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1、第10讲导数的单调性、极值、最值基础梳理1导数的几何意义函数yf(x)在xx0处的导数f(x0)是曲线yf(x)在点(x0，f(x0)处切线l的斜率，切线l的方程是yf(x0)f(x0)(xx0)2导数的物理意义若物体位移随时间变化的关系为sf(t)，则f(t0)是物体运动在tt0时刻的瞬时速度3函数的单调性在(a，b)内可导函数f(x)，f(x)在(a，b)任意子区间内都不恒等于0.f(x)0函数f(x)在(a，b)上单调递增；f(x)0函数f(x)在(a，b)上单调递减求函数单调区间的步骤：(1)确定函数f(x)的定义域；(2)求导数f(x)； (3)由f(x)0(f(x)0)解出相应的x
2、的范围当f(x)0时，f(x)在相应的区间上是增函数；当f(x)0时，f(x)在相应的区间上是减函数，还可以列表，写出函数的单调区间4函数的极值(1)判断f(x0)是极值的方法如果在x0附近的左侧f(x)0，右侧f(x)0，那么f(x0)是极大值；如果在x0附近的左侧f(x)0，右侧f(x)0，那么f(x0)是极小值(2)求可导函数极值的步骤求f(x)； 求方程f(x)0的根； 检查f(x)在方程f(x)0的根左右值的符号如果左正右负，那么f(x)在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f(x)在这个根处取得极小值，如果左右两侧符号一样，那么这个根不是极值点5函数的最值(1)在闭区间a，b上连
3、续的函数f(x)在a，b上必有最大值与最小值(2)若函数f(x)在a，b上单调递增，则f(a)为函数的最小值，f(b)为函数的最大值；若函数f(x)在a，b上单调递减，则f(a)为函数的最大值，f(b)为函数的最小值(3)设函数f(x)在a，b上连续，在(a，b)内可导，求f(x)在a，b上的最大值和最小值的步骤如下：求f(x)在(a，b)内的极值；将f(x)的各极值与f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值双基自测1曲线yx311在点P(1,12)处的切线与y轴交点的纵坐标是_2函数f(x)x22ln x的递减区间是_3若点P是曲线yx2ln x上任意一点，则点P到
4、直线yx2的最小值为_4已知某生产厂家的年利润y(单位：万元)与年产量x(单位：万件)的函数关系式为yx381x234，则使该生产厂家获取最大年利润的年产量为_万件5函数f(x)x33x21在x_处取得极小值6函数f(x)x33x21的递增区间是_7若a0，b0，且函数f(x)4x3ax22bx2在x1处有极值，则ab的最大值等于_8若函数f(x)在x1处取极值，则a_.考向一求曲线切线的方程【例1】已知函数f(x)x34x25x4.(1)求曲线f(x)在x2处的切线方程； (2)求经过点A(2，2)的曲线f(x)的切线方程【训练1】 若直线ykx与曲线yx33x22x相切，试求k的值考向二函
5、数的单调性与导数【例2】已知函数f(x)x3ax23x.(1)若f(x)在1，)上是增函数，求实数a的取值范围；(2)若x3是f(x)的极值点，求f(x)的单调区间【训练2】 已知函数f(x)exax1.(1)求f(x)的单调增区间；(2)是否存在a，使f(x)在(2,3)上为减函数，若存在，求出a的取值范围，若不存在，说明理由考向三利用导数解决不等式问题【例3】设a为实数，函数f(x)ex2x2a，xR.(1)求f(x)的单调区间与极值；(2)求证：当aln 21且x0时，exx22ax1.【训练3】 已知mR，函数f(x)(x2mxm)ex(1)若函数没有零点，求实数m的取值范围； (2)
6、当m0时，求证f(x)x2x3.考向四函数的极值与导数【例1】设f(x)2x3ax2bx1的导数为f(x)，若函数yf(x)的图象关于直线x对称，且f(1)0. (1)求实数a，b的值； (2)求函数f(x)的极值【训练4】 设f(x)，其中a为正实数(1)当a时，求f(x)的极值点； (2)若f(x)为R上的单调函数，求a的取值范围考向五函数的最值与导数【例5】已知a为实数，且函数f(x)(x24)(xa)(1)求导函数f(x)； (2)若f(1)0，求函数f(x)在2,2上的最大值、最小值【训练5】 函数f(x)x3ax2b的图象在点P(1,0)处的切线与直线3xy0平行(1)求a，b；
7、(2)求函数f(x)在0，t(t0)内的最大值和最小值考向六用导数解决生活中的优化问题【例3】请你设计一个包装盒如图所示，ABCD是边长为60 cm的正方形硬纸片，切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得A，B，C，D四个点重合于图中的点P，正好形成一个正四棱柱形状的包装盒E、F在AB上，是被切去的一个等腰直角三角形斜边的两个端点设AEFBx(cm)(1)若广告商要求包装盒的侧面积S(cm2)最大，试问x应取何值？(2)某厂商要求包装盒的容积V(cm3)最大，试问x应取何值？并求出此时包装盒的高与底面边长的比值【训练6】 统计表明，某种型号的汽车在匀速行驶中，每小时的耗油
8、量y(升)关于行驶速度x(千米/小时)的函数解析式可以表示为：yx3x8(00，则不等式f()f()的解集为_8已知a0，函数f(x)x3ax在1，)上单调递增，则a的最大值是_9设函数f(x)x32x5，若对任意x1,2，都有f(x)m，则实数m的取值范围是_10已知a为实数，函数f(x)(x21)(xa)若f(1)0，则函数yf(x)在上的最大值和最小值分别为_11已知曲线f(x)ln(2x)ax在点(0，f(0)处的切线斜率为，(1)求f(x)的极值；(2)设g(x)f(x)kx，若g(x)在(，1上是增函数，求实数k的取值范围12已知函数f(x)(k为常数，e2.718 28是自然对数的底数)，曲线yf(x)在点(1，f(1)处的切线与x轴平行(1)求k的值； (2)求f(x)的单调区间；13已知函数f(x)(a1)ln xax21.(1)讨论函数f(x)的单调性；(2)设a1，如果对任意x1，x2(0，)，|f(x1)f(x2)|4|x1x2|，求实数a的取值范围14已知f(x)2xln x，g(x)x2ax3.(1)求函数f(x)的最小值；(2)若存在x(0，)，使f(x)g(x)成立，求实数a的取值范围；(3)证明对一切x(0，)，都有f(x)2成立
