ,根据分步乘 法计数原理 , 可得不同的报名方法共有36=729(种)【迁移探究 2】(变条件
13、)若将本例 (3)条件中的“每人至多参加一项”改为“每人参加的项目数不限” ,其他不变,则有多少种不同的报名方法?解:每人参加的项目数不限 ,因此每一个项目都可以从六人中任选一人 ,根据分步乘法 计数原理 ,可得不同的报名方法共有63= 216(种)利用分步乘法计数原理解题的策略(1) 要按事件发生的过程合理分步, 即分步是有先后顺序的(2) 分步要做到 “步骤完整 ”, 只有完成了所有步骤 , 才完成任务 ,根据分步乘法计数原理, 把完成每一步的方法数相乘 ,得到总方法数提醒 分步必须满足两个条件:一是步骤互相独立 ,互不干扰; 二是步与步确保连续 ,逐步完成1如图,某电子器件由 3 个电阻
14、串联而成,形成回路,其中有 6 个焊接点 A,B, C,D, E, F,如果焊接点脱落,整个电路就会不通现发现电路不通,那么焊接点脱落的可能情况共有 种解析: 因为每个焊接点都有脱落与未脱落两种情况 ,而只要有一个焊接点脱落 ,则电路 就不通,故共有26 - 1 = 63种可能情况.答案: 632.从一1,0, 1, 2这四个数中选三个不同的数作为函数f(x)= ax2 + bx+ c的系数,则可组成个不同的二次函数,其中偶函数有 个(用数字作答).解析:一个二次函数对应着a, b, c(a丰0)的一组取值,a的取法有3种,b的取法有3种,c的取法有2种,由分步乘法计数原理知共有3x 3X 2= 18(个)二次函数若二次函数为偶函数,则b = 0,同上可知共有3 x 2= 6(个)偶函数.答案: 18 6考点三 两个计数原理的综合应用 (应用型 )复习指导|1应用两个计数原理的难点在于明确是分类还是分步.2. 分类要做到不重不漏”,正确把握分类标准是关键.3. 分步要做到“步骤完整”,步步相连才能将事件完成.角度一 涂色、种植问题(2020重庆模拟)某地行政区域如图,请你用 4 种不同的颜色为每个区域涂色, 要求相邻区域不同色, 共有种不同的涂色方法. (用具体数字作答 )【解析】 假设按ct d f e顺序涂色.对于a有4种涂色的方法,对于b